除法中的巧算(含答案解析)

1、奧數(shù)專題一一除法中的巧算(一)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)我們利用“商不變的性質(zhì)”進(jìn)行除法中的巧算，因?yàn)椤吧滩蛔冃再|(zhì)”，是被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)(零除外)，它們的商不變。一般有這樣的公式：或如：或例1.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題。(1) (2)分析：(1)(2)可以利用“商不變的性質(zhì)”去計(jì)算。(2)想辦法使其中一個(gè)數(shù)擴(kuò)大、或縮小后成為整十、整百、整千，如25擴(kuò)大4倍得100。(3)看到被除數(shù)，與除數(shù)末尾都有00,這樣讓它們同時(shí)縮小100倍。在除法運(yùn)算中，還有兩個(gè)數(shù)的和，(或差)除以一個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去除這兩個(gè)數(shù)(在都能整除的情況下)，再求兩個(gè)商的和或差。一般公式：如：這個(gè)性質(zhì)可以推廣到多個(gè)數(shù)的

2、和除以一個(gè)數(shù)的情況。例2.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。(1)(2)分析：這兩題都可以運(yùn)用以上性質(zhì)去解答，就是“兩個(gè)數(shù)的和(差)除以一個(gè)數(shù)”的除法運(yùn)算性質(zhì)。(1) (2)除了以上性質(zhì)外，使計(jì)算題簡(jiǎn)便，同時(shí)還有利用乘、除同級(jí)運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的性質(zhì)：(1)兩個(gè)數(shù)的商除以一個(gè)數(shù)，等于商中的被除數(shù)先除以這個(gè)數(shù)，再除以原來商中的除數(shù)。般有:如：(2)兩個(gè)數(shù)的積除以一個(gè)數(shù)，等于用除數(shù)先去除積的任意一個(gè)因數(shù)，再與另一個(gè)因數(shù)相乘。一般有：或如：或：例3.計(jì)算下面各題。(1)(2)分析：這兩題可以運(yùn)用乘除混合運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的性質(zhì)。(1) (2)在運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)乘除混合運(yùn)算及括號(hào)等，怎么辦，仍有一些性質(zhì)：1. 一個(gè)數(shù)

3、除以兩個(gè)數(shù)的積，等于這個(gè)數(shù)依次除以積的兩個(gè)因數(shù)。一般公式：如:例5.簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題。(1)(2)分析：利用以上公式計(jì)算，發(fā)現(xiàn)(1)被除數(shù)一兩個(gè)數(shù)的積，可以用下面公式計(jì)算:(3) (2)2. 一個(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)乘以商中的被除數(shù)，再除以商中的除數(shù)。一般的有：如：例6.簡(jiǎn)便計(jì)算。(1)(2)分析：以上兩題可以利用乘除混合運(yùn)算“去括號(hào)”，或“添括號(hào)”的性質(zhì)進(jìn)行巧算。(3) (2)3. 一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)除以商中的被除數(shù)，再乘以商中的除數(shù)。般有:如:例7.簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題。(2)分析：這兩題即根據(jù)小性質(zhì)去做，可“添括號(hào)”。(2)以上6題都是利用乘除混合運(yùn)算去括號(hào)，或添括號(hào)的

4、性質(zhì)解決的。但要注意：我們?cè)谑褂靡陨先砍ǖ倪\(yùn)算性質(zhì)時(shí)，必須具備的條件是商不能有余數(shù)。如果商有余數(shù)，在使用這些運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，余數(shù)是會(huì)發(fā)生變化的。如:例8.巧算下面各題。(4)(3)(2)分析：以上4題，有些算式表面看起來不能進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，可把已知數(shù)適當(dāng)分解或轉(zhuǎn)化，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。另外，在計(jì)算時(shí)無論題目是否要求簡(jiǎn)算，都應(yīng)盡量地使用簡(jiǎn)便方法，有時(shí)可反復(fù)使用有關(guān)的定律和性質(zhì)。(1)這題我們將39分解為，然后按性質(zhì)去做。(2)此題將125轉(zhuǎn)化為(3)這一步將99轉(zhuǎn)化為此題直接利用乘法分配律計(jì)算就可以。再次轉(zhuǎn)化為對(duì)接近100的兩位數(shù)相乘的速算。接近100的兩位數(shù)，用被乘數(shù)減去，100減乘數(shù)的差，所得的

5、結(jié)果作積的前兩位；再用100減去被乘數(shù)的差與100減乘數(shù)的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩位?；蛴贸藬?shù)減去，100減被乘數(shù)的差，所得的結(jié)果作積的前兩位，再用100減去被乘數(shù)的差與100減去乘數(shù)的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩位。我們用這種方法計(jì)算。例9.計(jì)算：分析：因?yàn)?lt;1>差對(duì)98而言<2>差對(duì)91而言所以或所以用這種方法，有兩種特例需要注意：特例1.用100分別減去兩個(gè)因數(shù)所得白差相乘之積不足10時(shí)，要在這個(gè)一位數(shù)前如:添0,否則積變成三位數(shù)就錯(cuò)了。速算為:(注意8前添0)發(fā)現(xiàn)：差1、差2,用第一個(gè)因數(shù)差2,再用差2X差1,最后結(jié)果是第一個(gè)因數(shù)X差2的結(jié)果做為前兩位數(shù)，差2X差1的結(jié)果做為后兩位數(shù)。如果結(jié)果為一位數(shù)，前面要添0。特例2.用100分別減去兩個(gè)因數(shù)所得白差相乘之積大于10時(shí)，要將百