考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié)1高數(shù)部分1.1 高數(shù)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)求極限題最常用的解題方向:1.利用等價(jià)無窮小;k'SiiUL,xtanx, xonctaiu xlrUl+nhc1 - - x2.利用洛必達(dá)法則0型和一型直接用洛必達(dá)法則00 0 ：0、：-、1 型先轉(zhuǎn)化為一型或一型，再使用洛比達(dá)法則;0 03.利用重要極限，包括xUmsn;lima(1 X)lim(1 £_e ；X J：:1#4.夾逼定理。1.2 高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分、第三章不定積分、第四章定積分第三章不定積分提醒： 不定積分.f (x)dx二F(x) C中的積分常數(shù) C容易被忽略，而考試時(shí)如 果在答

2、案中少寫這個(gè) C會(huì)失一分。所以可以這樣加深印象：定積分 .f(x)dx的結(jié)果可以寫為 F(x)+1 , 1 指的就是那一分，把它折彎后就是 .f (x)dx = F(x) C中的那個(gè)c,漏掉了 C也就漏掉了這1分。第四章定積分及廣義積分解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差 異一一出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章:aa對(duì)于J f (x)dx型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有J f (x)dx=0 ；33aa若f(x)為偶函數(shù)則有.f (x)dx=2 f (x)dx ；31t = x的代換是常用方法。20對(duì)于.0 f(x)dx型積分，f(x) 一般含三角函數(shù)

3、，此時(shí)用 所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對(duì)于對(duì)稱區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利aaa用變量替換x=-u和利用性質(zhì).a奇函數(shù)=0、.a偶函數(shù)=2。偶函數(shù)。在處理完積分上下限的問題后就 使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對(duì)于證明定積分等式的題目 也同樣有效。1.3 高數(shù)第五章中值定理的證明技巧用以下邏輯公式來 作模型：假如有 邏輯推導(dǎo)公式 A= E、(A B)= C、(C D E)= F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F。為了證明F成立可以從條件、 結(jié)論兩個(gè)方向入手， 我們把從條件入手證明稱之為

4、正方向，把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時(shí)可能遇到的問題有以下幾類:1已知的邏輯推導(dǎo)公式太多，難以從中找出有用的一個(gè)。如對(duì)于證明F成立必備邏輯公式中的 A= E就可能有A= H、A= (I K)、(A B) = M等等公式同時(shí)存 在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(A B) = M，因?yàn)槠渲猩婕傲祟}目所給的 3個(gè)條件中的2個(gè),但這恰恰走不通；2.對(duì)于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導(dǎo)關(guān)系不清楚，在該用到的時(shí)候想不起來或者弄錯(cuò)。如對(duì)于模型中的(A B) = C,如果不知道或弄錯(cuò)則一定無法得出結(jié)論。反方向入手證明時(shí)也會(huì)遇到同樣的問題。通過對(duì)這個(gè)模型的分析可以看出，對(duì)可用知識(shí)點(diǎn)掌握的不牢固、不熟練和

5、無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。so，解證明題時(shí)其一要靈活，在一條思路走不通時(shí)必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再從頭開始反復(fù)地想 自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取信息?！氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時(shí)一開始就想到了公式(C D E) =' F再倒推想到 (A B) =' C、 A二E就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論

6、”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的 形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結(jié)論可用定理A關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)E滿介值定理(結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得f(引k)常常是只有連續(xù)性已知足某個(gè)式子零值定理(結(jié)論部分為：存在一個(gè)E使得f (g) 0)B存在一個(gè)E滿費(fèi)馬定理(結(jié)論部分為：f(勺)=0)足f(n)偲=0羅爾定理(結(jié)論部分為：存在一個(gè)E使得f(g) 一 0)條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)名滿中 £ (n)足 f (0 =k拉格朗日中值定理(結(jié)論部分為：存在一個(gè)E使得f

7、f(b)f(a)%) 一b-a)C柯西中值定理(結(jié)論部分為：存在一個(gè)名使得f(2f(b)(a)-g(b)_g(a)丿g(忌另還常用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為費(fèi)馬或羅爾定理。面對(duì)這一部分的題目時(shí)， 如果把欲證結(jié)論與可能用到的幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較，會(huì)比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處一一so要“牢記定理的結(jié)論部分”。綜上所述，針對(duì)包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時(shí)保持清醒理智，降 低出錯(cuò)的可能”。不過僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)，因?yàn)樵趯?shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的 變形

8、轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來透徹掌握定理性 質(zhì)及熟練運(yùn)用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。1.4 高數(shù)第六章常微分方程歷年真題中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不 太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。解題套路：“辨明類型T套用對(duì)應(yīng)方法求解”先討論一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對(duì)于各種方程的通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準(zhǔn)確判斷。各種類型的方法最后的目的

9、都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為 f(x)dx=f(y)dy的形式，再積分得到答案。對(duì)于可分離變量型方程fi(x)gi(y)dx +f2(x)g2(y)dy =0變形為fl(x)dx二g2(y)dy，再積分求解 f2 (x)gi(y)齊次方程y - f (x)y* du做變量替換u = ，則y化為u x dx原方程就化為關(guān)于 u 和 x的可分離變量方程，變形積分即可解對(duì)于一階線性方程 y + p(x) y = q(x)y = Ce Jp(xF ( Je卜 q(x )dx+C )全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy遜jN因?yàn)槠溆袟l件矽次，而且解題時(shí)直接套用通解公式xyf M

10、(x, y°)dx+ J N(x, y )dy = C.x0y0所以，對(duì)于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。對(duì)于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對(duì)于y(n)二f (x)型方程，就是先把 y(n4當(dāng)作未知函(n)”(n -2)(n-3)數(shù)乙則 y('二Z 原方程就化為 dz二f (x)dx的一階方程形式，積分即得；再對(duì)y 、依次做上述處理即可求解；W r /FFnry二f(x, y)叫不顯含y的二階方程，解法是通過變量替換y = p、y二p (p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；y、f (y,y )叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令 ，二p (但此

11、中的p” dp dydp-為y的函數(shù))，貝y y = dy dx = pdy pp，也可化為一階形式。y所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換_ U ”，“求解貝努利方程1 ny p(x)y二q(x) yn就用變量替換 z = y”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換y = p、y二p ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換 y = p、y = pp ”。大綱對(duì)于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對(duì)比記憶:若yi(x)、y2 (x)是齊次方程y" +

12、p(x) y"十q(x) y = 0的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為 ®(x) =Ci%(x) +qy2(x)右齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系有(n-r)個(gè)線性無 關(guān)的解向量，則齊次方程組的通解為xkpi + k?y2 + " ky.一非齊次方程y + p(x)y +q(x)y f(x)的通 解為 y = Ciy!(x)+ c2y2(x)+yf(x)，其中 y(x) 是非齊次方程的一個(gè)特解， Ci yi (x) + C2 y2(x)是 對(duì)應(yīng)齊次方程y +p(x)y +q(x)y0的通解非齊次方程組Ax=b的一個(gè)通解等于 Ax-b的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程

13、Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個(gè)特解 yi( 成“ f(t)dt =s”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對(duì)應(yīng)解法求解。*a對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)：1.禾U用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)：A.極值的定義是：對(duì)于X。的鄰域內(nèi)異于 Xo的任一點(diǎn)都有f (x) > f (Xo)或f (x) V f(x0)，注意是或v而不是或w；B.極值點(diǎn)包括圖1、圖2兩種可能，) y2(x)，則對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為 y(x) _ yi(x) _ y2(x)若i、2是方程組Ax-b的兩個(gè)特解，則(i -2

14、)是其對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax-0的解可以說本章難就難在記憶量大上。1.5 高數(shù)第七章一元微積分的應(yīng)用本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。典型的構(gòu)題方式是利用變區(qū)x間上的面積、體積引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分f(t)dt單獨(dú)分離到方程的一端形'-a所以只有在f（X）在X0處可導(dǎo)且在Xo處取極值時(shí)才有 f（X）二0。討論方程根的情況。這一部分常用定理有零點(diǎn)定理（結(jié)論部分為fq =0 ）、羅爾定理（結(jié)論部分為f（：=0）；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫輔

15、助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對(duì)于討論方程根 個(gè)數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。2.理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數(shù)f（X）在 區(qū)間I上的f（X）”： 0，貝U f （x）在I上是凸的；若f （x）在I上的f （x） 0，則f （x）在I上是凹的；B若 f（x）在點(diǎn) X0處有 f（x） =0且 f“（X0）= 0，則當(dāng)（X。）”： 0時(shí) f（x°）為極大值，當(dāng) f”（x。）-0 時(shí)f （x°）為極小值。其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，f（X）是f（X）的變化率，f （x）是（X） 的變化率。f（x） 0可以說明函數(shù)是增函

16、數(shù)；f （x） < 0可以說明函數(shù)f（x）的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能：8#同樣，f （x） 0也只有兩種對(duì)應(yīng)圖像:#所以，當(dāng)f "(X)： 0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，是凸的;當(dāng)(x) 0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，是凹的。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件 比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“f(x)二0且(X)f “(X。)式0”，這從圖像上也很容易理解：滿足f "(x) v 0的圖像必是凸的，即，當(dāng)f(x)= 0且f “(Xo) = 0時(shí)不就一定是j*的情況嗎。對(duì)于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對(duì)微元法熟練掌握。關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公

17、式表格:求平面圖形面積求旋轉(zhuǎn)體體積(可用微元法也可用公式)bs f(x)dx*ab 2繞x軸旋轉(zhuǎn)體的體積 Vxf (x) dx，"ab繞y軸旋轉(zhuǎn)體得體積Vy二2-xf (x)dx_a繞x軸旋轉(zhuǎn)體的體積Vx=jrj f22(x) _f；(x)dx，繞y軸旋轉(zhuǎn)體得體積Vy =2二f2 (xf1 (x)dx已知平行截面面積求立體體積bV s(x)dxa求平面曲線的弧長101.6 高數(shù)第八章無窮級(jí)數(shù)本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級(jí)數(shù)斂散性”、“級(jí)數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開”。其中判斂是大、小題都?？嫉模诖箢}中一般作為第一問出現(xiàn)，求和與展開則都是大題。對(duì)于級(jí)數(shù)判斂部分，主要

18、用的方法是比較法、級(jí)數(shù)斂散性的定義和四則運(yùn)算性質(zhì)。其中比較判斂法有 一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子：1.已知級(jí)數(shù)a2n收斂，判斷級(jí)數(shù) V 史 的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式<n U；n|囲（an &）,再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。其實(shí)這種“知一判一”式的題目是有局限性的一 若已知級(jí)數(shù)收斂，則所要求判斂的級(jí)數(shù)只能也是收斂的，因?yàn)橹挥小靶∮谑諗考?jí)數(shù)的級(jí)數(shù)必收斂”這一 條規(guī)則可用，若待判斂級(jí)數(shù)大于已知收斂級(jí)數(shù)，則結(jié)果無法判定。所以考研真題中一般只會(huì)出成選擇題“已知某級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是（）”。2 .上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是

19、給出級(jí)數(shù)某些性質(zhì)要求判斷斂散性，方法是通過不 等式放縮與那些已知斂散性的級(jí)數(shù)建立起聯(lián)系，再應(yīng)用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù) 列an滿足liman二a, a 0，判斷級(jí)數(shù)（詁"n的斂散性。關(guān)鍵步驟是：由1得到X-0"（右）n %占）“，再利用比較判斂法的一般形式即得。對(duì)于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會(huì)超出“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。幕級(jí)數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開問題是重點(diǎn)內(nèi)容，也是每年都有的必考題。在復(fù)習(xí)過程中對(duì)于具有“淺看復(fù)雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識(shí)點(diǎn)要倍加注意，對(duì)于無窮級(jí)數(shù)這樣必出大題的章 節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出

20、大題的知識(shí)點(diǎn)，更是要緊抓不放。因?yàn)檫@種知識(shí)點(diǎn)對(duì)“復(fù)習(xí)時(shí)間投入量” 的要求接近于一個(gè)定值，認(rèn)認(rèn)真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點(diǎn)“一次投入，終 生受益”的意思，花時(shí)間來掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達(dá)到熟練做題程度以后會(huì)發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。這種規(guī)律 是建立在對(duì)6個(gè)關(guān)鍵的函數(shù)展開式“熟之又熟”的掌握上的。對(duì)此6個(gè)展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對(duì)條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個(gè)就能立刻寫出其他兩部 分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯(cuò)概率降到最小。公式如下：1. 代二1 U 亠 亠 二、un ( -1，1)n蘭oO1., 2八

21、 nn.lx 八 nn2. 訐=1 - U +u -U + +(-1) U + 二送(一1) U( -1，1)n=03.1 n(1u)=u-；u 3_(11)爲(wèi).1 u' (1) n 1 (二廠二)n -0od4. eu =1 +u +骯2 + +召un + =£ 烏 (一=°,+處)n =03C-1 2丄丄/ 八n 12n41丄寸 / 八u2n +5. sin u = u - 3! u(- 0 (2n 1)! u=( T) (2n 1)!(：，：)n=0od1214n 1 2nn u2n6. COSu=1u +4!u 1)碩u + 一 =無(1)碩 (亠廣之)這六

22、個(gè)公式可以分為兩個(gè)部分，前3個(gè)相互關(guān)聯(lián)，后3個(gè)相互關(guān)聯(lián)。1式是第一部分式子的基礎(chǔ)。1 u u不就是一個(gè)無窮等比數(shù)列嗎，在|u卜:1時(shí)的1 1求和公式S=匕正是函數(shù)展開式的左端。所以這個(gè)式子最好記，以此為出發(fā)點(diǎn)看式子2 : 1式左端是，1nn°02式左端是 喬u ； 1式右端是J，2式右端也僅僅是變成了交錯(cuò)級(jí)數(shù)7 (_1)nun ,故可以通過這種比較來n £n £A記憶式子2 ；對(duì)于3式來說，公式左端的In(1 u)與2式左端的 訂 存在著關(guān)系“ In(1 u)二代”，Q0故由 丘 的展開式可以推導(dǎo)出In(1 +u)的展開式為 云(-1)n需。這三個(gè)式子中的 涉，相

23、互之間存在n=0著上述的清晰聯(lián)系。后3個(gè)式子的u ( ： /：)，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。這一部分的基本式是公式4:0Q0u unn 2 n 1eun?與之相比，sinu的展開式是' (-1) (2n 1!， cosu的展開式是n =0n=0n 2nuu(-1)n (2n)!。一個(gè)可看成是將e展開式中的奇數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)得到的，一個(gè)可看成是將e展開式中n £的偶數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)而得到。像這樣從“形似”上掌握不費(fèi)腦子，但要冒記混淆的危險(xiǎn)，但此處恰好都是比較順的搭配：sinu、cosu習(xí)慣上說“正余弦”，先正后余；而sinu的展開式對(duì)應(yīng)的是奇數(shù)項(xiàng)，co

24、su的展開式對(duì)應(yīng)的是偶數(shù)項(xiàng)，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。在已知幕級(jí)數(shù)求和函數(shù)時(shí)，最佳途徑是根據(jù)各個(gè)公式右端的形式來選定公式：第一部分（前3式）的展1開式都不帶階乘，其中只有 口的展開式不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)；第二部分（后 3式）的展開式都帶階乘，其中只有eu的展開式不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)。由題目給出的幕級(jí)數(shù)的形式就可以看個(gè)八九不離十了，比如給出的幕級(jí)數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則應(yīng)該用公式4，因?yàn)槟患?jí)數(shù)的變形變不掉階乘和 （-1）n ；若題目給出的幕級(jí)數(shù)不帶階乘而且是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則必從 2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對(duì)于函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對(duì)來說更為簡單。在判

25、斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開）、四則運(yùn)算（用于展開、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開、求和）對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造幕級(jí)數(shù)法，即利用變換£ an =lim£ anxn求得幕級(jí)數(shù)oO、anXn的和函數(shù)s（x）以后代入極限式即可。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)膞n，一般情況下如果n、（2n -1）n 0這樣的項(xiàng)在分子中，則應(yīng)該先用逐項(xiàng)積分再用逐項(xiàng)求導(dǎo)，此時(shí)的xn應(yīng)為x（J的形式，如x（n）A、x（2n），以方便先積分；若題目有莎石、厲R這樣的項(xiàng)，貝yxn應(yīng)為x（J的形式，如x（2nJ）、x（3n&#

26、39;1），便于先求導(dǎo)。這些經(jīng)驗(yàn)在做一定量的題目后就會(huì)得到。1.7 高數(shù)第十章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)可以先將多元函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)部分作對(duì)比，這樣做即可以將相似知識(shí)點(diǎn)區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對(duì)比來促進(jìn)對(duì)二元函數(shù)某些地方的理解。二元函數(shù)相似一元函數(shù)二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)日（x,y）以任何方向、任何路徑趨向p（xo, y。）時(shí)均有一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān)，極限不同由等價(jià)式 忸f（X）二A即可判斷。ximjo f (x, y) f (x, y) t A( xt xo、yT y。)。如果沿不同路徑的f (xo 4(xo Alim f (x, y) xo0不相等，則可斷定不存

27、在。連續(xù)性二元函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(xo, y0)處連續(xù)性判斷條件為：lim f(x, y)存在且等于 f(xo,yo)yP相似一元函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)X。處連續(xù)性判斷條件為ximi f (x)且等于f兇)(偏)導(dǎo)數(shù)二元函數(shù) z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)定義：|im 庫 |im f (xp+g,y°) _f(xp, y°)分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義相似一元函數(shù)y = f (x)的導(dǎo)數(shù)定義：內(nèi)f (x0 + 蟲)_f (x0 )Ijm lim分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義全微分簡化定義為：對(duì)于函數(shù)Z = f (x, y)，若其在點(diǎn)P(x

28、p, yp)處的增量心z 可表示為Az = A也x十By + o( P)，其中o(巴為P的高階無 窮小，則函數(shù)f (x, y)在P(xp, yp)處可微，全微分為AAx + By， 一般有dz =晉dx +嚕dy相似簡化定義為：若函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x處的增 量右y可表示為也y = Ax + d，其中d是x的高階無窮小，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，即dy = AAx，般有 dy = f "(x)dx可微、 可導(dǎo)、 連續(xù)連續(xù)可導(dǎo) /可微不同連續(xù)一可導(dǎo) /可微全導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f(u,v,w)，U=g(t)，V=h(t)，w = k(t)且都可導(dǎo)， 則z對(duì)t的全導(dǎo)數(shù)dz苕du +凸dv+廳d

29、wdtSu dttV dttw dt不同一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念，但是左邊多元 函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)其實(shí)可以從“一元復(fù)合函數(shù)”的角度 理解。一元復(fù)合函數(shù)是指y = f (u)、u = g(x)時(shí) 有dy ”dydu。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較dx -du dx就可以將二式統(tǒng)一起來。復(fù)合函數(shù)微分法鏈?zhǔn)角髮?dǎo)相似一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示，與多元復(fù)合函 數(shù)求導(dǎo)公式相似，只需分清式子中 衛(wèi)z與養(yǎng) 的不dx &同即可隱函數(shù)微分法求由方程F(x, y,z) =0確定的隱含數(shù)Z =Z(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式：zFx(x,y,z)，奩Fy(x,y,z)&Fz(x, y,z)住Fz(

30、x, y, z)r對(duì)于由方程組* F(X, y,z) =0確定的隱含數(shù)y =y(x)、z = z(x)可套用 G(x, y, z) =0方程組 f/+Fz =0y dxdxGx"乜；乎4Gz"dz =0Ldxdx不僅“形 似” 且在 相當(dāng) 大程 度上 相通一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法對(duì)一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種方法：1. 公式史fx(x, y)dxF；(x, y)2. 將y視為x的函數(shù)，在方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)一元參數(shù)方程微分法：若有|x=x(t)則dy y (t) y =y(t) dx x"(t)極值極值定義：函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x0,y0)的鄰域內(nèi)

31、有定義，且對(duì)于其中異于p點(diǎn)的任一點(diǎn)Q(x, y)，恒有f (x, y) >f (x0,y0)或相似極值定義：函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義且對(duì)于其中異于該點(diǎn)的任一點(diǎn)恒有f (x, y) < f (x0,y0)，則稱 f (x0, y0)為 f (x,y)的極小/大值，方程 組：fx(x, y) =Q的解稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。f(x, y)山f (x) >f(x° ) 或 f(x) £f(x°)，則稱 f(x ) 為y = f (x)的極小/大值，方程f "(x) = 0的 解稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x0

32、, y0)的鄰域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)，且滿足函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足2fxy。)=0' fylx。)4、fx,(X0,y0)fxTx0,y0)f,(X0,y0)>0，取極值f (x) =0、f "(x)H 0，則：的充分若 fx(x0,y0)>0或 fy"(X0,y0)>0則 P(x°,y0)為極小值點(diǎn)；相似條件若 fx(xo,y°) c0或 fy“(x°, y°) v0則 P(x°, y°)為極大值點(diǎn)。若f "(x) > 0，則f (x0)為極小值；

33、大綱對(duì)于多元函數(shù)條件極值的要求為“會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”，是若f "(x) V 0，貝U f (x0)為極小值一種比較簡單而且程式化的方法。一元函數(shù)則無對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。1.8 高數(shù)第十章重積分大綱對(duì)于本章的要求只有兩句：1.理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定 理。2掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))在做二重積分的題時(shí)常用的是更換積分次序的方法與幾個(gè)變換技巧2 線性代數(shù)部分2.1線代這門課的特點(diǎn)線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比，特點(diǎn)之一是知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系， 記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點(diǎn)在于知識(shí)點(diǎn)間的

34、聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是 指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定 法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。所以我們?cè)趶?fù)習(xí)線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會(huì)貫通”?！叭跁?huì)”可以理解為設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。這樣做的目的就在于一一當(dāng)看到題目的條件和結(jié)論、推測(cè)出其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)時(shí)立刻就能想到與之有關(guān)聯(lián)的其他知識(shí) 點(diǎn)隊(duì)列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。出題專家在編制題目時(shí)常常利用這些聯(lián)系將兩部分的內(nèi)容結(jié)合起來出題，比如在歷年真題中出現(xiàn)頻率很高的性質(zhì)“齊次方程組是否有

35、零解對(duì)應(yīng)于A的列向量組是否線性相關(guān)；非齊次方程組Ax=b是否有解對(duì)應(yīng)于向量 b 是否可由 A 的列向量線性表示”。再如一個(gè)貌似考察向量組線性無關(guān)的題目，做起來以后才發(fā)現(xiàn)實(shí)際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣 A可逆 |A|=0 A的列向量組線性無關(guān)r（A）=n ”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無關(guān)和矩陣秩兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。2.2 線代第一章行列式、第二章矩陣第一章行列式、第二章矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式（具體行列式的計(jì)算低階 n階<應(yīng)用行列式按行列展開定理化為上下三角行列式求解行列式的定義、|A|=花'注、行列式的性質(zhì)

36、抽象行列式的計(jì)算考點(diǎn)不在求行列式，而在于 A、A”、A-1等的相關(guān)性質(zhì)第二章矩陣中的知識(shí)點(diǎn)很細(xì)碎，但好在每個(gè)小知識(shí)點(diǎn)包括的內(nèi)容都不多，沒有什么深度。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、AT、A、AJ的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結(jié)構(gòu)特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時(shí)用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果:行列式性質(zhì)特征值性質(zhì)（人為矩陣A的特征值）運(yùn)算性質(zhì)秩的性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣at|AT Fl A|T T(A ) =A(kA)T =kAT(AB)t =BtAt(a+b)t

37、 =bt + atr(AT) = r(A) r(AT) =r(ATA) r(ATA) =r(A)逆矩陣A丄1八111I A 1 |A|有特征值丄伴隨矩陣A*|a%a有特征值|A|at、A*、A-三者之間有一個(gè)即好記又好用的性質(zhì) （AT）-=（A-）T（A*p=（A 丄）* （at）*=（a*）t"n. r(A) = n r(Aj =<1. r(A) = n 1O.r(A)< n_1數(shù)乘矩陣kA、矩陣之積AB及矩陣之和A + B|kAknAI AB 冃 A|B|kA有特征值kh，aA+bE有特征值a& +br(A + B)蘭 r(A) +r(B) r(AB)蘭 mi

38、nr(A), r(B) AB=O 則有：r(A)+r(B)n 若A可逆則有r(AB)=r(B)；同樣，若B可逆則有r(AB) = r(A)2.3 線代第三章向量、第四章線性方程組線代第三章向量、第四章線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行 列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)第三、四章核心內(nèi)容的擴(kuò)展。向量與線性方程組兩章的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩章 最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理

39、解, 同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是這兩章內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組anX1Q2X2aXn 二 ba21x1a22x2a2nx b?的系數(shù)am1X1 am2X2 amnx = bn矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式Ax二b ；其中A是系數(shù)矩陣a11a21ai2a22ain Ia2 n;另一種是向量形式x1a1 ' x2a2xnan = b，其中aia.a2i =1,2 n。am1am2bn19#向量就這樣被引入了。#x-ia-i x2a2 宀山xnan=O 可以先討論其次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系。齊次線性方程組 直接看出是一定有解的，因

40、為當(dāng) 為=x2二=xn =0式等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性 質(zhì)“ 0向量可由任何向量線性表示”，即當(dāng)2 k-a- k?a2亠 亠k“an中的一：=0時(shí)一定存在一組數(shù) k1,k kn使等式成立，至少在 k全為0時(shí)可以滿足。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1.有唯一零解；2.有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式x-a- x2ax“an =0中的醬只能全為0才能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組a-,a an是否線性相關(guān) 無關(guān)也正是由這個(gè)等式定義出的。線性相關(guān)的定義為：設(shè) a-,a an為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)k1, kkn使得等式k-a- k?a

41、2，knan = 0成立，則稱向量組 a-,a2a.線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng)k-二k?二二心=0時(shí)成立，則稱向量組a-,a an線性無關(guān)。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組 Ax二0是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 A的列向量組是否線性相關(guān)。假如線性相關(guān) 無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的，那同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組a-,a an組成的矩陣A有r(A) =n說明向量組的極大線性無關(guān)組中有n個(gè)向量，即a-,a2 a*線性無關(guān)，也即等式k-a- +k2a2 + ""kn

42、an =0只有0解。所以，經(jīng)過“秩卜線性相關(guān)無關(guān)宀線性方程組解的判定”帀邏輯鏈條，由r(A)=門就可以判定齊次方程組 x-a- X2a2亠 亠x“an =0只有0解。當(dāng)r(A): n時(shí)，按照 齊次線性方程組解的判定法則，此時(shí)有非零解，且有n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量。這又與另一條性質(zhì)相和：如果齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)則必有非零解。若方程組Ax = 0的系數(shù)矩陣是 m行n列的,則方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)有m<n ；因?yàn)榫仃嚨闹鹊扔谛兄纫驳扔诹兄?，所以必有|r(A)空m空n，根據(jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。對(duì)于非齊次方程組來說，其解的判定定理與 “線性表示”的概念前后聯(lián)系：非齊次

43、方程組 Ax = b是否有解對(duì)應(yīng)于向量b是否可由A的列向量線性表示。線性表示的定義為：對(duì)于向量組a-,a an若存在一組數(shù)kk2kn使等式kiai kza?亠亠k.an =b成立，則稱向量 b可由向量組aa2a“線性表示。而使上述等式成立的 ki就是非齊次方程組 Ax二b的解，故齊次方程組有性質(zhì)“齊次線性方程組 Ax =0是 否由非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 A的列向量組是否線性向關(guān)”,非齊次方程組也由對(duì)應(yīng)性質(zhì)“非齊次線性方程組 Ax二b是否有解對(duì)應(yīng)于向量 b是否可由的列向量線性表示”。當(dāng)非齊次線性方程組 Ax二b與對(duì)應(yīng)齊次線 性方程組Ax =0滿足r(A) =r(A)二n時(shí)，根據(jù)線性方程組解的判定法

44、則，齊次方程組有零解， 非齊次方程組有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若ai,a2 an線性無關(guān)，而ai,a an,b線性相關(guān)，則向量b可由向量組aa2an線性表示，且表示方法唯一”。以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識(shí)點(diǎn)，更是為了有效應(yīng)對(duì)考試題。線代部分的題目難就難在考點(diǎn)的跨度大，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識(shí)點(diǎn)，那怕對(duì)這些孤立的點(diǎn)掌握的再透徹，在作題時(shí)也會(huì)被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。矩陣t線性方程組t向量解T線性相關(guān)/無關(guān)T秩三個(gè)雙重定義：1. 秩的定義a矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數(shù)b.向量組秩定義：向量組的極大

45、線性無關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)2. 線性相關(guān)無關(guān)的定義：a. 對(duì)于一組向量ai an,若存在不全為零的數(shù) ki,k2 kn使得k1a1 k2a 亠knan =0成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng)ki全為0時(shí)才成立。b. 向量組ai,a2a.線性相關(guān) 向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余n-1個(gè)向量線性表出；線性無關(guān)向量組中沒有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：Ax = bb. 向量形式： x)a1 X2a2亠 亠xnan二b兩條性質(zhì):1.對(duì)于方陣An翅有：方陣A可逆 存在方陣B使得AB=BA = E | A£ 0 A的行列向量

46、組均線Ax = 0僅有零解，Ax = b有唯一解。性無關(guān) r(A) =n Ax=b可由克拉默法則判斷有唯一解，而Ax = O僅有零解。對(duì)一般矩陣A咖則有：r( A) = n A的列向量組線性無關(guān)2齊次線性方程組Ax =0是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣A的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組Ax =b是否有解對(duì)應(yīng)于b是否可以由A的列向量組線性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁:行列式線性相關(guān)性質(zhì)1中的“|A|豐0 A的列向量組線性無關(guān)”一線性方程組性質(zhì)222#性質(zhì)1中的“ r(A)=n A的列向量組線性無關(guān)”另外，線性代數(shù)部分在考試時(shí)會(huì)經(jīng)常直接

47、考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推 論推導(dǎo)出來”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識(shí)面，說不定在考試時(shí)就會(huì)有意外收獲:1. 一個(gè)線性無關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。如果向量組aa2am可由向量組 匚、冷線性表示，則有r1,a2am) - r(r,“用n)。等價(jià)的向量組具有 相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量;任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià)。2.常見的線性無關(guān)組：齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系;_01010、 1、0這樣的單位向量組；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。3. 關(guān)于秩的一些結(jié)論:r(Am n) min m, n；r(A ) =1= r(A)

48、= n -1 ；r(AT) =r(A) =r(ATA)；r(AB)乞 min r(A), r(B)；r(A B)汀(A) r(B)；若有 Am n、Bns滿足 AB=O，則 r(A) r(Bp n ;若A是可逆矩陣則有r(AB)寸(B)；同樣若B可逆則有r(AB) =r(A)。非齊次線性方程組 Ax二b有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax =0僅有零解，若Ax = b有無窮多解則 Ax = 0有非零解；若 Ax二b有兩個(gè)不同的解則 Ax = 0有非零解；若A是m n矩陣而r(A)二m則Ax二b 定有解，而且當(dāng)m = n時(shí)是唯一解，當(dāng)m”：n時(shí)是無窮多解， 而若r(A)二n則Ax二b沒有解或有唯一解。2

49、.4 線代第五章特征值和特征向量相對(duì)于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)，歷年考研真題都有 相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會(huì)得到如此青睞，大概是因?yàn)榻鉀Q相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容一一即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”；著重考察這樣的知識(shí)點(diǎn)，在保證了考察面廣的同時(shí)又有較大的出題靈活性。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1.特征值和特征向量的 定義及計(jì)算方法。記牢一系列公式如 Ax =(x = 0)、，x - Ax = 0、( E - A)x = 0 和 | '-A 尸 0。歷年真題中常用到下列性質(zhì)：若n階矩陣A有n

50、個(gè)特征值'1 '2n ，則有|AF'i2-'n；2i2若矩陣A有特征值1，則kA、A、aA bE、f (A)、A -、A”分別有特征值 k、 . a- b、f()、丄.LAI，且對(duì)應(yīng)特征向量等于所對(duì)應(yīng)的特征向量，而若'1、2分別為矩陣a、b的特征值，則不一定為A B的特征值。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為 |b二PAP，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣A與矩陣B等價(jià)(A = B )的定義式是PAQ =B，其中P、Q為可逆矩陣，此時(shí)矩陣 A可通過初 等變換化為矩陣 B，并有r(A) =r(B)；當(dāng)PAQ =B中的P、Q互逆時(shí)就變成了矩陣相似( A飛)

51、的定義式，即有B二PAP，此時(shí)滿足r(A) =r(B)、I A|#B|、E-A|=E-B|，并且 A、B 有相同的特征值。矩陣合同的定義是 PTAP二B，其中P為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若A與B合同或相似則 A與B必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒有必然聯(lián)系。3. 矩陣可相似對(duì)角化的條件。包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件：n階矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的 特征向量 A的任意k重特征根對(duì)應(yīng)有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量； 充分條件:1是A有n個(gè)互不相同的 特征值；充分條件2是A為實(shí)對(duì)稱矩陣。4. 實(shí)對(duì)稱矩陣極其相似對(duì)角化。1tn階實(shí)對(duì)稱矩陣 A必可正交、相似于對(duì)角

52、陣 上，即有正交陣P使得P AP二P AP二上而且正交陣 P由A對(duì)應(yīng)的幾個(gè)正交的特征向量組成。其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo) 的關(guān)系：以求方陣的幕 Ak作為思路的起點(diǎn)，直接乘來求 Ak比較困難，但如果有矩陣 P使得A滿足ik_1_1_1k 1P AP(對(duì)角陣)的話就簡單多了，因?yàn)榇藭r(shí)A二PPP：.PPP = P P，而對(duì)pl. khk角陣b 的幕A 就等于 bk代如上式即得 A。而矩陣相似對(duì)角化的定義式正是 J.ckJ1P AP二一I。所以可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的幕，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的

53、相似對(duì)角化。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且PaAP=上中的P、上也分別是由A的特征向量和特征值決定的。求AnT相似對(duì)角化T特征值和特征向量2.5 線代第六章二次型本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握 二次型及其矩陣表示 和掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 的方法。 在理年真題中本章知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過大題。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章特征值和特征向量的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A存在正交矩陣P使得A可以相似對(duì)角化”，其過程就是上一章相似對(duì)角化在A為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。將本章與上一章中相似對(duì)角化部分的內(nèi)容作比較會(huì)有助于理解記憶“化

54、二次型為標(biāo)準(zhǔn)型”的步驟及避免前后混淆，但因?yàn)榇缶V對(duì)本章要求不高，所以不必深究。3 概率部分3.1 概率這門課的特點(diǎn)概率這門課如果有難點(diǎn)就應(yīng)該是“記憶量大”。對(duì)于概率部分相當(dāng)多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。記牢公式性質(zhì)，同時(shí)保證足夠的習(xí)題量，考試時(shí)概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。3.2 概率第一章隨機(jī)事件和概率本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對(duì)于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時(shí)難題很少。填空、選擇?？缄P(guān)于事件概率運(yùn)算的題目，大多圍繞形如P(AB) =P(AB)、P( B | A) =P(B|A)、P(A B C)這樣的式子利用各種概率運(yùn)算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關(guān)系及運(yùn)算”部分有很多公式可以借助畫集合運(yùn)算圖來輔助做題。區(qū)別互斥、互逆、對(duì)