考點(diǎn)14導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

1、考點(diǎn)14導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值第步試真題1. (2017 課標(biāo) II , 11)若 x= 2 是函數(shù) f(x) =(X2+ ax 1) ex_1 的極值點(diǎn)，貝U f(x)的極小值為(A )A . 1B . 2e 3C. 5e3D. 1【解析】f 'x(= (2x+ a)ex1+ (x2 + ax 1) ex-1 = ex 1(x2 + ax+ 2x+ a 1),則3f'(2)= e (4 2a 4+ a 1) = 0,a= 1.f(x) = ex 1(x2 + x2).令 f'x(= 0,貝U x= 1 或一2.當(dāng) xv 2 時(shí)，f'(x)>0;當(dāng)

2、 2<xv 1 時(shí)，f'(x)v 0;當(dāng) x> 1 時(shí)，f'(x) >0.故當(dāng) x= 1 時(shí)，極小值 f(1) = 1, 故選A.3x 1一2. (2017江蘇，11)已知函數(shù)f(x) = x 2x+ e g,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若f(a 1)+ f(2a2)< 0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 卜1,扌【解析】：f' x) = 3x2 2 + ex+ e-x> 0,f(x )在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).31x又 f( x)= x + 2x+ x e = f(x),.°f(x)為奇函數(shù).D'f(a 1) + f(2a ) w0,

3、.°f(a 1)w f(2a )，即卩 f(a 1)w f( 2a ).又Tf(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，2a 1< 2a ,即 2a + a 1 w 0,/a 一1, J.x3 3x, xwa,3. (2016 北京，14)設(shè)函數(shù) f(x)l_ 2x,x>a.(1)若a= 0,則f(x)的最大值為_2_；若f(x)無最大值，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<1.3x 3x, x<0, 【解析】當(dāng)a= 0時(shí)，f(x) =I 2x,x> 0.k72當(dāng) x< 0 時(shí)，f(x)= 3x 3= 3(x+ 1) ( 1).當(dāng)x變化時(shí)，f(x), f(x)的變化情況如下表:

4、x(X, 1)1(1, 0)0f'x)+03f(x)20由表知，當(dāng)x< 0時(shí)，f(x) max= f( 1) = 2.又當(dāng) x>0 時(shí)，f(x)v 0.綜上，當(dāng)a= 0時(shí)，f(x) max= 2.由知，f(x) = x3 3x的圖象如圖所示.而y = 2x為過(一1，2)，(1， 2)兩點(diǎn)的直線，所以要使函數(shù) x3 3x，x<a，無最大值，需av 1.2x， x> a4. (2017 浙江，20，15 分)已知函數(shù) f(x) = (x-寸2x- 1) eJi(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù)；1 、求f(x)在區(qū)間$，+ ”的取值范圍.f(x)=解:e_x (x-寸 2x

5、- 1)e-x所以f'x)=(1 x)"x> 2.(2) 由 f'x(0,(1 x)(;'2x1 2) e x2x 15解得x= 1或x= 2-當(dāng)x變化時(shí)，f(x), f(x)的變化情況如下表:xfx (x)f(x)121 12e 2(1 /2 1丿100I1, D+0152e 2-+乂 i2十丿又 f(x)=女,；2x 1 1)2e x>0,j、一 1 們所以f(x)在區(qū)間$，+ %上的取值范圍是0, ?e 2 -5. (2016 北京，18, 13分)設(shè)函數(shù) f(x) = xeax+ bx,曲線 y= f(x)在點(diǎn)(2, f(2)處的切線方程為

6、y= (e 1)x+ 4.(1)求a, b的值；求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(1)因?yàn)?f(x) = xeax+ bx,所以 f'x)= (1 -x)eax+ b.f (2)= 2e+ 2,依題意，有4f 2= e-1,2ea- 2+ 2b = 2e+ 2, 即-ea-2+ b = e- 1.解得 a = 2, b = e.由知 f'x)= e2-x(1 -x+ ex-1)，又因?yàn)?e2-x>0,所以f'x)與1-x+ ex-1同號(hào).令 g(x) = 1-x+ e -1,則 g'x)= 1 + ex-1.令 g'x)= 0,得 x= 1.所以當(dāng)x (x, 1)時(shí)，g (x)<0, g(x)在區(qū)間(-x, 1)上單調(diào)遞減; 當(dāng)x (1,+x)時(shí)，g'(x)>0, g(x)在區(qū)間(1,+x)上單調(diào)遞增.故g(1)=