集合問題中常見易錯點歸類分析答案

1、集合問題中常見易錯點歸類分析有關(guān)集合問題，涉及范圍廣，內(nèi)容多，難度大，題目靈活多變.初學(xué)時，由于未能真正理解集合的意義，性質(zhì)，表示法或考慮問題不全，而造成錯解.本文就常見易錯點歸納如下：1.代表元素意義不清致誤錯解：由x+2y=5x2y=3例1設(shè)集合A=(x,y)IX+2y=5,B=(x,V)X-2y=3,求ABx=1c得從而AlB=1,2.J=2分析上述解法混淆了點集與數(shù)集的區(qū)別，集合A、B中元素為點集，所以AriB=(1,2)例2設(shè)集合A=yIy=x2+1,x乏R,B=xIy=v'x+2,求AAB.錯解：顯然A=y|y>lB=xly>2.所以AAB=B.分析錯因在于對集

2、合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,從而A=yIy>1,但集合B中的元素為x,所以B=xIx>0,故AAB=A.變式：已知集合A=y|y=x2+1,集合B=y|x=y2,求A。B解：A=y|y=x2+1=y|y21,B=y|x=y2=RAB=y|y_122_例3設(shè)集合A=xx6=0,B=x|xx6=0,判斷A與B的關(guān)系。錯解：A=B=2,3分析：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。元素的屬性可以是方程，可以是數(shù)，也可以是點，還可以是集合等等。集合A中的元素屬性是方程，集合B中的元素屬性是數(shù)，故A與B不具包含關(guān)系。例4設(shè)B=1,2,A=x|x?B,則

3、A與B的關(guān)系是()A.A?BB.B?AC.ACBD.BCA錯解：B分析：選D.B的子集為1,2,1,2,?,.A=x|x?B=1,2,1,2,?,從集合與集合的角度來看待A與B,集合A的元素屬性是集合，集合B的元素屬性是數(shù)，兩者不具包含關(guān)系，故應(yīng)從元素與集合的角度來看待B與A,BCA.評注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本質(zhì)屬性，解題時應(yīng)認真領(lǐng)會，以防出錯.2忽視集合中元素的互異性致錯例5已知集合a=1,3,a,b=1,a2a+1,且A二B,求a的值.錯解：經(jīng)過分析知，若a2a+1=3，則a2a-2=0，即a=T或a=2.若a2a+1=a,則a22a+1=0，即a=1.從而a=1

4、,1,2.分析當a=i時，a中有兩個相同的元素1,與元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去，故例6設(shè)人=xIx2+(b+2)x+b+l=0,bWR,求A中所有元素之和.錯解：由X2+(b+2)x+b+l=O得(x+1)(x+b+1)=0(1)當b=0時，xi=X2-1,此時A中的元素之和為一2.(2)當b¥0時，xi+X2=b2.分析上述解法錯在(1)上，當b=0時，方程有二重根1,集合A=1,故元素之和為一1,犯錯誤的原因是忽視了集合中元素的“互異性”.因此，在列舉法表示集合時，要特別注意元素的“互異性”.評注：集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別

5、是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。在解題時也可以先確定字母參數(shù)的范圍后，再具體解決問題。3.忽視空集的特殊性致誤例7若集合A=x|x2+x6=0,B=x|mx+1=0,且B三A,求實數(shù)m的值.錯解：A=x|x2+x-6=0=-3,2.B注A,(1) B=-3mx+1=0的解為一3,1由m(3)+1=0,得m=-;3(2) B=2mx+1=0的解為2,1由m2+1=0,得m=2；八，一11綜上所述，m=或m=一32分析：空集是任何集合的子集，此題忽略了B=e的情況。正解：A=x|x2+x-6=0=-3,2.-BA,(1) B=d,此時方程mx+1=0無解，m=0(2) B

6、=-3mx+1=0的解為一3,1由m(-3)+1=0,得m=-;3(3) B=2mx+1=0的解為2,1由m2+1=0,得m=2；1.1.綜上所述，m=或m=-或m=032例8已知A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a21=0,若B=A,求a的取值范圍。解：A=x|x24x=0=-4,0(1) B="A=4(a+1)24(a21)=8(a+1)<0,即a<1(2) B=工，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有兩等根4,=0'a=-1"由J9得所以無解16-8(a+1)+a2-1=0§=1或7(3) b=0,方程x2+2(a

7、+1)x+a21=0有兩等根o所以a=1a=0/日'a=-12得*a1=0a=±1!L(4) B=4,0,方程x2+2(a+1)x+a21=0有兩不等根4,l01a一1由_4+0=-2(a+1)得<a=1，所以a=1-4*0=a2-1a=±1綜上所述，2=1或24-1例9已知集合A=x|x<1或x>4,B=x|2aWxWa+3,若BJA,求a的取值范圍。解：(1)B=4,2a>a+3得a>3(2) B#弧則aE3”3或a+3<-1a<32a>4得a:二乂或2:二a<3綜上所述a：二-4或a2例10已知集合A=x|

8、xc1或x>4,B=x|1aExE1+a,若Ab=G,求a的取值范圍。解：(1)B=6,則a<0,符合題意a>0(3) B。，則”一a之一1=0MaW21+a<4綜上所述，a<2變式：已知集合A=x|x<-1或x>4,B=x|1aMxE1+a,若AB#，求a的取值范圍。解：當aCb=中時，a<2所以當Ab"小時，a>2評注：對于任何集合A,皆有An*=*,AU*=A,©土A.4的特殊性不容忽視.尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時，更要充分注意當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種情況?？占且粋€特殊的集合，由于思維

9、定式的原因，考生往往會在解題中遺忘了這個集合，導(dǎo)致解題錯誤或是解題不全面。4 .忽視端點值能否取得致誤例11已知集合A=xIx>4,或xV5,B=xIa+lWxWa+3,若AUB=A，求a得取值范圍.錯解：由AUB=A得B三A.，a+3w5,或a+i>4,解得aw8,或a>3.分析：上述解法忽視了等號能否成立，事實上，當a=8時，不符合題意；當a=3時，符合題意，故正確結(jié)果應(yīng)為av8,或a>3.評注：在求集合中字母取值范圍時，要特別注意該字母在取值范圍的邊界能否取等號,否則會導(dǎo)致解題結(jié)果錯誤.5 .忽視隱含條件致誤例12設(shè)全集U=2,3,a2+2a-3,A=l2a-1I

10、,2,C|jA=5,求實數(shù)a的值.錯解：CuA=5,5WS且5更A,從而，a2+2a3=5,解得a=2,或a=-4.分析導(dǎo)致錯誤的原因是沒有考慮到隱含條件，因為U是全集，所以AEU.當a=2時，12a-11=3wS,符合題意；當a=4時，12a-1I=9更s,不符合題意；故a=2.評注：在解有關(guān)含參數(shù)的集合時，需要進行驗證結(jié)果是否滿足題設(shè)條件，包括隱含條件.6、忽視補集的含義致錯1例13已知全集I=R,集合M=x|x-x<Q,集合N=x|<1,則下列關(guān)x系正確的是()A.吟倒B.CT"D.-J，R11錯解：N=x|2<1的補集為C|N=x|->1,故選Coxx剖析：本題錯誤地認為A=x|f(x)M0的補集為C|A=x|f(x)>0。事實上對于全集I=R,由補集的定義有aUc1A=R，但幻式幻工口)外>口>x|f(x)W0Ux|f(x)>0=x使f(x)有意義，xwR,即為f(x)的定義域。所以只有當f(x)的定義域為R時才有A=x|f(x)E0的補集為C1A=x|f(x)>0,否則先求A,再求CIA。一一1x-1正解：N=x|W1=x|之0=x|x<0或x之1,所以CN