概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)_習(xí)題集(含答案)

1、概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程習(xí)題集西南科技大學(xué)成人、網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院版權(quán)所有習(xí)題【說(shuō)明】：本課程概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(編號(hào)為01008)共有計(jì)算題1,計(jì)算題2等多種試題類(lèi)型，其中，本習(xí)題集中有口等試題類(lèi)型未進(jìn)入。、計(jì)算題11 .設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A,B,C表示出來(lái)。(1) A出現(xiàn)，B、C不出現(xiàn)；(2) A、B都出現(xiàn)，而C不出現(xiàn)；(3)所有三個(gè)事件都出現(xiàn)；(4)三個(gè)事件中至少一個(gè)出現(xiàn)；(5)三個(gè)事件中至少兩個(gè)出現(xiàn)。2 .在分別標(biāo)有123,4,5,6,7,8的八張卡片中任抽一張。設(shè)事件A為“抽得一張標(biāo)號(hào)不大于4的卡片”，事件B為“抽得一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片”，事件C為“抽得一張標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的卡片

2、”。試用樣本點(diǎn)表示下列事件：(1)AB;(2)A+B;(3)B;(4)A-B;(5)BC3 .寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：(1)一枚硬幣擲二次，觀察能出現(xiàn)的各種可能結(jié)果；(2)對(duì)一目標(biāo)射擊，直到擊中4次就停止射擊的次數(shù)；(3)二只可辨認(rèn)的球，隨機(jī)地投入二個(gè)盒中，觀察各盒裝球情況。4 .設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生；(2) A,B,C都發(fā)生；(3) A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生。5 .甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)。試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：(1)至少有一人命中目標(biāo)(2)恰有一人命中目

3、標(biāo)(3)恰有二人命中目標(biāo)(4)最多有一人命中目標(biāo)(5)三人均命中目標(biāo)6 .袋內(nèi)有5個(gè)白球與3個(gè)黑球。從其中任取兩個(gè)球，求取出的兩個(gè)球都是白球的概率。7 .兩臺(tái)車(chē)床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03,第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02。加工出來(lái)的零件放在一起，并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。8 .某地區(qū)的電話號(hào)碼由7個(gè)數(shù)字組成(首位不能為0),每個(gè)數(shù)字可從0,1,2,9中任取，假定該地區(qū)的電話用戶(hù)已經(jīng)飽和，求從電話碼薄中任選一個(gè)號(hào)碼的前兩位數(shù)字為24的概率。9 .同時(shí)擲兩顆骰子(每個(gè)骰子有六個(gè)面，分別有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6),觀察它

4、們出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求兩顆骰子得點(diǎn)數(shù)不同的概率。10 .一批零件共100個(gè)，其中次品有10個(gè)，今從中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次為次品，第二次為正品的概率。11 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為-2,xF(x)=ABe2x00x-0求(1)系數(shù)A及B;(2)X的概率密度f(wàn)(x);(3)X的取值落在(1,2)內(nèi)的概率。12 .假設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)=cx2,0:x:2(0,其他求：(1)c的值；(2)P(1X1)13 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany),求常數(shù)A,B,C(-x+iC),(-oCly+).14

5、.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,x1FX(x)=lnx,1Exe1,x之e求PX2,P0X3,P2X5/2;(2)求概率密度f(wàn)X(x)15.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為12(1-),1x2,f(x)=x0,其他.1x16.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=1x-1,x_00x1，求E(X),D(X)。其它xe17.設(shè)X的概率密度為f(x)=2xe.l2x0),求為了發(fā)現(xiàn)沉船所需的平均搜索時(shí)間。19.設(shè)X服從參數(shù)為九的指數(shù)分布，即X有密度函數(shù)f(x)=0,x0其他求:E(X),E(X2)。20 .x*=XE)稱(chēng)為對(duì)隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，求E(X*)及D(X*)。、,D(x)二、計(jì)算題221 .已

6、知XB(n,p),試求參數(shù)n,p的矩法估計(jì)值。22 .設(shè)總體X在a,b上服從均勻分布-xabf(x,a,b)=*b_axa,b，試求參數(shù)a,b的矩法估計(jì)量。.0x-a,b23 .設(shè)XdXn是來(lái)自N(匕仃2)的樣本，求已仃2的最大似然估計(jì)。24 .設(shè)有一批產(chǎn)品。為估計(jì)其廢品率p,隨機(jī)取一樣本X,X2,X,其中0取得合格品1取得廢品一_1n則？=x=ZXi是p的一致無(wú)偏估計(jì)量。nii25.設(shè)總體X的均值N及方差仃2都存在，且有仃20。但N,仃2均未知。又設(shè)2Xi,X2,.,Xn是來(lái)自X的樣本。試求仃2的矩估計(jì)量。26.某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)電池，其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差b2=5000（小時(shí)2）的正態(tài)分布

7、。今有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來(lái)看，壽命波動(dòng)性較大。為判斷這種想法是否合乎實(shí)際，隨機(jī)取了26只這種電池測(cè)出其壽命的樣本方差s2=7200（小時(shí)2）。問(wèn)根據(jù)這個(gè)數(shù)字能否斷定這批電池的波動(dòng)性較以往的有顯著變化（取a=0.02,查表見(jiàn)后面附表）？X-二.nN(0,1)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99

8、290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949x2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽樣分布,八-2個(gè):(n-?S？2(n1)a27.某電站供應(yīng)10000戶(hù)居民用電，設(shè)在高峰時(shí)每戶(hù)用電的概率為0.8,且各戶(hù)用電量多少是相互獨(dú)立的。

9、求：1、同一時(shí)刻有8100戶(hù)以上用電的概率；2、若每戶(hù)用電功率為100W則電站至少需要多少電功率才能保證以0.975的概率供應(yīng)居民用電？(查表見(jiàn)后面的附表)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)附表標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.

10、99480.9949x2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽樣分布X-1UN(0,1)二nX-1T:一t(n-1)S/nT分布表28.某種電子元件的壽命x(以小時(shí)計(jì))服從正態(tài)分布，jJ均未知，現(xiàn)測(cè)得16只元件,其樣本均值為X=241.5,樣本標(biāo)準(zhǔn)方差為S=98.7259。問(wèn)是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225(

11、小時(shí))？Na=0.25a=0.10a=0.05a=0.025130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448150.69241.34061.75312.1315160.69011.33681.74592.119929.已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下有正態(tài)分布N(4.55,0.1082)?，F(xiàn)在測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為4.28,4.40,4.42,4.35,4.37。問(wèn)：若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無(wú)變化？(a=0.05)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780

12、.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽樣分布(n-1)S22(n-1)XX2(n-1)S2zUN(0,1)T:：t(n-1)=2(n-1)二nS/n二30.已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下有正態(tài)分布N(4.55,0.1082)?，F(xiàn)在測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為4.28,4.40,4.42,4.35,

13、4.37。問(wèn)：若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無(wú)變化？(a=0.05)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽樣分布,XXx/2(n-1)S22/八U=N(0,1)T=t(n-1)=2(n-1)

14、.nS/n二答案、計(jì)算題11,解：(1)ABC;(2)ABC;(3)ABC;(4)A+B+C;(5)AB+BC+CA(每個(gè)3分)2.解：(1)AB=2,4;(2)A+B=1,2,3,4,5,6,8;(3)B=1,3,5,7;(4)A-B=1,3;(5)BC=1,2,3,4,5,6,7,8(每個(gè)3分)3.解：(1)(HH)(HT)(TH)(TT)(2) 4,5,6,(3) (12,0)(0,12)(1,2)(2,1)其中：1為一號(hào)球，2為二號(hào)球(每個(gè)5分)4.解：(1)利用事件的運(yùn)算定義，該事件可表示為ABCo(1) 同理，該事件可表示為ABC。(3) AB+BC+AC(每小題5分)5,解：(1

15、)AuBuC(4) ABC一ABC-ABC(5) ABC.ABC.ABC(6) bc.ac.Ab(7) ABC(每小題3分)2_2C1C；斛：基本事件的總數(shù)n=C8；基本事件數(shù)k=Cs0故所求的概率5=0.375147.解：任取一零件，設(shè)Bi,B2分別表示它是第一、二臺(tái)車(chē)床的產(chǎn)品，A表示它是合格品。(4分)則21P(E)=-,P(B2)=.33P(A|B)=1-0.03=0.97,P(A|B2)=1-0.02=0.98(10分)由全概率公式得2 1八P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=一乂0.97+一義0.98=0.973(15分)3 38 .解：第一位數(shù)字不能是0,

16、這時(shí)，基本事件的總數(shù)為1069(3分)A表示“任選的電話號(hào)碼的前兩位數(shù)字恰好為24”。由于電話號(hào)碼的前兩個(gè)數(shù)字為24,后五個(gè)數(shù)字中每一個(gè)可以由0,1,2,9中任取，故對(duì)A有利事件的數(shù)目為105。(6分)于是P(A)=1051069190(15分)9 .解：一個(gè)基本事件是由兩個(gè)數(shù)字組成的排列(i,j),i,j=1,2,3,4,5,6,而i,j可以重復(fù)，故基本事件的總數(shù)為62。(5分)A表示“兩顆骰子擲得的點(diǎn)數(shù)不同”。對(duì)A有利的基本事件數(shù)等于所有iwj排列方式的數(shù)目，即從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字任取其二作不可重復(fù)的排列方式數(shù)話,所以P(A)=(15分)10 .解：記A=第一次為次品、B=第

17、一次為正品，要求P(AB)。(2分)已知P(A)=0.1,而P(BA)P(AB)=P(A)P(B9090,因此(8分)9990八、=-0.1=0.091(15分)9911 .解:(1)由于F(+*)=limF(x)=1,所以有l(wèi)im(A+Be2)=A=1。又由于x二X.X為連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)應(yīng)為X的連續(xù)函數(shù)，應(yīng)有X2limF(x)=0=limF(x)=lim(ABe2)=ABX0-x_.0x_.0r-2x2222所以A+B=0,B=-A=-1，代入A、B之值得F(x)=1一eX0(5分)0x0-x22(2)對(duì)函數(shù)F(x)求導(dǎo)得x的概率留度為f(x)=F(x)=xex_0(10分)0x：0

18、b(3)由PamXb=f(x)dx=F(b)-F(a)式有a1P1cX2=F(2)F(1)=e-e/=0.4712(15分)13.解：由分布函數(shù)的性質(zhì)得:jinlim：A(B+arctanx)(C+arctany)=A(B+)(C+)=1(4分)jiJimA(B+arctanx)(C+arctany)=A(B-)(C+arctany)=0(8分)JIJim兄A(B+arctanx)(C+arctany)=A(B+arctanx)(C3)=0(12分)_二二1由此可斛付C=,B=,A=2-。(15分)22二20,x114.解：(1)FX(x)=lnx,1xe1,x之ePX2=FX(2)=ln2(

19、3分)P0XM3=FX(3)FX(10)=10=1(6分)555P2X5/2=FX()-FX(2)=lnln2=ln(9分)2240,其他(2)fX(x)=FX(x)=1(15分)-,1xe、x15.解：因概率密度f(wàn)(x)在x2處等于零，即知xx當(dāng)x2時(shí),(8分)F(x)-J-f(x)dx=1-f(x)dx-,xqQ=1-0dx=1.xx1x1F(x)=J-f(x)dx=匕0dx2(1-2)dx當(dāng)1xW2時(shí),(12分)1x111=2(x+)=2(x+-2).x1x故所求分布函數(shù)是0,x1,1一F(x)=42(x+2),1Ex2,(15分)x1,x-2.01.16.解：E(X)=xf(x)dx=

20、x(1+x)dx+x(1x)dx=0(7分)二：-104,r011D(x)=E(X2)E(X)2=q2f(x)dx=Lx2(1+x)dx+1x2(1x)dx=$(15分)1-二0exe/17 .解：令Y=|X|,所以：E(X)=|x|f(x)dx=Jxdx+lxdx=1(15202分)18 .解：設(shè)發(fā)現(xiàn)沉船所需要的搜索時(shí)間為X。由題設(shè)知PX0)(5分)Ze-t0故X的概率密度為f(t)=，可見(jiàn)X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，因此、0t=X-0,11p(1-p)P|?-p|-=P|X-p|.；-D(X)-p20；nnf-所以：limP|?p僅臥=0（17分）n一;二1故？=X1-HXi是廢品率p的一致

21、估計(jì)量。nia1.n從而，？=X=XXj是廢品率p的一致無(wú)偏估計(jì)重。（20分）ny25.解:I-1=E(X)=.222122=E(X)=D(X)E(X)(7分).一（i解得？（14分）盧=丹-葉分別以A,AH弋替4,2,得七仃2的矩估計(jì)量分別為A.a-A|二X,991/9-21/-9.仃2=A2A2=1Xi2-X=(Xi-X)2.(20分)ntny2226.解：本問(wèn)題要求在水平0.02下，檢3假設(shè)H)：(T=5000(H:dW5000)(4分)因?yàn)閦1/2(n-1)=N；q02/2(25)=11.524,(8分)Ia/2I0.02/2/2(n1)=看.02/2(25)=44.314(12分)2由2(n-1)S2257200而/一=36(18分)二05000由于7L/2(n-1)22/2(n-1)所以接受H),即認(rèn)為在0.02