《高數(shù)》下冊復(fù)習(xí)自測題及答案

1、第八章復(fù)習(xí)題一、下列情形中的向量終點各構(gòu)成什么圖形？ 1、把空間中一切單位向量歸結(jié)到共同的起點； 2、把平行于某一平面的一切單位向量歸結(jié)到共同的起點； 3、把平行于某一直線的一切向量歸結(jié)到共同的起點；4、把平行于某一直線的一切單位向量歸結(jié)到共同的起點.二、要使下列各式成立，向量應(yīng)滿足什么條件？1、 2、 3、 4、 5、三、試解下列各題 1、化簡2、 已知，求，和四、已知向量, , 的分量如下：1、0, 1, 2，0, 2, 4，1, 2, 1；2、 1, 2, 3，2, 1, 0，0, 5, 6.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.五、證明：1、向量垂直于向量；

2、 2、在平面上如 果，且× (i=1,2)，則有=.六、一動點移動時，與及平面等距離，求該動點的軌跡方程。七、指出下列曲面與三個坐標(biāo)面的交線分別是什么曲線？1、； 2、；3、； 4、八、求下列各平面的方程：1、通過點和點且平行于向量的平面2、通過點和且垂直于坐標(biāo)面的平面；3、已知四點，。求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線AB且與平面垂直的平面。九、求下列各直線的方程：1、通過點和點的直線；2、通過點且平行于兩相交平面： 的直線；十、試驗證直線：與平面：相交，并求出它的交點和交角。第八章自測題（A）一、填空（5分3=15分）1、平行于=1，1，1的單位向量為_；若向量與

3、向量平行，為_.2、以點為球心，且過點的球面方程是_3、過點且與直線垂直的平面方程是_二、證明向量 與向量和的夾角平分線同向.（15分）三、一向量與軸夾角相等為，與軸夾角為，試確定該向量的方向.（15分）四、過點（-1，0，4），平行于平面且與直線相交的直線方程.（15分）五、已知橢圓拋物面的頂點在原點，對稱面為面與面，且過點和，求這個橢圓拋物面的方程。（20分）六、求過點及直線的平面。（20分）第八章自測題（B）一、選擇（5分3=15分）1、向量與的數(shù)量積=（ ）.A.； B. ； C. ； D. 2、設(shè) 是三個坐標(biāo)軸正方向上的單位向量，下列等式中正確的是（ ）.A.； B. ； C. ；

4、D. 3、設(shè)空間直線的對稱式方程為 則該直線必（ ）.A. 過原點且垂直于軸； B. 過原點且垂直于軸；C. 過原點且垂直于軸； D. 過原點且平行于軸.二、已知四邊形中，對角線、的中點分別為、，求（15分）三、已知兩兩垂直且. 求的長和它與的夾角（15分）四、用向量方法證明三角形正弦定理.(15分)五、已知三角形三頂點分別為，求平行于所在的平面且與其相距為2個單位的平面方程.(20分)六、求過點且與直線都相交的直線方程.（20分）第九章復(fù)習(xí)題一、 選擇題1、二重極限的值為（ ）A. B. C.1/2 D.不存在2、設(shè)函數(shù)，則極限=（ ）A.不存在 B.等于1 C.等于0 D.等于2 3、函數(shù)

5、在處（ ）A.不取極值 B.取極小值 C.取極大值 D.是否取極值依賴于4、在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（ ）A.只有1條 B.恰有2條 C.至少有3條 D.不存在二、求下列二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形.(1) (2)(3) (4) 三、求極限四、討論函數(shù)在點處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)存在性，可微性.五、設(shè)，求及.六、設(shè)，其中，都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求.七、設(shè)變換可把方程轉(zhuǎn)化為，求常數(shù).八、求橢球面上某點處的切平面的方程，使過已知直線：.九、設(shè)是曲面在點處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)。十、 求函數(shù)在區(qū)域的最大值，最小值.十一、試證光滑曲面的所有切平面恒與一固定非零

6、向量平行。十二、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價分別為10元與9元，生產(chǎn)單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)單位的產(chǎn)品乙的總費用是 元，求取得最大利潤時，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？第九章自測題（A）一、填空題（6分*5=30分）1、函數(shù)的定義域是_ 2、設(shè)，則= 3、設(shè)，則 4、已知，其中為可微函數(shù)，則 5、函數(shù)在點( 1，2)處沿從點(1，2)到點(3，4)的方向的方向?qū)?shù)為_二、計算題（12分*5=60分） 6、已知函數(shù) ，求 .7、設(shè), 其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求.8、設(shè)函數(shù)由方程確定，求，.9、求過直線且與曲面相切之切平面方程.10、求原點到曲面的最短距離三、證明題（10分）11、證明函數(shù)滿足方程第

7、九章自測題（B）一、填空題1、函數(shù)的定義域是 2、設(shè)，則= 3、由方程確定的函數(shù)z=z(x , y),在點(1,0,-1)處的全微分= 4、設(shè)，則=_ 5、曲線,在處的切線方程為 二、計算題6、已知函數(shù) ，求 .7、設(shè)，其中均為二階可微函數(shù)，求8、設(shè)函數(shù)由方程確定，求，9、設(shè)函數(shù) ，求.10、已知某工廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為(單位：千件)時，利潤（單位：百萬元）函數(shù)為，已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品時，每千件均需消耗某種原料1000kg，現(xiàn)有該原料3000kg，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件時，利潤最大，最大利潤是多少？三、（10分）證明題11、設(shè),其中為可微分函數(shù),試證：第十章復(fù)習(xí)題一、設(shè),試根據(jù)二重積

8、分的幾何意義求. 二、估計二重積分的值，其中,三、計算，是由 圍成的閉區(qū)域.四、試更換的積分次序.五、將二重積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中區(qū)域為.六、利用極坐標(biāo)計算二重積分,其中為 .七、計算，其中是和z =1圍成的閉區(qū)域.八、設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，試求.九、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域由直線，和軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質(zhì)量M.十、求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積.十一、求由平面以及球心在原點、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積.第十章自測題（A）一、填空（4分5=20分）1、_.2、交換二次積分次序，則_3、_4、化二次積分為極坐標(biāo)下的二次積分，則_5、設(shè)是由曲面

9、及平面所圍成的閉區(qū)域，則化三重積分為直角坐標(biāo)下三次積分為_二、設(shè)，表示不超過的最大整數(shù). 計算二重積分（20分）三、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，求.（20分）四、設(shè)，計算.（20分）五、設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)且恒大于零， ，其中，(1) 討論F(t)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2) 證明當(dāng)t>0時,（20分）第十章自測題（B）一、選擇（5分4=20分）1、二重積分定義中是（ ）.A.最大小區(qū)間長； B. 區(qū)域最大面積； C. 小區(qū)域直徑；D.小區(qū)域最大直徑 2、設(shè)D為，為，為，則（ ）.A. ； B. ； C. ； D. 3、設(shè)D為，則當(dāng)（ ）時，A. ； B. ； C. ； D. .4、計算，其中為，

10、 圍成的立體，則正確的解法為（ ）和（ ）A. ； B. ； C. ； D. .二、設(shè)在積分域上連續(xù)，試更換二次積分的積分次序（20分）三、設(shè)區(qū)域D為，計算.（20分）四、證明：. (20分)五、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足，求. (20分)十一章復(fù)習(xí)題1已知曲線弧，計算.2設(shè)是曲線上從點（1, 1）到點（2, 2）的一段弧，計算 3計算 ，其中為圓周的上半部分，的方向為逆時針. 4 計算，其中C是曲線上從點A到點B的一段.5把第二類曲線積分化為第一類曲線積分，其中L 為圓周在第一象限的部分，取逆時針方向6求微分方程滿足初始條件的特解7計算，其中為平面在第一卦限中的部分.8. 設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算曲

11、面積分其中為的錐面與兩球面和所圍立體表面的外側(cè).9計算曲面積分, 其中是曲面的上側(cè).十一章自測題（A）一、 填空題（5分6=30分）1. 設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點的三角形邊界，則=_2. 設(shè)曲線為圓周,則曲線積分 3. 設(shè)L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)為頂點的正方形邊界正向一周，則曲線積分 _ 4設(shè)為從點沿至點的曲線段，_5. = _ 6設(shè)為半球面，則=_二、單項選擇題（4分5=20分）1. 設(shè)I= ,其中L是拋物線上點（0, 0）與點(1, 1)之間的一段弧,則I= ( )A. B. C. D. 2設(shè)為圓周，為該圓周在第一象限

12、的部分，則正確的是( )A. B. C. D. 3. 如果簡單閉曲線 所圍區(qū)域的面積為 ，那么 是（ ）A. B. C. D.4. 對于格林公式，下述說法正確的（ ） A L取逆時針方向，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且；B. L取順時針方向，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且；CL為D的正向邊界，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；D. L取順時針方向，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).5設(shè)為下列曲線所圍有界閉區(qū)域的邊界正向，則可直接使用格林公式計算曲線積分的是（ ）A. B. C. D.三、解答題（10分5=50分）1. 計算 ，其中為圓周2計算 ，其中：由點沿上半

13、圓周到點3計算曲面積分：，其中為曲面的外側(cè).4. 證明積分在XOY面上與路徑無關(guān)，并求其值.5. 證明在整個XOY平面上 是某個二元函數(shù)的全微分，求這樣的一個函數(shù)并計算，其中L為從到的任意一條路徑.十一章自測題（B）一、填空題（5分6=30分）1設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則_2. _3.設(shè)C為依逆時針方向沿橢圓的一周路徑，則=_4設(shè)為從點沿圓右行至點的半圓，則_5.設(shè)有力場，已知質(zhì)點在此力場內(nèi)運動時，場力所作的功與路徑的選擇無關(guān)，則=_ 6. 設(shè)為半球面，則積分=_二、單項選擇題（4分5=20分）1閉曲線C為的正向，則( )A. 0 B. 2 C. 4 D. 62. 設(shè)為沿右半圓周從點經(jīng)點到點的路徑，為上

14、從點到點的路徑，則曲線積分= ( )A. B. C. D. 3已知 為某二元函數(shù)的全微分，則等于 ( ) A. B. C. D. 4. 設(shè)為球面 在的部分，則=（ ）A. B. C. D. 5. 如果閉曲面（取外側(cè)）所圍立體的體積是V，則下列曲面積分等于V的是（ ）A B C D 三、解答題（10分5=50分）1. 計算，其中L是由點A到B的直線段.2計算，其中為圓周沿逆時針方向.3. 設(shè)曲面S為球面被平面z=1截出的頂部，計算I=.4計算曲面積分，其中為錐面與所圍的整個曲面的外側(cè).5設(shè)函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分在平面上與路徑無關(guān)，且對任意 實數(shù) 恒有求.十二章復(fù)習(xí)題一、已知級數(shù)

15、的部分和，試求此級數(shù)的一般項，并判斷此級數(shù)的收斂性.二、求級數(shù)的和.三、判斷下列級數(shù)的收斂性：1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ；7. ； 8. ； 9. .四、求下列級數(shù)的收斂域:1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. .五、求下列級數(shù)的和函數(shù)：1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6.求級數(shù)的和.六、利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：1.在的七階導(dǎo)數(shù)； 2. 在的五階導(dǎo)數(shù)；3. 在的十階導(dǎo)數(shù).七、假設(shè)與收斂，且，證明收斂.八、設(shè)正項級數(shù)收斂，證明也收斂.十二章自測題（A）一、單項選擇題（4分4=16分）1.級數(shù) . A.當(dāng)時，絕

16、對收斂； B. 當(dāng)時，條件收斂；C. 當(dāng)時，絕對收斂； D. 當(dāng)時，發(fā)散.2. 在的和函數(shù)是 . A.； B. ； C. ； D. .3.若，則冪級數(shù) . A.在時，絕對收斂； B.在時，發(fā)散；C.在時，絕對收斂； D. 在時，發(fā)散.4.若級數(shù)在處收斂，此級數(shù)在處 . A.發(fā)散； B.條件收斂； C.絕對收斂； D.收斂性不確定.二、填空題（4分4=16分）1.等式成立的條件是 .2.級數(shù)的和函數(shù)為 ，收斂域為 .3.已知冪級數(shù)的收斂半徑，則在下列值：中冪級數(shù)的收斂點是 （1） ，絕對收斂點是 （2） ，發(fā)散點是 （3） ，不能確定斂散性的點是 （4） .4.周期為的函數(shù)，它在一個周期的表達(dá)式

17、為：，設(shè)它的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為，則 （1） ； （2） ； （3） ； （4） .三、判斷下列級數(shù)的收斂性：（6分5=30分）1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. .四、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間. （8分）五、將展開成的冪級數(shù)，并求出收斂區(qū)間. （10分）六、設(shè)的收斂半徑為，的收斂半徑為，且，試證明：的收斂半徑也為.（10分）七、將展開成以周期的傅里葉級數(shù). （10分）十二章自測題（B）一、填空題（5分5=25分）1.設(shè)，則 .2. .3.設(shè)，則 .4.冪級數(shù)的收斂半徑 .5.設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂，則該冪級數(shù)的收斂半徑 .二、設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂？并說明理由. （15

18、分）三、將函數(shù)展開成周期為4的余弦級數(shù). （15分）四、設(shè)有兩條拋物線，記它們交點的橫坐標(biāo)的絕對值為.（1）求兩條拋物線所圍的平面圖形的面積.（2）求級數(shù)的和. （15分）五、判別級數(shù)的收斂性. （15分）六、設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為，求：（1）所滿足的一階微分方程；（2）的表達(dá)式. （15分）第八章復(fù)習(xí)題及自測題參考答案復(fù)習(xí)題一、1、單位球面； 2、單位圓； 3、直線； 4、相距為2的兩點二、1、所在的直線垂直時有；2、同向時有3、且反向時有4、反向時有5、同向，且時有三、1、 2、 ， 四、1、 因為 0,所以 , , 三矢量共面, 又因為, 的對應(yīng)坐標(biāo)成比例，即/，但，故不能將表成, 的線性組合

19、. 2、 因為 0,所以 , , 三矢量共面.又因為 , 的對應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即，故可以將表成, 的線性組合.設(shè) l+m, 亦即0, 5, 6l1, 2, 3+m2, 1, 0從而 解得 l2，m1,所以 2.五、1、 =向量垂直于向量 2、 因為 ,所以，對該平面上任意矢量lm,()×()(lm)l()+m()l()+m()0,故 ().由的任意性知 .從而 .六、設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，動點，所求的軌跡為，則亦即由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為七、1、曲面與面的交線為：此曲線是圓心在原點，半徑且處在面上的圓。同理可求出曲面與面及面的交線分別為：， 它們分別是中心在原點，長

20、軸在軸上，且處在面上的橢圓，以及中心在原點，長軸在軸上，且處在面上的橢圓；2、由面與面，面，面的交線分別為：,亦即：,即為中心在原點，長軸在軸上，且處在面上的橢圓；中心在原點，實軸在軸，且處在面上的雙曲線，以及中心在原點，實軸在軸，且處在面上的雙曲線。3、曲面與面，面，面的交線分別為：,亦即,即為中心在原點，實軸在軸，且處在面上的雙曲線；無軌跡以及中心在原點，實軸在軸上，且處在面上的雙曲線。4、曲面與面，面，面的交線分別為：,亦即,即為坐標(biāo)原點，頂點在原點以軸為對稱軸，且處在面上的拋物線，以及頂點在原點，以軸為對稱軸，且處在面上的拋物線。八、1、 ，又向量平行于所求平面，故所求的平面法向量為：

21、從而平面方程為：2、由于平面垂直于面，所以它平行于軸，即與所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的法向量為：從而平面方程為： 3、（）設(shè)平面通過直線AB，且平行于直線CD： ，從而的法向量為：從而的方程為：。（）設(shè)平面通過直線AB，且垂直于所在的平面， 均與平行，所以的法向量為：所以的方程為：. 九、1、所求的直線方程為：即：，亦即。2、欲求直線的方向向量為：所以，直線方程為：。十、 ，直線與平面相交。又因為直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為，設(shè)交點處對應(yīng)的參數(shù)為，從而交點為（1，0，-1）。又設(shè)直線與平面的交角為，則：，。自測題（A）一、1、易知的模為，故平行于的單位向量為, 由于平行知它

22、們對應(yīng)分量成比例，故； 2、由兩點間距離公式可知球面方程為；3、由直線方程可看出與其垂直平面的法向量為（-1,3,1），故平面點法式方程為二、因為單位向量：由于與為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形為棱形，其對角線平分頂角，則與與夾角平分線平行的向量滿足故原命題成立。三、解：由于 ，所以： 故該向量的方向為.四、設(shè)所求直線方程為： 直線與已知平面平行，則 兩直線相交，則將代入消去得 聯(lián)立（1）（2得，所求的直線方程為五、據(jù)題意可設(shè)，要求的橢圓拋物面的方程為：現(xiàn)確定與，和均在該曲面上. 所以有：從而，所以要求的橢圓拋物面的方程為：即：六、將寫成一般式 經(jīng)過的平面束方程為 以代入得 ，得平面方程為 又，采用這個

23、平面束方程時沒有包括這個平面，但不經(jīng)過點，故不是所求。自測題(B)一、1、由數(shù)量積的定義可知，故選C ； 2、由定義知，故選C ； 3、由直線方程知其方向向量為（0,1,2），因此垂直于軸，故選A二、三、且 設(shè) 設(shè)與的夾角分別為 ，四、在ABC中，設(shè)，且|a，|b, |c, 則 +,從而有 ´´´,所以 |´|´|´|,bcsinAcasinBabsinC,于是 .五、設(shè)則，于是所在平面的三點式方程為即.設(shè)所求平面一般方程,由點到平面的距離公式有解得或-28所求平面為和六、設(shè)所求直線的方向向量為,則所求直線可寫為 直線平行于向量向量為

24、直線的方向向量.由于因此在的方程中令y =0解得x=1, z=0. 點(1,0,0) 為直線上的一點. 方向向量為,由知向量共面 有，即 X+3Y+3Z=0.又因為過點且方向向量為，同上可知有，即 X-13Y-3Z=0.于是有 X:Y:Z=30:6:-16又 即 ,即 所求直線方程為第九章復(fù)習(xí)題及自測題參考答案復(fù)習(xí)題一、1、D 解：=故選D2、C 解：因為，由無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小可得，.同理可得，故，故選C.3、A 解：當(dāng)x=0時，都有；而當(dāng)y=0時，都有，故在處不取極值. 故選A.4、B 解：曲線的切向量為：（1，-2t，3），平面法向量為：（1,2,1），切線與平面平行，則曲線的

25、切向量與平面的法向量垂直，故 ，因此，即與平面平行的切線有2條. 故選B.二、解：(1)要使函數(shù)有意義，必須有，即有.故所求函數(shù)的定義域為,圖形為圖1(2)要使函數(shù)有意義，必須有.故所有函數(shù)的定義域為，圖形為圖2(3)要使函數(shù)有意義，必須有，即且.故該函數(shù)的定義域為，圖形為圖3 (4)要使函數(shù)有意義，必須有.故該函數(shù)的定義域為，圖形為圖4 圖1 圖2 圖3 圖4三、解：= -8四、解：1）因為又 由夾逼準(zhǔn)則知：,又因 ,所以 在處連續(xù)2）根據(jù)定義 在處的偏導(dǎo)數(shù)為： 同理可得 3） 而 所以 在處可微分五、 解：兩邊取對數(shù)有： 兩邊對求偏導(dǎo)有：故 同理： 六、解： ，易見 由，對方程兩邊求的導(dǎo)數(shù)

26、有：，得七、 解法一： ，將上述結(jié)果代入原方程，經(jīng)整理后可得：依題意應(yīng)滿足：，解法二：將視為以，為中間變量的，的二元復(fù)合函數(shù)，由題意可得：，從而，依題意 ，即 代入上式得，令 ，得： 故 八、解：令，橢球面在點處的切平面的方程為，即因為平面過直線，故直線上任意兩點，如點，應(yīng)滿足平面的方程，代入有： 又因為 解，有 ， 及 ，故所求切平面方程為： 及 九、解：設(shè) ，如圖容易看出與正方向的夾角為鈍角，其軸坐標(biāo)為負(fù)，所以 ， 十、 解：函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，故存在最大值，最小值令 此時 顯然是函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的唯一駐點，且所以函數(shù)在駐點取得最小值，而函數(shù)的最大值只可能在區(qū)域的邊界上取得設(shè)，顯然，故只需討論

27、以下邊界的函數(shù)值1） 2） 對于情形1） 當(dāng) 或 時 取最大值 對于情形2） 當(dāng) 或 時 綜上 十一、證明；設(shè)，其任意點處的切平面的法向量為取向量，則有，即，所以光滑曲面的所有切平面恒與向量平行。十二、解：表示獲得的總利潤，則總利潤等于總收益與總費用之差，即有利潤目標(biāo)函數(shù)，令，解得唯一駐點（120，80）. 又因，得.得極大值. 根據(jù)實際情況，此極大值就是最大值故生產(chǎn)120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時所得利潤最大320元.自測題（A）一、填空題1、(x,y)| 解：2、解：，=3、 解：，故dz=4、 解：設(shè)，則，.故，因此，5、解：設(shè)，則，而el=（），故二、計算題6、解：，因此7、解. =

28、8、解：方程兩邊求x的偏導(dǎo)數(shù)得整理得 方程兩邊同求y的偏導(dǎo)數(shù)得整理得 9、解：過直線L的平面束方程為其法向向量為 .而曲面 的法向量由決定, 記設(shè)該曲面與所求平面相切點為，則 代入（3）故所求切平面方程為 或 10、解：設(shè)曲面上與原點最近距離的點坐標(biāo)為(x,y,z)，故取 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 解之得： 該問題必定有最小值，故唯一的解即為最小值點，故 三、證明題11、證明：， 同理可得： ， 故 自測題(B)一、填空題1、 解： 2、 解：，3、dx-dy解：設(shè)，所以1，故在點(1,0,-1)處的全微分dz= dx-dy4、 解：，故=.5、解：，故切線方程為二、計算題6、解：，因此7、解： 8、

29、解：等式兩端求微分，由一階微分形式不變性得= = =整理得 故 ，9、解：，=10、解：依題意即： 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 解得： 因駐點唯一，即為所求。兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)1.5千件時，總利潤最大，此時最大利潤為百萬元 三、證明題11、證明： 第十章復(fù)習(xí)題及自測題參考答案復(fù)習(xí)題一、區(qū)域D為以為圓心，2為半徑的圓面，其面積，由二重積分的幾何意義， 表示以D為底，以1為高的平頂柱體的體積V，所以二、區(qū)域D的面積(橢圓面積公式)，在D上，所以，在D上的最大值，最小值，由估值不等式三、先對后對積分，則由知四、題意即要把先對后對的積分更換為先對后對的積分由原累次積分的上、下限可得積分區(qū)域D畫出域的圖形，再由圖形寫

30、出先對后對的積分域的不等式，為此，作平行于軸的箭頭穿區(qū)域，知先對后對積分必須將分為和，其中， 則五、的草圖如圖:由代入得其極坐標(biāo)方程為,的極坐標(biāo)分別為,這時可以表示為:,故:六、積分區(qū)域D草圖如圖所示:用極坐標(biāo)可表示為.故 七、（方法一）畫出及其在xoy面投影域，由消去z，得即 ；又，所以 ；（方法二）用柱坐標(biāo)計算 八、原式九、薄片的質(zhì)量M為它的面密度在薄片所占區(qū)域D上的二重積分,即 十、如圖,上半球面的方程為 由曲面的對稱性得所求面積為十一、自測題（A）一、1、； 由二重積分的幾何意義，表示以為底，以為頂?shù)那斨w（即以原點為球心，以1為半徑的半球體）的體積V，所以2、；由知，積分區(qū)域，以直

31、線分割區(qū)域D為和兩個部分，表示為Y型區(qū)域分別為，再由二重積分區(qū)域可加性得3、；4、；由知，積分區(qū)域D為，用極坐標(biāo)表示為，所以5、在面上的投影區(qū)域為，它可表示為X型區(qū)域，在豎直方向上，的下側(cè)為旋轉(zhuǎn)拋物面，上側(cè)被平面所截，所以，于是可表示為，所以化為直角坐標(biāo)系下先后再的三次積分為二、令 ， .則 = =三、交換積分次序，得 =于是，從而有 四、五、因為 ， ，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t>0時，只需證明t>0時，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因為g(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t>0時，有g(shù)(t)>g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t&g

32、t;0時，g(t)>0,因此，當(dāng)t>0時，自測題(B)一、1、D 由二重積分的定義可知應(yīng)選D2、B 和D 因為被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù)，積分區(qū)域D關(guān)于軸對稱，所以由二重積分的對稱性知識知，B正確；又因為被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，積分區(qū)域D關(guān)于軸對稱，且為D關(guān)于軸對稱的上半部分，所以由二重積分的對稱性知識知D也正確；但不是D關(guān)于軸對稱的上半部分，也不是下半部分，故C不正確；因為D正確，所以，對于，雖然被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，但關(guān)于軸對稱，并非關(guān)于軸對稱，故不能繼續(xù)使用對稱性知識，A不正確3、B 因為 所以，故4、B和D選柱面坐標(biāo)計算在面上的投影區(qū)域為，它在面上的投影為圓形區(qū)域，可表示為，在豎直

33、方向上，的下側(cè)為圓錐面，上側(cè)被平面所截，所以，于是可表示為，所以化為柱面坐標(biāo)系下先后再的三次積分為B選項；中，的范圍為，固定，作平行于面的截面，該截面為圓面，可表示為，所以化為柱面坐標(biāo)系下先后再的三次積分為D選項二、三、由對稱性，所以四、從改變積分次序入手.，所以左邊右邊五、從積分區(qū)域和被積函數(shù)的形式可見宜選極坐標(biāo)計算.兩邊求導(dǎo)得，所以兩邊積分得，又由題設(shè)條件知代入上式得,故第十一章復(fù)習(xí)題及自測題參考答案復(fù)習(xí)題1已知曲線弧，計算。解： . ， 。2設(shè)是曲線上從點（1, 1）到點（2, 2）的一段弧，計算 解：3. =。3，其中為圓周的上半部分，的方向為逆時針。解：. 的參數(shù)方程為，從0變化到。

34、故原式 4、（8分）計算，其中C是沿曲線從點A到點B的一段。解：. 利用格林公式，補(bǔ)充一段BA，因為，作包含（0，0）的輔助閉曲線，得 ，所以5把第二類曲線積分化為第一類曲線積分，其中L 為圓周在第一象限的部分，取逆時針方向解：. L的方程為，從變到，則，L的切向量為，因此，所以6求微分方程滿足初始條件的特解解：. 、，且，在整個面上是全微分方程由，得通解又由，得故所求特解為7計算，其中為平面在第一卦限中的部分解：. 寫成 ，8. 設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，計算曲面積分，其中為的錐面與球面所圍成立體表面的外側(cè)。解：. 由高斯公式得9計算曲面積分, 其中是曲面的上側(cè)。解： 取為平面上圓的下側(cè)，記為由與圍

35、成的空間閉區(qū)域由高斯公式知 ，而 因此 。自測題（A）二、 填空題1. 設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點的三角形邊界，則曲線積分_解：原式=2. 設(shè)曲線為圓周,則曲線積分 .解： 3. 設(shè)L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)為頂點的正方形邊界正向一周，則曲線積分 _ 解：由格林公式 ，原式=4設(shè)為從點沿至點的曲線段，則_解：原式=(取折線積分)5. =_ 解：原式= （公式 D=，C取正向）6設(shè)為半球面，則曲面積分=_解：原式=二、單項選擇題1. 設(shè)I= 其中L是拋物線上點（0, 0）與點(1, 1)之間的一段弧,則I=( )A B C D

36、解：B. 原式=2設(shè)為圓周，為該圓周在第一象限的部分，則正確的是 （ ）A ； B ；C ； D 解：D. ，由對稱性得證。3. 如果簡單閉曲線 所圍區(qū)域的面積為 ，那么 是（ ） A ； B ； C ； D 。解：D4. 對于格林公式，下述說法正確的是（ ）A L取逆時針方向，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且B L取順時針方向，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階偏導(dǎo)數(shù)且C L為D的正向邊界，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)D L取順時針方向，函數(shù)P，Q在閉區(qū)域D上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)解：C.5設(shè)為下列曲線所圍有界閉區(qū)域的邊界正向，則可直接使用格林公式計算曲線積分的是 （ ）A B C

37、 D 解：C. 奇點（0,0）不在橢圓曲線所圍閉區(qū)域D上，滿足格林公式條件。三、解答題1. 求，其中為圓周解： ：，2求，其中：由點沿上半圓周到點解： 3計算曲面積分：，其中為曲面的外側(cè)。解：8. 利用高斯公式，所求積分等于4. 證明曲線積分在XOY面與路徑無關(guān)，并求值。解：6. ， 可知該曲線積分與路徑無關(guān)。 5. 證明在整個XOY平面上，是某個二元函數(shù)的全微分，求這樣的一個函數(shù)并計算，其中L為從到的任意一條路徑.解：。 因為，則有 ，故知在XOY平面上是某個二元函數(shù)的全微分。取路徑，則一個原函數(shù)為 最后自測題（B）一、 填空題1設(shè)是連續(xù)函數(shù)且，則_解: 原式=2. 。解: ，原式=3. 設(shè)

38、C為依逆時針方向沿橢圓一周路徑，則= _解: 原式=4設(shè)為從點沿圓右行至點的半圓，則_解: 因為圖形關(guān)于直線對稱，L上任意對稱點的坐標(biāo)對應(yīng)為，該兩點的等長有向弦段對應(yīng)為，導(dǎo)致該兩點處力作的微功相互抵消（A點：，B點：），所以積分值為0.5. 設(shè)有力場，已知質(zhì)點在此力場內(nèi)運動時，場力所作的功與路徑的選擇無關(guān)，則= _解：. 因為與路徑無關(guān)，所以（）.6. 設(shè)為上半球面，則曲面積分的值為_解：原式=二、單項選擇題1閉曲線C為的正向，則 ( ) A 0 B 2 C 4 D 6解：C. 原式= （D:C所圍面積）2. 設(shè)為沿右半圓周從點經(jīng)點到點的路徑，為上從點到點的路徑，則積分等于 （ ）A B C D 解：A. 分上下兩段積分去絕對值，利用圓的參數(shù)方程積分。3已知為某函數(shù)的全微分，則等于 （ ）A B C D 解：D. 利用 。4. 設(shè)為在部分，則=（ ）A B C D 解：B. 原式=。5. 取定閉曲面的外側(cè)，如果所圍的立體的體積是V，那么曲面積分等于V的是（ ）A B C D 解：D. 由高斯公式立得。三解答題1. 計算，其中L是由點A（0，0）到B（，2）的直線段.解： AB的方程 2計算，為圓周沿逆時針方向.解： 設(shè)，由格林公式得 3. 設(shè)曲面S為球面被平面z=1截出的頂部，計算I=解：. S的方程為：S在xoy平面的投影