第四講交錯(cuò)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、注(1)積分判別法 比值法 根值法發(fā)散收斂比較法極限形式比較法部分和數(shù)列有界111Rbaabba,2220,sinxxx0,1xxex0,)1ln(1xxxxx正項(xiàng)級(jí)數(shù)二二 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)nnnnnuuuuu132111) 1() 1(稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) .,2, 1,0nun設(shè)形如或nnnnnuuuuu) 1() 1(3211定理定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項(xiàng)滿足.1nnur注意到分和收斂

2、。只能借助于定義證明部) 1 (都都收收斂斂到到同同一一值值。收收斂斂)2(122nnnSSS單單調(diào)調(diào)有有界界則則收收斂斂。)3(2 nS證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn0nu2故收斂。收斂。先證先證) 1 (2nS又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級(jí)數(shù)收斂于S, 且,1uS :的余項(xiàng)nSnnSSr)(21nnuu21nnnuur1nuS。收斂于收斂于再證再證S)2(12 nS考考查查余余項(xiàng)項(xiàng)的的性性質(zhì)質(zhì)。)3(使用注意的大小的大小與與1nn

3、uu的關(guān)系；的關(guān)系；與與比值法：比值法：1uu) 1 (n1n的的關(guān)關(guān)系系；與與差差值值法法：0uu)2(n1n關(guān)系。關(guān)系。）與）與（，利用，利用）（使使），），（構(gòu)造一可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造一可導(dǎo)函數(shù)由由利用導(dǎo)數(shù)：利用導(dǎo)數(shù)：0 xfunfxfu)3(nn例例. 討論級(jí)數(shù)11)1ln() 1(nnnn的斂散性 .（A）收斂）收斂（B）發(fā)散）發(fā)散#2014022501122)sin(nan的斂散性 .nanaann22222sin) 1()sin(例例. 討論級(jí)數(shù)#2014022502（A）收斂）收斂（B）發(fā)散）發(fā)散例例2. 討論級(jí)數(shù)32323232) 12(1)2(17161514131211nn的斂散

4、性 .0limnnu12322) 12(1)2(1nnanna222312)22(1) 12(1nnannaLebnitze條件是充分的不是必要的分析判別下列級(jí)數(shù)收斂的是:nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432#2014022503判別下列級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后級(jí)數(shù)收斂的是:nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432#2014022504收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)2

5、1nn用Leibnitz 判別法判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu若若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原級(jí)1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂 .思考：思考：1nnu絕對(duì)收斂 ，級(jí)數(shù)1nnu是級(jí)數(shù)收斂的（ ）條件。（A）充分）充分（B）

6、必要）必要#2014022505（C）充要）充要（D）不確定）不確定定理定理7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .證證: 設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21nnuu 且nv,nu收斂 , 令例例3. 討論級(jí)數(shù)14sinnnn解解:,1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對(duì)收斂 .的斂散性.例例4. 討論級(jí)數(shù))0, 0()(1snnsn的斂散性 .解：交錯(cuò)級(jí)數(shù)0snnnu)(1) 1(11nnnnnuusnssnnn,1) 1 (時(shí)當(dāng)收斂，1)(nsnn.)(1絕對(duì)

7、收斂nsnn,1)2(時(shí)當(dāng)發(fā)散，1)(nsnn.)(1發(fā)散nsnn,1)3(時(shí)當(dāng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，1) 1(nsnn.1,s絕對(duì)收斂.0,s1條件收斂思考：思考：下列命題是否正確下列命題是否正確.對(duì)一個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和對(duì)一個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和s來說它是無窮多個(gè)數(shù)的來說它是無窮多個(gè)數(shù)的“和和”，也可以按照有限個(gè)數(shù)求和的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行，也可以按照有限個(gè)數(shù)求和的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行，比如可以交換各項(xiàng)的順序。比如可以交換各項(xiàng)的順序。（A）正確）正確（B）不正確）不正確#2014022506（C）不確定）不確定絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的區(qū)別.*定理定理8. 2,2pnnnnnnuuquu設(shè)11,nnnnqp絕對(duì)收斂 ，則1)2(

8、nnu條件收斂，則1) 1 (nnu11,nnnnqp收斂；發(fā)散。*定理定理9. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和. nnnsn412411211211015181613141211322ln)2112161514131211 (lim21lim3nnsnnn121313nssnnnnn41)241121(121)10151(81)6131(41)211 ()2112161514131211 (21nn2411323nssnn其和分別為 *定理定理10. ( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 )設(shè)級(jí)數(shù)1nnv1nnu與都絕對(duì)收斂,S )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn也是絕對(duì)收

9、斂的，并且其和為也是絕對(duì)收斂的，并且其和為 . s則這兩個(gè)級(jí)數(shù)的柯西乘積則這兩個(gè)級(jí)數(shù)的柯西乘積一 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）基本概念1 斂散性nnulim1nnu=00發(fā)散收斂絕對(duì)收斂發(fā)散1nnu條件收斂收斂發(fā)散發(fā)散注(1)注(2)由比值或根值法判斷 發(fā)散注(1)積分判別法 比值法 根值法發(fā)散收斂比較法極限形式比較法部分和數(shù)列有界111Rbaabba,2220,sinxxx0,1xxex0,)1ln(1xxxxx正項(xiàng)級(jí)數(shù)注(2) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茲 任意級(jí)數(shù)定義性質(zhì)0cc11n1n同同斂斂散散，與與nnuu待待發(fā)發(fā)發(fā)發(fā)發(fā)發(fā)發(fā)發(fā)收收收收收收收收2不改斂散性不改斂散性加，減，改變有限項(xiàng)，加，減，改變有

10、限項(xiàng)，待待收收發(fā)發(fā)發(fā)發(fā)收收收收去括號(hào)去括號(hào)去括號(hào)去括號(hào)加括號(hào)加括號(hào)收斂收斂2 和函數(shù)和函數(shù)按定義求按定義求利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)某點(diǎn)的值求利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)某點(diǎn)的值求（二）基本題型1，判斷斂散性，判斷斂散性2，求和函數(shù)，求和函數(shù)3，求極限，求極限注絕對(duì)收斂。條件收斂，收斂發(fā)散，發(fā)絕對(duì)收斂，當(dāng)當(dāng)發(fā)散；收斂，當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散當(dāng)1, 10 , 11, 10 , 1, 1, 1),0()3(,!)2()ln1(1,1,ln) 1 (1122ppappaaapnaeaeannannnnnpnnnnnn練習(xí)：練習(xí)：1.下列命題正確的有（）個(gè)下列命題正確的有（）個(gè).（1 1）級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以常數(shù)后其

11、斂散性不變）級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以常數(shù)后其斂散性不變 ；（2 2）若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散）若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, , 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散則原級(jí)數(shù)必發(fā)散；0limnnu1nnu收斂收斂；（3）若）若，則，則（4）若）若1nnv1nnu都發(fā)散，都發(fā)散， 則則)(1nnnvu 也發(fā)散也發(fā)散；（5 5）級(jí)數(shù)）級(jí)數(shù) 收斂（發(fā)散）等價(jià)于其部分和數(shù)收斂（發(fā)散）等價(jià)于其部分和數(shù) 列列 收斂（發(fā)散）收斂（發(fā)散） ；1nnunS（6 6）對(duì)任何級(jí)數(shù)）對(duì)任何級(jí)數(shù) 來說，來說， 都是其余項(xiàng)；都是其余項(xiàng)；1nnu21nnnuur#2014022507練習(xí)：練習(xí)：2.下列命題正確的有（）個(gè)下列命題正確的有（）個(gè).（3 3）由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值

12、法可知，）由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值法可知，（1）若）若1nnu的部分和的部分和nS有界，有界，（2）若）若1nnu收斂；收斂；則則nnvu )(Nn當(dāng)當(dāng)1nnv收斂時(shí)，收斂時(shí)，1nnu收斂；收斂；則則1lim1nnnuu1nnu正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，收斂時(shí)，收斂時(shí)，則當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)則當(dāng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂；收斂；; 1lim1nnnuu有有（）由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值法可知，（）由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值法可知，11nnuu1nnu正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，收斂；收斂；#2014022508練習(xí)：練習(xí)：3.下列命題正確的有（）個(gè)下列命題正確的有（）個(gè).（1）若對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)）若對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)由比值法判斷其發(fā)散，由比值法判斷其發(fā)散

13、，1nnu則其通項(xiàng)一定不趨于零則其通項(xiàng)一定不趨于零（）對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（）對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，1nnv1nnu)( ,nvunn 則兩級(jí)數(shù)斂散性相同則兩級(jí)數(shù)斂散性相同. .#2014022509（2）若）若1nnu收斂，收斂， 則則1nnu也一定收斂也一定收斂（3）若）若1nnu的通項(xiàng)單調(diào)遞減極限為零，的通項(xiàng)單調(diào)遞減極限為零，1nnu則則收斂收斂練習(xí)：練習(xí)：4.下列命題正確的有（）個(gè)下列命題正確的有（）個(gè)（1）級(jí)數(shù)）級(jí)數(shù)1nnu與廣義積分與廣義積分1)(dxxf有相同斂散性有相同斂散性#2014022510練習(xí)1 ) 12)(12(11的和為的和為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnn#2014022511 p, 1) 1(lim0, 01