2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：三角函數(shù)

1、2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：三角函數(shù)一、選擇題 （2012年高考（天津理）在中,內(nèi)角,所對的邊分別是,已知,則（）ABCD （2012年高考（天津理）設(shè),則“”是“為偶函數(shù)”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必要條件 （2012年高考（新課標(biāo)理）已知,函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（）ABCD （2012年高考（浙江理）把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向左平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度,得到的圖像是 （2012年高考（重慶理）設(shè)是方程的兩個根,則的值為（）ABC1D3 （2012年高考（

2、上海理）在中,若,則的形狀是（）A銳角三角形.B直角三角形.C鈍角三角形.D不能確定. （2012年高考（陜西理）在中,角所對邊長分別為,若,則的最小值為（）ABCD （2012年高考（山東理）若,則（）ABCD （2012年高考（遼寧理）已知,(0,),則=（）A1BCD1（2012年高考（江西理）若tan+ =4,則sin2=（）ABCD（2012年高考（湖南理）函數(shù)f(x)=sinx-cos(x+)的值域?yàn)椋ǎ〢 -2 ,2B-,C-1,1 D- , （2012年高考（大綱理）已知為第二象限角,則（）ABCD二、填空題（2012年高考（重慶理）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且則_（2012年高考

3、（上海春）函數(shù)的最小正周期為_.（ 2012年高考（江蘇）設(shè)為銳角,若,則的值為_.（2012年高考（湖南理）xyOAPCB圖4函數(shù)f(x)=sin ()的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示,其中,P為圖像與y軸的交點(diǎn),A,C為圖像與x軸的兩個交點(diǎn),B為圖像的最低點(diǎn).(1)若,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,),則_ ;(2)若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為_.（2012年高考（湖北理）設(shè)的內(nèi)角,所對的邊分別為,. 若,則角_. （2012年高考（福建理）已知得三邊長成公比為的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_.（2012年高考（大綱理）當(dāng)函數(shù)取得最大值時,_.（2012年高考（北京

4、理）在ABC中,若,則_.（2012年高考（安徽理）設(shè)的內(nèi)角所對的邊為;則下列命題正確的是若;則 若;則 若;則 若;則若;則三、解答題（2012年高考（天津理）已知函數(shù),.()求函數(shù)的最小正周期;()求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.（2012年高考（浙江理）在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.()求tanC的值;()若a=,求ABC的面積.（2012年高考（重慶理）(本小題滿分13分()小問8分()小問5分)設(shè),其中()求函數(shù) 的值域()若在區(qū)間上為增函數(shù),求 的最大值.（2012年高考（四川理）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,為圖象的最高點(diǎn)

5、,、為圖象與軸的交點(diǎn),且為正三角形.()求的值及函數(shù)的值域;()若,且,求的值.（2012年高考（上海理）海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位:以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn),以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度),則救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A處,如圖. 現(xiàn)假設(shè):失事船的移動路徑可視為拋物線;定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援;救援船出發(fā)小時后,失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)時,寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo). 若此時兩船恰好會合,求救援船速度的大小和方向;(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船?（2012年高考（陜西理）函數(shù)()的最大值為3, 其圖

6、像相鄰兩條對稱軸之間的距離為,(1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè),則,求的值.（2012年高考（山東理）已知向量,函數(shù)的最大值為6.()求;()將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象.求在上的值域. （2012年高考（遼寧理）在中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c.角A,B,C成等差數(shù)列.()求的值;()邊a,b,c成等比數(shù)列,求的值.（2012年高考（江西理）在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知,.(1)求證:(2)若,求ABC的面積.（2012年高考（江蘇）在中,已知.(1)求證:;(2)若求A的值.（2012年高考（

7、湖北理）已知向量,設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,其中,為常數(shù),且. ()求函數(shù)的最小正周期; ()若的圖象經(jīng)過點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.（2012年高考（廣東理）(三角函數(shù))已知函數(shù)(其中)的最小正周期為.()求的值;()設(shè)、,求的值.（2012年高考（福建理）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).(1)(2)(3)(4)(5) 試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù) 根據(jù)()的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論.（2012年高考（大綱理）(注意:在試卷上作答無效)的內(nèi)角、的對邊分別為、,已知,求.（2012年高考（北京理）已知函數(shù).(1)求的定

8、義域及最小正周期;(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間. （2012年高考（安徽理）設(shè)函數(shù)(I)求函數(shù)的最小正周期;(II)設(shè)函數(shù)對任意,有,且當(dāng)時, ,求函數(shù)在上的解析式.2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：三角函數(shù)參考答案一、選擇題 【答案】A 【命題意圖】本試題主要考查了正弦定理、三角函數(shù)中的二倍角公式. 考查學(xué)生分析、轉(zhuǎn)化與計算等能力. 【解析】,由正弦定理得,又,所以,易知,=. 【答案】A 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)的奇偶性的判定以及充分條件與必要條件的判定. 【解析】為偶函數(shù),反之不成立,“”是“為偶函數(shù)”的充分而不必要條件. 【解析】選 不合題意 排除 合題意 排除 另:, 得:

9、【答案】A 【解析】把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得:y1=cosx+1,向左平移1個單位長度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1個單位長度得:y3=cos(x+1).令x=0,得:y3>0;x=,得:y3=0;觀察即得答案. 【答案】A 【解析】 【考點(diǎn)定位】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及兩角和的正切公式化簡求值. 解析 由條件結(jié)合正弦定理,得,再由余弦定理,得, 所以C是鈍角,選C. 解析:由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,選C. 【解析】因?yàn)?所以,所以,又,所以,選D. 【答案】A 【解析一】 ,故選A 【解析二】 ,故選A

10、【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)中的和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力,難度適中. D【解析】本題考查三角恒等變形式以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 因?yàn)?所以. 【點(diǎn)評】本題需求解正弦值,顯然必須切化弦,因此需利用公式轉(zhuǎn)化;另外,在轉(zhuǎn)化過程中常與“1”互相代換,從而達(dá)到化簡的目的;關(guān)于正弦、余弦的齊次分式,常將正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切,即弦化切,達(dá)到求解正切值的目的. 體現(xiàn)考綱中要求理解三角函數(shù)的基本關(guān)系式,二倍角公式.來年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 【答案】B 【解析】f(x)=sinx-cos(x+),值域?yàn)?,. 【點(diǎn)評】利用三角恒等變換把化成的形式,利用,求得的值

11、域. 答案A 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的公式以及二倍角公式的運(yùn)用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,將所求的轉(zhuǎn)化為單角的正弦值和余弦值的問題. 【解析】,兩邊平方可得 是第二象限角,因此, 所以 法二:單位圓中函數(shù)線+估算,因?yàn)槭堑诙笙薜慕?又 所以“正弦線”要比“余弦線”長一半多點(diǎn),如圖,故的“余弦線”應(yīng)選. 二、填空題 【答案】 【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理 【考點(diǎn)定位】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出的值是本題的突破點(diǎn),然后利用正弦定理建立已知和未知之間的關(guān)系,同時要求學(xué)生牢記特殊角的三角函數(shù)值. 【答案】. 【考點(diǎn)】同角三角

12、函數(shù),倍角三角函數(shù),和角三角函數(shù). 【解析】為銳角,即,. ,. . . 【答案】(1)3;(2) 【解析】(1),當(dāng),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)時 ; (2)由圖知,設(shè)的橫坐標(biāo)分別為. 設(shè)曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積為則,由幾何概型知該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為. 【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、幾何概型等,(1)利用點(diǎn)P在圖像上求, (2)幾何概型,求出三角形面積及曲邊形面積,代入公式即得. 考點(diǎn)分析:考察余弦定理的運(yùn)用. 解析:由 根據(jù)余弦定理可得 【答案】 【解析】設(shè)最小邊為,則其他兩邊分別為,由余弦定理得,最大角的余弦值為 【考點(diǎn)定位】此題主要考查三角形中的三角函數(shù),等比數(shù)列的概念、余弦

13、定理,考查分析推理能力、運(yùn)算求解能力. 答案: 【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用,求解值域的問題.首先化為單一三角函數(shù),然后利用定義域求解角的范圍,從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點(diǎn). 【解析】由 由可知 當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值,時即取得最大值. 【答案】 【解析】在中,得用余弦定理,化簡得,與題目條件聯(lián)立,可解得,答案為. 【考點(diǎn)定位】 本題考查的是解三角形,考查余弦定理的應(yīng)用.利用題目所給的條件列出方程組求解. 【解析】正確的是 當(dāng)時,與矛盾 取滿足得: 取滿足得: 三、解答題 【命題意圖】本題考查兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函數(shù)的最小周期,單調(diào)性等知識. 所以,

14、的最小正周期. (2)因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又,故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為. 【點(diǎn)評】該試題關(guān)鍵在于將已知的函數(shù)表達(dá)式化為的數(shù)學(xué)模型,再根據(jù)此三角模型的圖像與性質(zhì)進(jìn)行解題即可. 【解析】本題主要考察三角恒等變換,正弦定理,余弦定理及三角形面積求法等知識點(diǎn). () cosA=>0,sinA=, 又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =cosC+sinC. 整理得:tanC=. ()由圖輔助三角形知:sinC=. 又由正弦定理知:, 故. (1) 對角A運(yùn)用余弦定理:cosA=. (2) 解(1) (2)得: or b=(舍去)

15、. ABC的面積為:S=. 【答案】() ;() . 【考點(diǎn)定位】本題以三角函數(shù)的化簡求值為主線,三角函數(shù)的性質(zhì)為考查目的的一道綜合題,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可列,從而解得的取值范圍,即可得的最在值. 解:(1) 因,所以函數(shù)的值域?yàn)?(2)因在每個閉區(qū)間上為增函數(shù),故在每個閉區(qū)間上為增函數(shù). 依題意知對某個成立,此時必有,于是 ,解得,故的最大值為. 解析()由已知可得: =3cosx+ 又由于正三角形ABC的高為2,則BC=4 所以,函數(shù) 所以,函數(shù) ()因?yàn)?)有 由x0 所以, 故 點(diǎn)評本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)同三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正(余

16、)弦公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力,考查樹形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 解(1)時,P的橫坐標(biāo)xP=,代入拋物線方程 中,得P的縱坐標(biāo)yP=3 由|AP|=,得救援船速度的大小為海里/時 由tanOAP=,得OAP=arctan,故救援船速度的方向 為北偏東arctan弧度 (2)設(shè)救援船的時速為海里,經(jīng)過小時追上失事船,此時位置為. 由,整理得 因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)=1時等號成立, 所以,即. 因此,救援船的時速至少是25海里才能追上失事船 解析:(1)函數(shù)的最大值為3,即 函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,最小正周期為 ,故函數(shù)的解析式為 (2) 即 , ,故 解析:(), 則; ()

17、函數(shù)y=f(x)的圖象像左平移個單位得到函數(shù)的圖象, 再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù). 當(dāng)時,. 故函數(shù)在上的值域?yàn)? 另解:由可得,令, 則,而,則, 于是, 故,即函數(shù)在上的值域?yàn)? 【答案及解析】 (1)由已知 (2)解法一:,由正弦定理得 解法二:,由此得得 所以, 【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及等差、等比數(shù)列的定義,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力,屬于容易題.第二小題既可以利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,也可以利用余弦定理得到邊之間的關(guān)系,再來求最后的結(jié)果. 【解析】 解:(1)證明:由 及正弦定理得: , 即 整理

18、得:,所以,又 所以 (2)由(1)及可得,又 所以, 所以三角形ABC的面積 【點(diǎn)評】本題考查解三角形,三角形的面積,三角恒等變換、三角和差公式以及正弦定理的應(yīng)用.高考中,三角解答題一般有兩種題型:一、解三角形:主要是運(yùn)用正余弦定理來求解邊長,角度,周長,面積等;二、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì):主要是運(yùn)用和角公式,倍角公式,輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換,求解三角函數(shù)的最小正周期,單調(diào)區(qū)間,最值(值域)等.來年需要注意第二種題型的考查. 【答案】解:(1),即. 由正弦定理,得,. 又,.即. (2) ,. ,即. 由 (1) ,得,解得. ,. 【考點(diǎn)】平面微量的數(shù)量積,三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角和的正切公式,解三角形. 【解析】(1)先將表示成數(shù)量積,再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明. (2)由可求,由三角形三角關(guān)系,得到,從而根據(jù)兩角和的正切公式和(1)的結(jié)論即可求得A的值. 考點(diǎn)分析:本題考察三角恒