淋雨量建模問題

1、淋雨量建模問題摘要生活中，我們常常遇到過這樣的問題，我們走在路上，突然下起雨來，而目 的地離我們并不遠(yuǎn)，我們并不準(zhǔn)備避雨。所以我們就遇到一個問題，到底應(yīng)該怎 么走才能減少淋雨量呢？在平常情況下， 大多數(shù)人都會奔跑前行。但是，這樣真 的能夠減少淋雨量嗎？1.問題敘述一個雨天，你有件急事需要從家中要從家中到學(xué)校去， 學(xué)校離家僅1000米, 而且情況緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。 如果剛剛出發(fā)雨就下起來了，但你不打算再回去了，一路上，你將被雨水淋濕。 一個似乎很簡單事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少淋雨時間和淋雨量。 事實(shí)是不是如此呢？試組建數(shù)學(xué)建模來探討雨中行走

2、的策略，以盡量減少淋雨量。問題分析淋雨量是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間 單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積。主要影響因素：降雨的大小，降雨的方向，路程的遠(yuǎn)近，行走的速度三模型假設(shè)即符號說明1.將人體簡化成一個長方體，高a，寬b，厚c淋雨量（V）降雨量（）人體淋雨面積（S） 淋浴時間（t） 時間（t） 跑步距離（d）人跑步速度（V）跑步最大速度（Vm）雨速（U）2假設(shè)降雨大小為一定值；3. 速度一定，人的運(yùn)動軌跡為直線:4. 風(fēng)速保持不變四.模型建立與求解：（一）設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積： S= 2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時間為

3、：t=d/v總降雨量：VSxd/v（二）.若雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾（如圖1）角為B ，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量翠L設(shè)雨從迎面吹來時與人體夾角為.，且0° < <90°，建立a, b，c，d，u， 之間的關(guān)系，取高 a=1.5m，寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度 vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量3 =2cm/h（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為u sin且方向與v相反故人相對于雨的水平速度為：u sin v則前部單位時間單位面積淋雨量為：（u si

4、nv）/u又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：a b，時間為：d/v于是前部淋雨量 V2為：V2 a b u sin v /u d/v即：V2 a b d u sin v / u v（2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與V無關(guān)，所以頂部單位時間單位面積淋雨量為cos ，頂部面積為b c ， 淋雨時間為d/v ，于是頂部淋雨量為：V1 b c d cos /v由可算得總淋雨量V V1 V2 be d cos / v abd u sin v/uv代入數(shù)據(jù)求得:cos 7.5sin 1.875v1800 v由V （v）函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的 夾

5、角（）兩者有關(guān)。對函數(shù)V（ v）求導(dǎo)，得:cos 7.5 sin21800 v顯然：V <0， 所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小因此，速度v=Vm=5m/s，總淋雨量最小。（三）若雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾 角為a則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量 .（如圖2）匡2設(shè)雨從背部吹來時與人體夾角為，且0°< < 90° ,建立a，b，c，d，u， 之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來，而對于人頂部的淋雨量V1，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：V1 b c cos d / v b c d cos /v（2）、后部淋雨量：人相對于雨的水平速度為:u sinv