實(shí)際問題與一元二次方程》教學(xué)設(shè)計(jì)(第3課時(shí))

1、實(shí)際問題與一元二次方程（第3課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 北京市海淀區(qū)中關(guān)村中學(xué)楊愛青一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容用一元二次方程解決“封面設(shè)計(jì)問題”2內(nèi)容解析本節(jié)課是213實(shí)際問題與一元二次方程的最后一課，設(shè)置這一探究的目的不僅是解決這個(gè)具體問題，而且是通過這個(gè)問題的解決讓學(xué)生再次經(jīng)歷建立和求解一元二次方程模型的完整過程，從而把模型思想、應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)落在實(shí)處在現(xiàn)實(shí)世界中，有許多可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型分析解決幾何圖形的問題原型探究3以封面設(shè)計(jì)為問題背景，討論邊襯的寬度在探究過程中正確建立方程模型依然是本節(jié)課的重點(diǎn) 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1教學(xué)目標(biāo)（1）會(huì)用一元二次方程解決“封面設(shè)計(jì)問題”；（2）經(jīng)歷分析和解

2、決實(shí)際問題的過程，體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的基本能力2目標(biāo)解析（1）能根據(jù)具體的“圖形面積問題”正確設(shè)“元”，找出可以作為列方程依據(jù)的主要等量關(guān)系，并根據(jù)它列出一元二次方程，正確求解一元二次方程，能根據(jù)實(shí)際問題檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，進(jìn)而找出合乎實(shí)際的結(jié)果；（2）完整地經(jīng)歷“問題情境建立模型求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)模型思想，會(huì)用一元二次方程解決簡單的“圖形面積問題” 三、教學(xué)問題診斷分析探究3與以前的實(shí)際問題相比，它在分析數(shù)量關(guān)系方面更復(fù)雜，問題情境與實(shí)際情況也更接近，對于這樣的綜合性問題，學(xué)生缺乏解決問題的經(jīng)驗(yàn)，而且探究

3、3的問題中沒有明確求什么，學(xué)生感覺無從下手學(xué)生一般可以意識(shí)到要“設(shè)元”用方程解決問題，但如何設(shè)元，如何與幾何知識(shí)結(jié)合，挖掘題目圖形中隱蔽的相等關(guān)系，構(gòu)造方程模型對學(xué)生來說存在不同程度的困難，這也是本節(jié)課的難點(diǎn)所在由于探究3的問題中，方程的兩個(gè)根都是正數(shù)，但它們并不都是問題的解，因此由數(shù)學(xué)問題的解得到實(shí)際問題的答案對于學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1弄清題意問題1怎么理解“應(yīng)如何設(shè)計(jì)邊襯的寬度”這句話？ 師生活動(dòng)教師提問，學(xué)生思考、回答根據(jù)學(xué)生的回答情況，教師可通過追問：“設(shè)計(jì)邊襯的寬度要求幾個(gè)未知數(shù)？哪幾個(gè)，為什么？”加以引導(dǎo)一般情況下，學(xué)生都能根據(jù)“上下邊襯等寬，左右邊襯等寬”得出“設(shè)

4、計(jì)邊襯的寬度要求兩個(gè)未知數(shù)（上面的邊襯寬度和左面的邊襯寬度）”【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生明確“封面設(shè)計(jì)問題”中求的是什么，初步體會(huì)未知之間、已知與未知之間的聯(lián)系問題2題目中還有哪些已知量、未知量，它們之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？師生活動(dòng)學(xué)生讀題，思考，可以適當(dāng)討論根據(jù)學(xué)生的回答情況，教師可通過追問加以引導(dǎo)如：如何理解“正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長度比例相同的矩形”這句話？“四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一”能告訴我們什么？學(xué)生經(jīng)過思考、討論不難得出：中央長方形的長寬之比是9:7 ，長寬之積為【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生讀題、審題能力2實(shí)現(xiàn)由文字語言、圖形語言到數(shù)學(xué)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換問題3如何把文字語言、圖形語言

5、翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言？師生活動(dòng)學(xué)生思考并回答問題這里要讓學(xué)生充分表達(dá)自己的觀點(diǎn)，教師可根據(jù)學(xué)生的回答，適時(shí)提示學(xué)生關(guān)注題目中的未知量、未知量之間的關(guān)系，以及它們與已知量的關(guān)系設(shè)上面邊襯寬度和左面邊襯寬度分別為 cm和cm，中央長方形的長和寬分別為x cm和y cm把“正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長度比例相同的矩形，四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一”翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言可得：教師追問： 四個(gè)未知數(shù)、，它們之間還存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？這是這節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，要給學(xué)生充分的時(shí)間獨(dú)立思考，如學(xué)生確有困難，教師可適時(shí)提示：探究3的問題中還有一個(gè)重要的條件“圖形”，同學(xué)們看看“圖形”告訴了我們什么？把“圖形語

6、言”翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)語言可得： 【設(shè)計(jì)意圖】把“探究3”符號(hào)化，為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題創(chuàng)造條件3解決問題問題4怎么解決“封面設(shè)計(jì)問題”？師生活動(dòng)教師與學(xué)生一起梳理，看看通過前面的分析都得到了哪些結(jié)論前面我們設(shè)了4個(gè)“元”和、和，它們分別代表中央長方形的長和寬 、上面邊襯寬度和左面邊襯寬度，它們之間存在如下的數(shù)量關(guān)系：，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這就是一個(gè)以、為未知數(shù)的四元方程組，找到這個(gè)方程組中的a、b的值，“封面設(shè)計(jì)問題”就迎刃而解了【設(shè)計(jì)意圖】樹立方程意識(shí)，滲透方程思想問題5請你解這個(gè)方程組，并與同學(xué)交流一下你的解法師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考、解題，并與同學(xué)交流教師請同學(xué)展示解法并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)學(xué)生可能的解法：

7、（1），（2），（3），（4）方法一：由（1）、（2）求出x、y的值，分別代入（3）、（4）求出a、b的值說明1：在由（1）、（2）求、的過程中，可以依據(jù)，設(shè)簡化計(jì)算說明2：實(shí)際解題時(shí)，可以簡化“設(shè)元”部分，只設(shè)中央長方形的長和寬分別為 cm和cm，解方程求出的值，進(jìn)而求出中央長方形的長和寬，再用算術(shù)方法就可求出上面邊襯寬度和左面邊襯寬度方法二：由（3）、（4）變形得，把（5）、（6）分別代入（1）、（2）可得關(guān)于、的二元方程組，解這個(gè)方程組求出、的值說明：把（5）、（6）代入（2）化簡可得，可以依據(jù)，設(shè)，把代入（5）、（6）得到，再把（7）、（8）代入（1）求出值，進(jìn)而求出、的值 【設(shè)計(jì)意圖

8、】在體驗(yàn)解法多樣性的基礎(chǔ)上，樹立優(yōu)化意識(shí)，簡化計(jì)算，優(yōu)化解題形式問題6你求出的、的值都是實(shí)際問題的解嗎？師生活動(dòng)教師提出問題，學(xué)生通過計(jì)算得出結(jié)論 【設(shè)計(jì)意圖】與實(shí)際問題結(jié)合，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的解是否為實(shí)際問題的解4回顧反思問題7通過這節(jié)課，你對“封面設(shè)計(jì)問題”有什么新的認(rèn)識(shí)，有何收獲和體會(huì)？師生活動(dòng)請學(xué)生回顧“封面設(shè)計(jì)問題”的探究過程，回答以下問題：（1）探究解題的過程大致包含哪幾個(gè)步驟？（2）在 “封面設(shè)計(jì)問題”的探究過程中，你遇到了哪些困難，是如何解決的？【設(shè)計(jì)意圖】更好地體會(huì)建模思想，理解建模的一般步驟和方法5布置作業(yè)教科書習(xí)題213第5，8，9題五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)1如圖，寬為50cm的矩形

9、圖案由10個(gè)全等的小長方形拼成，則每個(gè)小長方形的面積為（ ）A BC D 【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)現(xiàn)幾何圖形中隱蔽的相等關(guān)系2(2004年,鎮(zhèn)江)學(xué)校為了美化校園環(huán)境，在一塊長40米、寬20米的長方形空地上計(jì)劃新建一塊長9米、寬7米的長方形花圃（1）若請你在這塊空地上設(shè)計(jì)一個(gè)長方形花圃，使它的面積比學(xué)校計(jì)劃新建的長方形花圃的面積多1平方米，請你給出你認(rèn)為合適的三種不同的方案（2）在學(xué)校計(jì)劃新建的長方形花圃周長不變的情況下，長方形花圃的面積能否增加2平方米？如果能，請求出長方形花圃的長和寬；如果不能，請說明理由【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生的審題能力及用一元二次方程模型解決簡單的圖形面積問題實(shí)際問題與一元二次方程說

10、課稿各位老師，今天我說課的內(nèi)容是：22.3 實(shí)際問題與一元二次方程第二課時(shí)，下面，我從教材分析、教學(xué)目的分析、教法分析、教材處理、教學(xué)流程等方面對本課的設(shè)計(jì)進(jìn)行簡要說明：一、教材分析：1、教材所處的地位：此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了應(yīng)用一元一次方程與二元一次方程組來解決實(shí)際問題。本節(jié)仍是進(jìn)一步討論如何建立和利用一元二次方程模型來解決實(shí)際問題，只是在問題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有了新的發(fā)展。2、教學(xué)目標(biāo)要求：（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型；（2）能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理；（3）經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為代數(shù)問題的過程，探索問題中的

11、數(shù)量關(guān)系，并能運(yùn)用一元二次方程對之進(jìn)行描述；（4）通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的價(jià)值，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用。3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：列一元二次方程解與面積有關(guān)問題的應(yīng)用題。難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系。二教法、學(xué)法分析：1、本節(jié)課的設(shè)計(jì)中除了探究3教師參與多一些外，其余時(shí)間都堅(jiān)持以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。教學(xué)過程中，教師只注重點(diǎn)、引、激、評(píng)，注重學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。還課堂給學(xué)生，讓學(xué)生去親身體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生過程，拓展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。同時(shí)，注意加強(qiáng)對學(xué)生的啟發(fā)和引導(dǎo)，鼓勵(lì)培養(yǎng)學(xué)生們大膽猜想，小心求證的科學(xué)研究的

12、思想。2、本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在，是如何尋求、抓準(zhǔn)問題中的數(shù)量關(guān)系，從而準(zhǔn)確列出方程來解答。因此課堂上從審題，找到等量關(guān)系，列方程等一系列活動(dòng)都由生生交流，兵教兵從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維能力和自學(xué)能力的目的，發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新精神。三教學(xué)流程分析：本節(jié)課是新授課，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，整個(gè)課堂教學(xué)流程大致可分為：活動(dòng)1 復(fù)習(xí)回顧解決課前參與活動(dòng)2 封面設(shè)計(jì)問題的探究活動(dòng)3 草坪規(guī)劃問題的延伸活動(dòng)4 課堂回眸這一流程體現(xiàn)了知識(shí)發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，讓學(xué)生體會(huì)到觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想?；顒?dòng)1 復(fù)習(xí)回顧解決課前參與由學(xué)生展示課前參與題目，集體訂正。目的在于回顧常用幾何圖形的面積公式，并且引出本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容 面積問題。活動(dòng)2 封面設(shè)計(jì)問題的探究通過學(xué)生自己獨(dú)立審題，找尋等量關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生對“正中央矩形與封面長寬比例相同”題意的理解，使學(xué)生明白中央矩形長寬比為9：7，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)：上下邊襯與左右邊襯比也為9：7，為學(xué)生設(shè)未知數(shù)提供幫助。之后由學(xué)生分組完成方程的列法，以及取法。講解中注重簡便設(shè)法及解法的指導(dǎo)與評(píng)價(jià)