最全最詳細抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性和周期性常用結(jié)論

1、抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念：抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點的函數(shù)值,特定的運算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)局部的難點,也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)局部的一個銜接點,由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難,所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S水平、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的水平1、周期函數(shù)的定義:對于f(X)定義域內(nèi)的每一個都存在非零常數(shù)T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,那么稱函數(shù)f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一個周期,那么kT(kwz,k*0)也是f(

2、x)的周期,所有周期中的最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期.分段函數(shù)的周期：設(shè)y=f(x)是周期函數(shù),在任意一個周期內(nèi)的圖像為c：y=f(x),xwb,bT=b-a.把丫=f(x)沿x軸平移KT=K(b-a)個單位即按向量a=(kT,0)平移,即得y=f(x)在其他周期的圖像:y=f(x-kT),xkTa,kTblf(x)=<f(x)xwb,b】J(x-kT)xwkT+a,kT+b2、奇偶函數(shù)：設(shè)y=f(x),xa,b墟xwLb,-aa,b】假設(shè)f(-x)=-f(x),那么稱y=f(x)為奇函數(shù)；假設(shè)f(-x)=f(x)那么稱y=f(x)為偶函數(shù).分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：(1)中央

3、對稱即點對稱：點A(x,y)與B(2ax,2b-y)關(guān)于點(a,b)對稱；點A(a-x,by)與B(a+x,b+y)關(guān)于(a,b)對稱；函數(shù)y=f(x)與2b-y=f(2a-x)關(guān)于點(a,b)成中央對稱；函數(shù)b-y=f(a-x)與b+y=f(a+x)關(guān)于點(a,b)成中央對稱；函數(shù)F(x,y)=0與F(2ax,2by)=0關(guān)于點(a,b)成中央對稱.軸對稱：對稱軸方程為：Ax+By+C=0./2A(AxByC)2B(AxByC)點A(x,y)與B(x,y)=B(x八2+-2、一八24c2)關(guān)于ABAB直線Ax+By+C=0成軸對稱；函數(shù)y=f(x)與y一2B(A/By：C)=f(x一2A(f

4、C)關(guān)于直線A2B2A2B2Ax+By+C=0成軸對稱.F(x,y)=0與F(x-空R,y-萼:*)=0關(guān)于直線ABABAx+By+C=0成軸對稱.二、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論(一)函數(shù)y=f(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)假設(shè)f(x+a)=±f(x+b),那么f(x)具有周期性；假設(shè)f(a+x)=±f(b-x),那么f(x)具有對稱性：內(nèi)同表示周期性,內(nèi)反表示對稱性1、f(a+x)=f(b-x)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=(a+x)+(b-x)=gj*對稱22推論1：f(a+x)=f(ax)uy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱推論2、f(x)=f(2a-x)uy=f(

5、x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱推論3、f(x)=f(2a+x)uy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱2、f(a+x)+f(bx)=2cwy=f(x)的圖象關(guān)于點(a,bc)對稱2,推論1、f(a+x)+f(ax)=2buy=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論2、f(x)+f(2ax)=2buy=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論3、f(x)+f(2a+x)=2buy=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱(二)兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)y=f(x)與y=f(x)圖象關(guān)于Y軸對稱2、奇函數(shù)y=f(*)與y=-f(-x)圖象關(guān)于原點對稱函數(shù)

6、3、函數(shù)y=f儀)與y=-f(x)圖象關(guān)于X軸對稱4、互為反函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f,(x)圖象關(guān)于直線y=x對稱.b-a5.函數(shù)丫="2+*)與丫=f(b-x)圖象關(guān)于直線x=對稱2推論1：函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a_x)圖象關(guān)于直線x=0對稱推論2:函數(shù)y=f(x)與y=f(2ax)圖象關(guān)于直線x=a對稱推論3:函數(shù)y=f(_x)與y=f(2a+x)圖象關(guān)于直線x=a對稱(三)抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1假設(shè)函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a軸對稱,那么以下三個式子成立且等價：(1) f(a+x)=f(ax)(2) f(2a-x)=f(x)(3) f(

7、2a+x)=f(-x)性質(zhì)2假設(shè)函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)中央對稱,那么以下三個式子成立且等價：(1) f(a+x)=f(ax)(2) f(2a-x)=f(x)(3) f(2a+x)=f(-x)易知,y=f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1(或2)當(dāng)a=0時的特例.2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、假設(shè)對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有fg(x)=fg(x),那么復(fù)數(shù)函數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù).定義2、假設(shè)對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有fg(x)=fg(x),那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù).說明：(1)復(fù)數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù),那么fg(x)=fg(x)而不是fg(x)=fg(x),復(fù)合函數(shù)

8、y=fg(x)為奇函數(shù),那么fg(x)=fg(x)而不是f-g(x)=fg(x).(2)兩個特例：y=f(x+a)為偶函數(shù),那么f(x+a)=f(x+a)；y=f(x+a)為奇函數(shù),那么f(x+a)=f(a+x)(3)y=f(x+a)為偶(或奇)函數(shù),等價于單層函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a軸對稱(或關(guān)于點(a,0)中央對稱)3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(bx)關(guān)于直線x=(ba)/2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y=f(a+乂)與丫=f(bx)關(guān)于點(b-a)/2,0)中心對稱推論1、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(ax)關(guān)于y軸軸對稱推論2、復(fù)合函數(shù)y=f(a+乂)

9、與丫=f(ax)關(guān)于原點中央對稱4、函數(shù)的周期性假設(shè)a是非零常數(shù),假設(shè)對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點有以下條件之一成立,那么函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且2|a|是它的一個周期. f(x+a)=f(xa) f(x+a)=f(x) f(x+a)=1/f(x) f(x+a)=1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)5假設(shè)函數(shù)y=f(x)同時關(guān)于直線x=a與x=b軸對稱,那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),且T=2|a-b|性質(zhì)6、假設(shè)函數(shù)y=f(x)同時關(guān)于點(a,0)與點(b,0)中央對稱,那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),且T=2|a-b|性質(zhì)7、假設(shè)函數(shù)y=f(x)既關(guān)于點(a,0)中央對

10、稱,又關(guān)于直線x=b軸對稱,那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),且T=4|a-b|6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用(1)假設(shè)y=f(x)關(guān)于點(h,k)對稱,那么x+x,=2h,y+y/=2k,即f(x)f(x/)=f(x)f(2h-x)-2kf(x1)f(x2)f(xn)f(2h-xn)f(2h-xnJ)f(2h-x1)=2nk(2)例題ax11、1 、f(x)=產(chǎn)關(guān)于點(一,一)對稱：f(x)+f(1-x)=1；axa224x-1f(x)=2x廠2x1關(guān)于(0,1)對稱：f(x)f(-x)=2f(x)=1(支wR,x=0)關(guān)于(；)對稱：f(x)+fg)=12 、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(0,0)對稱：f(x)

11、+f(x)=0.3 、假設(shè)f(x)=f(2ax)或f(ax)=f(a+x),那么y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.設(shè)f(x)=0有n個不同的實數(shù)根,那么x1x2xn=x1(2ax1)x2(2a-x2)xn(2a-xn)=na.22(當(dāng)n=2k+1時,必有x1=2a-x1尸x1=a)(四)常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1、 f(xT)=f(x)(T京0)-u-y='f(x)的周期為T,kT(kZ)也是函數(shù)的周期2、 f(x+a)=f(x+b)uy=f(x)的周期為T=b-a3、f(x+a)=f(x)yy=f(x)的周期為T=2a,14、f(x+a)=y=f(x)的周期為

12、T=2af(x)'L.15、f(x+a)=uy=f(x)的周期為T=2af(x)6、f(x+a)=1f-()uy=f(x)的周期為T=3a1 f(x)r17、f(x+a)=-uy=f(x)的周期為T=2af(x)11f(x)8、f(x+a)=匚1uy=f(x)的周期為T=4a1-f(x)9、f(x+2a)=f(x+a)f(x)uy=f(x)的周期為T=6a10、假設(shè)pA0,f(px)=f(px"p),那么T="p.11、y=f(x)有兩條對稱軸x二a和x=b(bZa)uyIf(x)周期T=2(ba)推論：偶函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(ax)uy=f(x)周

13、期T=2a12、y二f(x)有兩個對稱中央(a,0)和(b,0)(b三a)uy=f(x)周期T=2(ba)推論：奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(ax)uy=f(x)周期T=4a13、y=f(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中央(b,0)(ba)uf(x)的T=4(ba)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性,可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問題,它對練習(xí)學(xué)生分析問題與解決問題的水平有重要作用.下面通過實例說明其應(yīng)用類型.1 .求函數(shù)值例1.(1996年高考題)設(shè)f(x)是(*,")上的奇函數(shù),f(2+x)=f(x),當(dāng)0ExE1時,f(x)=x,

14、那么f(7.5)等于(-0.5)(A)0.5;(B)-0.5;(C)1.5;(D)-1.5.例2.(1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù),且f(x+2)1f(x)】=1+f(x),f(1)=2+J3,求f(1989)的值.f(1989)=732.2、比擬函數(shù)值大小1例3.假設(shè)f(x)(xWR)是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)xw10,1】時,f(x)=x詢,試比擬98101104,f(二7)、f(7T)、f(二7丁)的大小.1917151一104F).解：f(x)(xwR)是以2為周期的偶函數(shù),又=f(x)=x8在10,1】上是增函數(shù),且C11614彳一11/161,141

15、0110<<<<1,f()<f()<f(),即f(<f171915171915173、求函數(shù)解析式例4.(1989年高考題)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(,)上且以2為周期的函數(shù),對2kwZ,用Ik表示區(qū)間(2k1,2k+1),當(dāng)xwI.時,f(x)=x.求f(x)在Ik上的解析式.解：設(shè)x(2k-1,2k1),.2k-1二x:二2k1=-1:二x-2k<1丫xwI0時,有f(x)=x2,由1<x2k<|f(x2k)=(x2k)2-一-一一一一一一-一2f(x)是以2為周期的函數(shù),f(x2k)=f(x),f(x)=(x2k).例5.設(shè)f(x

16、)是定義在(-8,+8)上以2為周期的周期函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),在區(qū)間2,3上,f(x)=2(x3)2+4.求xW1,2】時,f(x)的解析式.解：當(dāng)x'：-3,-21,即-x2,31,22f(x)=f(-x)=-2(-x-3)4=-2(x3)4又f(x)是以2為周期的周期函數(shù),于是當(dāng)xW1,2,即3Ex4E2時,有f(x)=f(x-4)=f(x)=-2(x-4)34=-2(x-1)24(1<x<2).-2一,f(x)=-2(x-1)4(1<x<2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.f(x)的周期為4,且等式f(2+x)=f(2x)對任意xwR均成立,判斷函數(shù)f(x

17、)的奇偶性.解：由f(x)的周期為4,得f(x)=f(4+x),由f(2+x)=f(2x)得f(-x)=f(4+x),二f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)例7.設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2+x)=f(2x),f(7+x)=f(7x)且f(0)=0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間30,30上與x軸至少有多少個交點.解：由題設(shè)知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=2和x=7對稱,又由函數(shù)的性質(zhì)得f(x)是以10為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間10,10)上,f(0)=0,f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0且f(x)不能恒為零,故f(x)圖象與x軸至少

18、有2個交點.而區(qū)間1-30,30JW6個周期,故在閉區(qū)間匚30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個交點.6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列0/中,a1=J3,anJ+%至2),求數(shù)列的通項公式,并計算1-an4Sia5a9'a1997.分析：此題的思路與例2思路類似.1al1tg：二斛：令a1=tga,那么a?=tg(一+)1-a11-tg：4=tg(2一,二)anJ=tg卜n-1)x1+«于是an1an1-an,一,人元,=tg(n一1)4:1a2a3=1-a2不難用歸納法證實數(shù)列的通項為：an=tg(-n-+a),且以4為周期.44于是有1,5,91997是以4為公差的等差

19、數(shù)列,二a1=a5=a9=a1997,由1997=1+(n1)父4得總項數(shù)為500項,&'a5'a9,'1997=500a1=5003.7、在二項式中的應(yīng)用例9.今天是星期三,試求今天后的第9292天是星期幾分析：轉(zhuǎn)化為二項式的展開式后,利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進行計算即可.9292-(911)92-C09192C19191,c90912C91911()C92C92C92C92?.9292=(7父13+1)92=002(7M13)92+C92aM13)91+C黑(7父13)2+092(713)+1由于展開式中前92項中土有7這個因子,最后一項為1,即為余數(shù),故

20、9292天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用z,13例10.(上海市1994年圖考題)設(shè)z=-十l(l是虛數(shù)單位),那么滿足等式z22且大于1的正整數(shù)n中最小的是()(A)3;(B)4;(C)6;(D)7.1 3分析：運用z=-十I方帚的周期性求值即可.2 2解：=zn=z,.z(zn,-1)=0=zn,=1,丫z3=1,二n1必須是3的倍數(shù),即n1=3k(kWN),.n=3k1(kN).,k=1時,n最小,(n)min=4.應(yīng)選擇(B)9、解“立幾題例11.ABCAA1B1C1D1是單位長方體,黑白二蟻都從點A出發(fā),沿棱向前爬行,每走一條棱稱為“走完一段.白蟻爬行的路線是AAiTA1D1t,黑蟻爬行

21、的路線是ABtBB1t.它們都遵循如下規(guī)那么：所爬行的第i十2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線(其中iwN).設(shè)黑白二蟻走完第1990段后,各停止在正方體的某個頂點處,這時黑白蟻的距離是(A)1;(B)<2;(C)<3；(D)0.解：依條件列出白蟻的路線AA1>AD1>D1cl>C1c>CB>BAtAAt,立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點,可以判斷每六段是一個周期1990=6x331+4,因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置,不難計算出在走完四段后黑蟻在D1點,白蟻在C點,故所求距離是J2

22、.例題與應(yīng)用例1:f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=f(x+4),x0,2時f(x)=x,求f(2007)的值例2:f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x+2)1f(x)=1+f(x),f(1)=2,求f(2021)的值.故f(2021)=f(251X8+1)=f(1)=2例3:f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)=f(4-x),且當(dāng)xWL2,0】時,f(x)=2x+1,那么當(dāng)xW4,6】時求f(x)的解析式例4:f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x+999)=-1-,f(999+x)=f(999-x),f(x)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5:f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x)=f

23、(4-x),且當(dāng)xWL2,0】時,f(x)是減函數(shù),求證當(dāng)xw,61時f(x)為增函數(shù)例6:f(x)滿足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),假設(shè)f(a)=-f(2000),aC5,9且f(x)在5,9上單調(diào).求a的值.例7:f(x)是定義在R上的函數(shù),f(x)=f(4x),f(7+x)=f(7-x),f(0)=0,求在區(qū)間1000,1000上f(x)=0至少有幾個根解：依題意f(x)關(guān)于x=2,x=7對稱,類比命題2(2)可知f(x)的一個周期是10故f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0,10上,方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數(shù),每個周期上至少有兩個根,因此方程f(x)=0在區(qū)間1000,1000上至少有1+2M2000=401個根10例1、函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),那么y=f(x+4)與