尺規(guī)作圖的教學(xué)分析

1、初中數(shù)學(xué)論文尺規(guī)作圖的教學(xué)分析 尺規(guī)作圖以嚴(yán)密的邏輯推理，成為數(shù)學(xué)教學(xué)中獨(dú)具一格的教學(xué)內(nèi)容，由于其獨(dú)特的知識(shí)結(jié)構(gòu)，多年來在初中教學(xué)中未有深入的涉及和研究，對(duì)學(xué)生的教學(xué)要求，只局限于五種基本尺規(guī)作圖法的理解和操作，隨著新課程對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的要求，對(duì)尺規(guī)作圖的要求也提出了更高的要求：除了要熟練操作五種基本圖形作法外，還要結(jié)合幾何推理，對(duì)目標(biāo)圖形進(jìn)行作圖原理推究、作圖方法探索。這在一定程度上，對(duì)尺規(guī)作圖的課堂教學(xué)帶來了一定的挑戰(zhàn)，在近段時(shí)間關(guān)于尺規(guī)作圖的課堂教學(xué)教研活動(dòng)中，筆者深有感觸：尺規(guī)作圖的教學(xué)在接軌于新課標(biāo)的總思想和接軌于中考要求方面需要加大力度，筆者就課后交流和個(gè)人親身教學(xué)體會(huì)，談?wù)剬?duì)尺規(guī)

2、作圖教學(xué)的一些想法。1. 教材對(duì)尺規(guī)作圖的基本要求任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，都離不開基本概念的理解和基本技能的掌握，三基是知識(shí)的根本點(diǎn)，對(duì)學(xué)生所學(xué)的相關(guān)知識(shí)及新知識(shí)結(jié)構(gòu)起著固本作用，三基只有得到徹實(shí)有效的實(shí)施和應(yīng)用，三基才能得到充分的發(fā)展和延伸。我們對(duì)尺規(guī)作圖這塊內(nèi)容的教學(xué)，同樣需要熟練掌握五種基本圖形的基本畫法，正確理解它們的作圖原理，在實(shí)際問題中能簡單地應(yīng)用。教材（華師大版）對(duì)五種基本作圖的內(nèi)容編排，是淺顯易懂，對(duì)課堂例題及訓(xùn)練題也是從絕大數(shù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力出發(fā)而設(shè)，以照顧全體學(xué)生在學(xué)習(xí)中都能獲益為主要目標(biāo)，在課后作業(yè)練習(xí)題中，也是對(duì)五種基本圖形作法中稍加組合應(yīng)用，注重的是基本作圖法的理解、

3、技能的掌握以及有條件類型題的作圖，這類題學(xué)生能直接根椐條件，選擇相應(yīng)作圖方法作圖，主要目的都是鞏固理解五種基本圖形，雖然題目類型缺乏靈活性，但這些全是固本知識(shí)，是知識(shí)的根本點(diǎn)，能為學(xué)生作圖方法的深入研究提供有效的保證。新教材編寫雖然淺顯易懂，習(xí)題也簡單，卻需要教師補(bǔ)充一部分內(nèi)容，這是新教材的一個(gè)特色，是給教師提供的一個(gè)彈性空間，可以根據(jù)學(xué)生具體情況，適當(dāng)補(bǔ)充一些需要的題型，提升學(xué)生的能力。 2. 尺規(guī)作圖應(yīng)落實(shí)的教學(xué)尺度2.1尺規(guī)作圖教練中的難度在學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)中，對(duì)五種基本作圖法的單一應(yīng)用是沒有問題的，但部分學(xué)生由于幾何意識(shí)薄弱，對(duì)稍加組合的基本圖形作法的應(yīng)用，思維發(fā)揮尚有一定差異，主要原因

4、在于雙基落實(shí)過程中，深度不夠，也就是說幾何推理+操作的綜合能力不夠到位，需要在教學(xué)過程中把握好難度分寸，給學(xué)生補(bǔ)充一些能激化思維、提升思維的內(nèi)容，以達(dá)到對(duì)基本作圖法的靈活應(yīng)用。筆者給學(xué)生做過這樣一個(gè)試驗(yàn)，如例1，學(xué)生在解答時(shí)，因作圖意向方法非常清楚，因此學(xué)生能很快畫出角平分線和過點(diǎn)P的垂線，得二線交點(diǎn)Q。但當(dāng)筆者把題目作了適當(dāng)變形時(shí)，學(xué)生選擇作圖方法，顯得缺乏應(yīng)有的章法，暴露出學(xué)生在受教過程中，對(duì)目標(biāo)圖形的幾何分析和基本圖形作法插入應(yīng)用，缺乏應(yīng)有理性認(rèn)識(shí)。若在平時(shí)能經(jīng)常給學(xué)生訓(xùn)練例1類的變形題，學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖的理性認(rèn)識(shí)將上升一個(gè)臺(tái)階。例1如圖1-1，已知AOB，點(diǎn)P在OA上，找出點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到

5、AOB兩邊距離相等，并且PQOA ；圖1-3圖1-2圖1-1變形1 有二條直線型公路AB和CD，如圖1-2，因在點(diǎn)C的左邊有障礙物，因此公路要在點(diǎn)C處開始轉(zhuǎn)彎與公路AB相接，要求畫出連接二公路的圓弧，且圓弧與二公路是相切。變形2 有二條直線型公路AB和CD，如圖1-3，因在點(diǎn)C的左邊是障礙物，因此公路要修建一個(gè)圓弧連接公路AB、CD，要求畫出圓弧的半徑為r，且圓弧與二公路是相切。變形1只是對(duì)圖1-1中的O部分擦去，直線說成是公路，很多學(xué)生只能畫出過點(diǎn)C的垂線，卻不會(huì)去畫二條公路延長線的夾角平分線。變形2是對(duì)變形1改進(jìn)，有了變形1的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生只能畫角平分線確定圓心所在的一條直線，畫第二條確定圓心

6、所在的直線有點(diǎn)困難，本題和變形1相比，難度稍有提高。要求學(xué)生畫一條與一公路平行且相距為r的直線，直線與角平分線的交點(diǎn)即是圓心，也可以通過畫二條直線分別與二條公路平行且相距為r，二平行線交點(diǎn)即為圓心。但事實(shí)上學(xué)生畫平行線的想法更本沒有或者是方法不當(dāng)，原因是平時(shí)訓(xùn)練題中畫平行線不多見，暴露出一個(gè)問題：學(xué)生注重的是基本作圖法的具體操作，忽視了作圖方法與幾何推理的密切掛鉤，不會(huì)通過目標(biāo)圖形的特征，用幾何推理方法去探究作圖方法，學(xué)會(huì)的只是基本作圖方法，應(yīng)用意識(shí)沒有挖掘，思維沒有打開，需要在課堂教學(xué)中提高教學(xué)要求，注重幾何推理分析，在課后訓(xùn)練中適當(dāng)補(bǔ)充思維型題目。2.2 基本作圖操練中的強(qiáng)度五種基本尺規(guī)作

7、圖法比較簡單、易操作，教材的編寫要求不高，中考中比分也不多，因此教師和學(xué)生在平時(shí)都不夠重視，導(dǎo)致熟練程度不夠，對(duì)尺規(guī)作圖的深入研究存在缺陷。圖2在初三年考前，給學(xué)生測試?yán)?，這是一個(gè)易理解、又有多種作法、注重雙基思想的作圖題，學(xué)生在選擇方法時(shí)，思維顯得比較單一，答案不能全部羅列出來，五種基本作圖法應(yīng)用的熟練程度不夠到位。例2 如圖2，RtABC中，ACB=90°，CAB=30°，用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種以上方法把它分成兩個(gè)三角形，且要求其中一個(gè)三角形的等腰三角形。（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）本題可以采用五種尺規(guī)作圖中的畫線段、畫線段的垂直平分線、畫角平分線、畫角中任

8、何一個(gè)基本作法都可以完成目標(biāo)圖形，是學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固和靈活體驗(yàn)五種基本作圖方法的一個(gè)好題，但學(xué)生大都采用的方法是畫線段的垂直平分線和角平分線這二種方法，對(duì)其它基本作圖方法熟視無睹，沒有作圖意向，詢問學(xué)生能不能用別的方法作圖時(shí)，學(xué)生還要疑惑一下，可見對(duì)五種作圖法的熟練和功能理解不夠深入，基本作圖法還停留在一種記憶意識(shí)，沒深入到理性的應(yīng)用意識(shí)，存在著知識(shí)的應(yīng)用盲點(diǎn)，一旦出現(xiàn)象例2一類作法開放的作圖題時(shí)，就會(huì)暴露出基本作圖法應(yīng)用不夠熟練的弱點(diǎn)，需要增加訓(xùn)練量，熟練每種作圖方法和作圖原理。建議在尺規(guī)作圖教學(xué)過程或課后作業(yè)中，補(bǔ)充條件開放和結(jié)論開放類型的作圖題，加強(qiáng)訓(xùn)練強(qiáng)度，活化基本作圖方法，激化學(xué)生的應(yīng)用

9、意識(shí)，讓學(xué)生對(duì)每種基本圖形作法有一個(gè)思維發(fā)散的空間。3.尺規(guī)作圖應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想在尺規(guī)作圖中，有很多題目是不能一下子想到作圖方法的，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想展開分析，其中類比思想結(jié)合熟悉題型展開分析比較廣泛。而尺規(guī)作圖應(yīng)用的幾何知識(shí)中，應(yīng)用比較多的是軸對(duì)稱、二點(diǎn)間線段最短，三角形二邊之和大于第三邊、二平行線間距離恒值等知識(shí)，這些知識(shí)是學(xué)生平時(shí)接觸中最簡單、最熟悉的幾何知識(shí)，在作圖題中由于題型發(fā)生了變化，接觸的形式不一樣，讓學(xué)生有時(shí)感到有點(diǎn)不適應(yīng)，需要學(xué)生懂得應(yīng)用類比思想結(jié)合幾何推理，探究作圖方法。如例3，學(xué)生在沒有提示的條件下，學(xué)生一下子很難想到作圖方法，找不到作圖的突破口，其實(shí)是學(xué)生找不到學(xué)過知識(shí)中

10、的對(duì)應(yīng)模型，一旦提示學(xué)生：小球的運(yùn)動(dòng)路線類似于學(xué)過知識(shí)的什么圖形和現(xiàn)象時(shí)，學(xué)生就很快地能想到作圖方法，顯示用類比思想在作圖中的作用。圖3-1例3臺(tái)球是一項(xiàng)高雅的體育運(yùn)動(dòng)，其中包含了許多物理學(xué)、幾何學(xué)知識(shí)，圖3-1是一個(gè)臺(tái)球桌，目標(biāo)球F與本球E之間有一個(gè)G球阻擋擊球者想通過擊打E球，讓E球先撞擊球臺(tái)的AB邊，經(jīng)過一次反彈后再撞擊F球，他應(yīng)將E球打到AB邊上的哪一點(diǎn)？請(qǐng)?jiān)趫D3-1中用尺規(guī)作出這一點(diǎn)H，并作出E球的運(yùn)行路線；(不寫畫法，保留作圖痕跡)本題從幾何圖形角度看，可用軸對(duì)稱知識(shí)解決；從物理現(xiàn)象看，可類比于光的反射，從入射角等于反射角入手，應(yīng)用軸對(duì)稱知識(shí)找到AB邊上的擊點(diǎn)。例4我們把能平分四邊

11、形面積的直線稱為“好線”。利用下面的作圖4-1，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD中，取對(duì)角線BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA、OC。顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點(diǎn)O作OEAC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”。（1）試說明直線AE是“好線”的理由；（2）如下圖4-2，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點(diǎn)，請(qǐng)作出經(jīng)過F點(diǎn)的“好線”，并對(duì)畫圖作適當(dāng)說明(不需要說明理由)。圖4-1圖4-2 本題以圖4-1的作法引導(dǎo)學(xué)生理解“好線”的作法，讓學(xué)生探求隱含的理論依據(jù)是等底等高的二個(gè)三角形面積相等，然后讓學(xué)生去探索圖4-2的作法。顯然本題若沒有的引導(dǎo)學(xué)生是很難想到作圖方法的，有了

12、，學(xué)生就可以運(yùn)用類比思想，根據(jù)平行線特征，得到作圖方法：連接EF,作AMEF,交CD于M,連接FM，則FM就是所求的“好線”。在作圖中要讓學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想探求作圖方法，需要在平時(shí)教學(xué)中，多接觸典型作圖題，主要是思想方法運(yùn)用的典型、幾何知識(shí)運(yùn)用的典型，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想結(jié)合幾何推理探究作圖原理的能力。4. 尺規(guī)作圖對(duì)思維的促進(jìn)功能尺規(guī)作圖是建立在幾何推理上的一種作圖方法，每一種基本作圖法都可以用幾何論證明其正確性，尺規(guī)作圖有其嚴(yán)密的邏輯性，在應(yīng)用中，除了培養(yǎng)學(xué)生合作探究、動(dòng)手操作能力外，對(duì)學(xué)生幾何思維的訓(xùn)練有著非常大的促進(jìn)，因?yàn)槌咭?guī)作圖比純粹的幾何明題在幾何思維訓(xùn)練上，具有更高的推理要求

13、。如例5充分說明軸對(duì)稱知識(shí)應(yīng)用對(duì)學(xué)生幾何思維的促進(jìn)作用，在沒有告訴學(xué)生應(yīng)用軸對(duì)稱知識(shí)作圖時(shí)，學(xué)生在解決例5時(shí)，在探求作圖方法時(shí)是何等得絞盡腦汁，能探得作圖原理只有少數(shù)幾個(gè)學(xué)生，當(dāng)提示學(xué)生應(yīng)根據(jù)圖形特點(diǎn)，構(gòu)造學(xué)過的圖形如三角形、四邊形等圖形，結(jié)合幾何知識(shí)去推理、探求圖形特征，然后結(jié)合對(duì)應(yīng)的作圖方法作圖時(shí)，學(xué)生才算探到了作圖的門道，領(lǐng)略了幾何推理和尺規(guī)作圖密切結(jié)合的意境，這種意境對(duì)學(xué)生幾何思維的促進(jìn)，應(yīng)該超過單純的幾何證明題。例4如圖 5-1 ，凸四邊形 ABCD ，如果點(diǎn)P滿足APD APB =。且B P C CPD ，則稱點(diǎn)P為四邊形 ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn) ( l )在圖5-3 正方形 AB

14、CD 內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿足。( 2 )在圖5-4 四邊形 ABCD 中畫出一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）。( 3 )若四邊形 ABCD 有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1 、P2（如圖5-2 ），證明線段P1 P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn) 。 圖5-2圖5-1圖5-3圖5-4本題是軸對(duì)稱知識(shí)的應(yīng)用，與例3相比更具有幾何推理的特征，讓學(xué)生感受到同一知識(shí)不同思維角度，對(duì)學(xué)生的幾何思維有著提升作用。作法：如，連接AC，過B點(diǎn)作AC的軸對(duì)稱點(diǎn)B1,連接DB1其延長線交AC于點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。尺規(guī)作圖的教練中，應(yīng)重視幾何原理解釋，用幾何推理解釋每個(gè)操作步驟。要讓學(xué)生理解目標(biāo)圖形的完成是作法操作和幾何推理有機(jī)結(jié)合的結(jié)果，從而充分發(fā)揮尺規(guī)作圖對(duì)學(xué)生幾何思維的促進(jìn)作用，提升學(xué)生的綜合思維能力。目前尺規(guī)作圖的功能主要體現(xiàn)在實(shí)踐應(yīng)用、樣板圖紙的繪制上及美術(shù)圖案上，尺規(guī)作圖作為教學(xué)內(nèi)容，在取材方面建議還可以增加一些可讓學(xué)生感興趣的、需用尺規(guī)作圖法完成的科技產(chǎn)品、生活實(shí)用圖案等，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)他們的探索欲望，提高學(xué)生的幾何思維能力和實(shí)踐操作能力。善良是女人最好的修養(yǎng)，做一個(gè)善良的女人，在別人遇到困難時(shí)伸出援助之手，遭遇挫