4平面向量的綜合應用

1、§5.4平面向量的綜合應用最新考綱考情考向分析1. 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.2. 會用向量方法解決簡單的力學問題及其他一些實際問題.主要考查平面向量與函數(shù)、二角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題，求參數(shù)范圍、最值等問題是考查的熱點，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題.基礎知識白主學習回扣皋礎知識訓練幕砒題目知識梳理1向量在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理a/b?a=入b?xy2X2y=0,其中a=(xv')，b=(X向量在解析幾何中的應用,y2)

2、,b工0垂直問題數(shù)量積的運算性質aLb?a?b=0?X1X2+y'y2=0,其中a=(x',y'),b=(X2,汨，且a,b為非零向量夾角問題數(shù)雖積的定義a?bcos0=|a|b|(e為向量a,b的夾角)，其中a,b為非零向量長度問題數(shù)雖積的定義|a|=百=心2+y2,其中a=(X,y),a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟設向量運算還原平面幾何問題一向量問題一_1解決向量問題一解決幾何問題.向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.它主要強調向量的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答，坐標的運算是考查的主體.

3、平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決.物理學中的功是一個標量，是力F與位移s的數(shù)量積，即WF?s=|F|s|cos0(B為F與s的夾角).向量與相關知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關問題.1. 【概念方法微思考】根據(jù)你對向量知識的理解，你認為可以利用向量方法解決哪些幾何問題？提示(1)線段的長度問題.(2)直線或線段平行問題.(3)直線或線段垂直問題.(4)角的問題等.2. 如何用向量解決平面幾何問題？提示用向量表示

4、問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題然后通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題，最后把運算結果“翻譯”成幾何關系基礎自測題組一思考辨析1?判斷下列結論是否正確(請在括號中打“我“X”)(1)若屜AC,則A,B,C三點共線.(V)在么ABC中，若AB-BC<0，則么ABC為鈍角三角形.(X)若平面四邊形ABCDt足XB+CD=0,(AB-AD-XC=0,則該四邊形一定是菱形.(V)已知平面直角坐標系內有三個定點A2,1),耳0,10),C(8,0)，若動點P滿足：0P=0AFt(ABAAC,t?R,則點P的軌跡方程是xy+1=0.(V)題組二教材改編2.P1

5、08A組T5已知"BC勺三個頂點的坐標分別為A(3,4),B(5,2),C(1,-4),貝U該三角形為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形答案B解析KB=(2,-2),AC(-4,-8),Bc>(-6,-6),?-1AB=22+(2)2=22,|AQ=16+64=45,|BQ=36+36=62,?-|AB2+I麗2=|AC2,?ABC為直角三角形.3. P113A組T1平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足OP-OA=4,則點P的軌跡方程是.答案x+2y4=0解析由6P?OA=4,得(x,y)-(1,2)=4，即x+2y=4

6、.題組三易錯白糾2113±寸無答案一成或3以3我24?在MBC中，已知KB=(2,3),AC=(1,k),且AABQ的一個內角為直角，則實數(shù)k的值為解析若A=90，則AB-AC=0,即2+3k=0,若B=90°,貝U有AB-BC=0,因為BC=ACAB=(1,k3),11所以一2+3(k3)=0,解得k=-;若C=90,則有AC-BC=0,即一1+k(k3)=0,3土Ji3解得k=門.2113i/t3綜上所述，k=3或3或一在四邊形ABCD中，AC=(1,2),BD=(4,2)，則該四邊形的面積為答案5解析依題意得AC-BD=1X(4)+2X2=0,所以ACLBD所以四邊形

7、ABCD勺面積為1|AC|?|BD=2x5X20=5.3. 已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為(一2,0),O為坐標原點，貝UAO-AP.答案6解析方法一由題意知，AO=(2,0),令F(cosa,sina)，則AP=(cosa+2,sina).XO-AP=(2,0)?(cosa+2,sina)=2cosa+4w6,故AO?AP的最大值為6.方法二由題意知，AO=(2,0)，令P(x,y),-1wxw1,則AO-XP=(2,0)?(x+2,y)=2x+4w6,故AO?AP的最大值為6.題型分類深度剖析真題馨題深度剖靳置點難點多維探究題型一向量在平面幾何中的應用-"y:三W勺最

8、大值為AC例1(1)如圖，在梯形ABC中，AB/CD,CD=2,/BAD=n4，若AB?AC=2AB-AD則Ab4答案12解析(1)方法一因為XB-AC=2AB-A所以AB-AC-AB-AD=AB-AD所以XB-DC=XB-ADn因為AB/CD,CD=2,/BAD=-所以2|XB=|AB|Xqcos亍，化簡得IAD=2«.x故Ab?AC=Ab?(AtAC=IAD2+Ab?DC=(22)+22X2cos-4=12.方法如圖，建立平面直角坐標系xAy.H0依題意，可設點D(mm),Qm+2,n),B(n,0),其中n>0,n>0,則由XB-XC>2XB-忌得(n,0)-

9、(m+2,n)=2(n,0)?(mm,所以n(m+2)=2nm化簡得m=2.XX2故AD-AO(mm-(mA2,m)=2m+2m=12.(2018?廣元統(tǒng)考)在么ABC中，AB=2AO6,BA-目>弘，點p是Z,ABC所在平面內一點，則當亦+萌+PC取得最小值時，XP-Be-答案一9解析-/gA-BC-BA,?BABCBA=BA-(xCBA=ba-Ac-0,?BA土AC即BA士AC以點A為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，ic)vJJAr"b刀則B(6,0),C(0,3)，設P(x,y),?PA2+PB+"PC-x2+y2+(x6)2+y2+x2+(y3)222=3x

10、12x+3y6y+45-(-6,3)=9.把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關點與向量就可以用坐標表示.基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程進行求解跟蹤訓練1（1）（2019?松原三校聯(lián)考）已知ABC7卜接圓的圓心為O,AB=23,AC=22,A為鈍角,M是BC邊的中點，貝UXM-商于（B.4D.6A.3C.5答案C解析IM是BC邊的中點，?AM=2(AB+AC,?/。是么ABC的外接圓的圓心,?-AO?AB=|AO?|ABcos/BAO=2|AE|2=(23)2=6.?1沙?>AO項A"AQ,A0同理可得云bAC=A|AC2=(2

11、2)2=4.=2AB-心2AC.心（6+4）=5.（2018?聊城模擬）在AABC中，BC邊上的中線AD的長為2,點P是么ABC所在平面上的任意一點,則PA-PB+PA-PC的最小值為（）A.1B.2C.-2D.-1答案C解析建立如圖所示的平面直角坐標系，使得點D在原點處，點A在y軸上，貝UA(0,2).設點P的坐標為(x,y),則PAA(x,2y),P(3=(x,y),故PA-PB+PA-PC=PA-(pBAPC)=2PA-PO>2(x2+y22y)=2x2+(y-1)2-2>-2,當且僅當x=0,y=1時等號成立.所以PA-需PA-PC的最小值為一2.11宜：H例2已知正三角形

12、ABC的邊長為23,平面ABC內的題型二向量在解析幾何中的應用動點P,M滿足|AP=1,PM=MC則IBM2的最大值是()49B.743A"37+6,3C.37+233D.解析如圖，由|W=1知點P的軌跡是以A為圓心，以答案1為半徑的圓.II1貝U|MN=2lAP=2,取AC的中點N,連接MN點M為PC的中點，鄙攻點聊的3,跡是以N為圓心，以2為半徑的圓?所以|BM的最大值為(2)在平面直角坐標系3+2=7,IBM2的最大值為詈.故選B.xOy中，A12,0),R0,6)，點P在圓Ox2+y2=50上，若PA-PB<20,則點P的橫坐標的取值范圍是答案-52,1解析方法一因為點

13、P在圓Ox2+y2=50上,所以設P點坐標為(x,土50x2)(52<xw52).因為A12,0),B(0,6),所以(一12x,50x2)或PA=(12-x,50x2),薄(一x,650x2)或PB-(x,6+50x2).因為PA-辰20,先取P(x,50x2)進行計算，所以(一12x)-(x)+(50x2)(650x2)<20,即2x+5w50x2.5當2x+5<0,即x<一二時，上式恒成立.5oo當2x+5>0,即px>一二時，(2x+5)2w50x2,5解得一2三xw1,故xw1.同理可彳#F(x,50x2)時，xw5.又一52wxw52，所以一52

14、wxw1.故點P的橫坐標的取值范圍為52,1.方法二設P(x,y),則PA=(12x,y),PBF=(x,6y).?/PA-Pfe20,?(12x)-(x)+(y)-(6y)w20,即2xy+5w0.22如圖，作圓Ox+y=50,直線2xy+5=0與OO交于E,F兩點,?/P在圓O上且滿足2xy+5w0,?點在EDF上x+y=50,J得F點的橫坐標為1,2xy+5=0,又D點的橫坐標為一52,?P點的橫坐標的取值范圍為52,1.思維升華向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系

15、，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.工具作用：利用a_Lb?a?b=0(a,b為非零向量)，a/b?a=Xb(bA0),可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法.跟蹤訓練2(2019?重慶質檢)已知圓C:x2+y22x2,3y+3=0,點A(0,m)(m>0),A,B兩點關于x軸對稱.若圓C上存在點M使得AM-BM=0,則當m取得最大值時，點M的坐標是()c.3,答案CB.解析由題意得圓的方程為(x1)2+(y3)2=1,D.00，m,設Mx,y),由于AM?BM=0,所以(x,ym?(x,y+m=0,所以

16、x2+y2m=0,所以m=x2+y2,由于x2+y2表示圓C上的點到原點距離的平方，所以連接OC并延長和圓C相交，交點即為M此時m最大,m也最大.|OM=1+2=3,ZMO=60°,題型三向量的其他應用所以Xm=3Xsin30=,yM=3Xsin60=2,3.故選C.命題點1向量在不等式中的應用例3已知0是坐上的一sinB*+y>2,標原點，點A1,2），若點Mx,y）為平面區(qū)域x<1,yw2個動點，貝y0a6iI的取值范圍是（）A.1,0B.0,1C.1,3D.1,4答案D解析作出點Mx,y）滿足的平面區(qū)域如圖陰影部分所示（含邊界），JiJ=l"v=?0*jr

17、+>-2設z=0A-0M因為A1,2）,Mx,y）,所以z=OA-OM=x+2y,11即y=尹+Az.1平移直線y=Ax,由圖象可知，11沖當直線y=ax+jz經(jīng)過點qo,2）時，截距最大,此時z最大，最大值為4,11當直線y=ax+子經(jīng)過點B時，截距最小，此時z最小，最小值為1,故1Wzw4,即1wOA-4.命題點2向量在解三角形中的應用例4（2019?衡陽模擬）在AABC中，若|AC=23,且°-cosC+BC-cosA=C-（1）求角B的大小;求么ABC的面積.解（1）因為。C=B+°EC所以COSC+BC-COSA=-sinB=(ABBC?sinB,即(cos

18、CsinB)云聊(cosAsinB)BC=0.cosC=sinB,所以cosA=sinB,所以cosC=cosA因為A,C?(0,n),而向量ABBC是兩個不共線的向量所以A=C在等腰ABC中，A+B+C=n,所以2A+B=n,A=2*所以cos(nA=cosi22=sin2=sinB所以sin2=2sinqcos2,因為sinBB2工o,所以cos2=2.綜合o<2<2，所以2=§,B=T.由正弦定理，得|AC|BC2nsinsin石(2)由(1)知，A=C=6,67=)&ABC=BQsin所以舊C=2,思維升華利用向量的載體作用,可以將向量與三角函數(shù)、不等式結

19、合起來，解題時通過定義或坐標運算進行轉化，使問題的條件結論明晰化跟蹤訓練3在么ABC中，/A,ZB,ZC的對邊分別為a,b,c,已知向量2C(cosB,2cos21,n=(c,b2a)，且m?n=0.(1)求/C的大小;若點D為邊AB上一點，且滿足AD=SB|CD=7,c=23,求zABC勺面積.解因為n=(cosB,cosC),n=(c,b2a),m-n=0,所以ccosB+(b2a)cosC=0,在么ABC中，由正弦定理得，sinCcosB+(sinB2sinA)cosC=0,sinA=2sinAcosC,又sinAM0,1n所以cosC=2,而C?(0,n)，所以/C=y.由AD=DB知

20、，CDCA=CB-CD所以2Cb=gCB兩邊平方得4|CD|2=b2+a2+2bacos/ACB=b2+a2+ba=28.222又c=a+b2abcos/ACB所以a2+b2ab=12.由得ab=8,1所以abc=Aabsin/ACB=2/3.課時作業(yè)宜基礎保分練1.在ABC中，(言寸BA)?XC=|AC2，貝MABC勺形狀一定是()A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C解析由(BC+EBA?AC=|AC2,得AC-(E3C+BA-AC=0,即AC-(BC+BA+CA=0,2AC-SA=0,?AC±BA?A=90°.又根據(jù)已知條件不能得到I=|A

21、C,故么ABC-'定是：直角三角形.2.在?ABCD八,|AB=8,|AD=6,N為DC的中點，BM=2AC則麗尬等于（）A.48B.36二D.12解析XM-NM侃目M-（NCCM=AE+22AB-=2x82-2X62=24,故選C.已知O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個動點，入（畫AC）,入?0,+八），則點P的軌跡一定通過AABC的（A.內心B.外心C.重心D.垂心答案C解析由原等式，得Op-oa=x（XB+XQ,即AP-入（AB+AQ,根據(jù)平行四邊形法則，知AB+ABC的中線ADD為BC的中點）所對應盤的2倍，所以點P的軌跡必過ABC的重心.（2018-東北育才中

22、學模擬）已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,若函數(shù)f若動點P滿足NP=陀(x)=Ax3+2|a|x2n代°,石B.n2nC.D.亍，3答案解析因為f（x）有極值，2_所以-b>0,=|a|4a+a-bx+1在R上存在極值，貝Ua和b夾角的取值范圍為（）即=|a|4|a|?|b|-cos0>0,f'（x）=x2+|a|x+a-b,設a和b的夾角為0,即cos0<2所以5.過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線I與拋物線在第一象限的交點為準線的交點為B,點A在拋物線的準線上的射影為C,若AF=FB,BA?方程為（）A,與拋物線的S=48,則拋物線

23、的A.y2=8xC.y2=16xB.y2=4xD.y2=42x答案B解析如圖所示，由AF=FB得F為線段AB的中點,?|AF=|AQ,?/ABC=30由BA?BC=48,得|BQ=43.則|Aq=4,?由中位線的性質,1有p=2iAq=2,2故拋物線的方程為y=4X.故選B.6.（2019?南昌測試）在梯形ABCDA,AB/CDCD=1,AB=BC=2,/BC=120，動P：和Q分別在線段BC和CD上，且E3P=XE3CDQ=賦龍則AP?BQ勺最大值為（答案D解析因為AB/CDCD=1,AB=BC=2,/BCD=120,職BCDI直角梯形，且CMk3,/BCW30,以AB所在直線為x軸，以AD

24、所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系因為BP=nBCDQ=古DC動點P和Q分別在線段BC和CD上，Ay入？知,1,71巳2,0）,P（2一入，3入）所以XP-§Q=（2一入，.3入）-一2,.31-j令f（入）=5入+4八48且入8,1,119-8則f（入）一=5+4-4-8=由對勾函數(shù)性質可知，當入=1時可取得最大值，在菱形ABCDK若AC=4,則CA-AB=答案一8解析設/CAB=0,AB=BC=a,22由余弦定理得a=16+a8acos0,acos0=2,CA*AB=4xaxcos(n0)=4acos0=8.已知|a|=2|b|,|b|豐0,且關于x的方程x2+|a|x

25、a-b=0有兩相等實根，則向量a2n答案與b的夾角是.解析由已知可得A=|a|2+4a-b=0,2n丁.1又T0?0,n,如圖，a是半徑為5的圓c上的一個定點，單位向量Abba點處與圓c相切，點p是圓C即4|b|2+4x2|b|2cos0=0,?cos0=-.上的一個動點，且點P與點A不重合，則XP-AB的取值范圍是答案5,5解析如圖所示，以AB所在直線為X軸，AC所在苴線為y軸，建立平面直角坐標系設點P(x,y),B(1,0),A(0,0),則AB=(1,0),AF=(x,y),所以AP?Ab=(x,y)-(1,0)=x._.22因為點P在圓X+(y5)=25上,所以一5Wxw5,即一5&l

26、t;XP-AB5.210?已知拋物線C:x=4y的焦點為F,M是拋物線C上一點，若FM的延長線交x軸的正半軸于點N,交拋物線C的準線I于點且FM則|NT|=.答案3解析圓出圖形如圖所示？由題意得拋物線的焦點F(0,1)，準線為y=1.0=4y0心“、*一4-hEVT、心一設拋物線的準線與y軸的交點為E,過M作準線的垂線，垂足為Q交x軸于點P.由題意得ANPMhANOF又FMI=MN即M為FN的中點，?FP=*|OF=1,|OP=4X1=.2,Imq=2+1=2,°N=2|OP=22又孚=叫單|MQ|TF|TN|+2|FM<|FE'?F=|MN=|.fii|TN+223即

27、二=2=3,解得|TN=3.|TN+311.已知四邊形ABC為平行四邊形，點A的坐標為(一1,2)，點C在第二象限，AB=(2,2),且AB與AC的夾角為n,AB-AC=2.4求點D的坐標；當m為何值時，AC>mA與B垂直.解設Qx,y),Qa,b),則AC=(X+1,y2).XXnXX?AB與AC勺夾角為一,AB-AC=2,AB.AC2能|AB|AC2+2A;(x+1)2+(y2)22化為(X+1)+(y2)=1.又AB-XC=2(x+1)+2(y2)=2,化為x+y=2.x=1,X=0,聯(lián)立解得*或*y=3y=2.又點C在第二象限，？?？1,3).又CD-Ba?0+1,b3)=(2,

28、-2),解得a=3,b=1.?-D(3,1).(2)由(1)可知AC=(0,1),?AC+miAl-(2m,2mA1),EAC=ACXB=(2,1).?/AC+miA與BC垂直，(AOmA|-BC=4m-(2mA1)-0,1解得m=鳥.612.已知A,B,C是么ABC勺內角，a,b,c分別是其對邊長，向量m=C,3,cosn-(sinA,1),A+1)m±n.(1)求角A的大??；J3若a=2,cosB=*，求b的值.3解Vmln,AsinB'?nfln-J3sinA+(cosA+1)x(1)-0,戶7nnA言6,?A=jfn,ta=2,cosB=在ABC中，A=一,?sinB=1cos2B=absin由正弦定理知2X誓廠'bsinA.3asinB34寸2_3,2I彳技能提升練13.(2018?包頭模擬)已知BC是圓O的直徑，H是圓O的弦AB上一動點，BC=10,AB=8,則Ffe?F?C勺最小值為(A.4B.25C.9D.16答案D設點Hx,y)，貝I日一5,0),C(5t0),解析以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系則Hfe?HfC=(5x,-y)?(5x,y)=x+y25,又因為AB=8