自由曲面的基本原理

1、自由曲線曲面的基本原理（上）浙江黃巖華日（集團(tuán)）公司梁建國浙江大學(xué)單巖1前言曲而造型是三維造型中的高級技術(shù)，也是逆向造型（三坐標(biāo)點(diǎn)測繪）的 基礎(chǔ)。作為一個(gè)鳥水平的三維造型工程師，有必要了解一些白由曲線和曲面的 某本常識，主要是因?yàn)椋海?）可以幫助了解CAD/CAM軟件中曲面造型功能選 項(xiàng)的意義，以便lE確選擇使用；（2）可以幫助處理在曲而造型中遇到的一些問 題。由于自由曲線和自由曲面涉及的較強(qiáng)的幾何知識背景,因此一般造型人員 往往無法了解其內(nèi)在的原理，令使用軟件中的曲（線）面造世功能時(shí)常常是知 其然不知其所以然。從而難以有效提高技術(shù)水平。針對這一問題，本文以直觀形彖的方式向讀者介紹門由曲線（而

2、）的基 本原理，并在此基礎(chǔ)上對CAD/CAM軟件中若干曲面造教功能的使用作一簡單 說明，使讀者初步體會到背景知識對造型技術(shù)的促進(jìn)作用。2曲線（面）的參數(shù)化表達(dá)一般情況下，我們表達(dá)Illi線（面）的方式有以下三種:（1）顯式表達(dá)曲線的顯式表達(dá)為尸f（x）,其中x坐標(biāo)為自變量,y坐標(biāo)是x坐標(biāo)的函數(shù)。曲 而的顯式表達(dá)為Z=f（X,V）o在顯式表達(dá)中，各個(gè)坐標(biāo)Z間的關(guān)系非常fi觀明了。 如在曲線表達(dá)中，只耍確定了門變最X,則y的值可立即得到。如圖1所示的苴線 和正弦曲線的表達(dá)式就是顯式的。圖1（2）隱式表達(dá)曲線的隱式表達(dá)為f（x,v）=O,曲而的隱式表達(dá)為f（x,v）=Oo顯然，這里各個(gè) 坐標(biāo)之間的關(guān)

3、系并不十分直觀。如在曲線的隱式表達(dá)中確定其中一個(gè)坐標(biāo)（如 x）的值并不一定能輕易地得到另外一個(gè)（如v）的值。圖2所示的圓和橢圓曲線 的表達(dá)式就是隱式的。圖2（3）參數(shù)化表達(dá)曲線的參數(shù)表達(dá)為x=f（t）;y=g（t）。曲而的參數(shù)表達(dá)為 x=f（Il,v）；V=g（U,v）；z=g（u,v）o這時(shí)各個(gè)地標(biāo)變帚之間的關(guān)系更不明顯f ,它們是 通過一個(gè)（f）或兒個(gè)（u,v）中間變最來間接地確定其間的關(guān)系。這些中間變最 就稱為參數(shù)，它們的取值范圍就叫參數(shù)域。顯然，所有的顯式表達(dá)都可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)表達(dá)，如在圖1所示的H線表達(dá)式 中令則立即可有V=to J-是完成顯式表達(dá)到參數(shù)化表達(dá)的轉(zhuǎn)換。由此，我 們可以得

4、出下個(gè)結(jié)論，即參數(shù)化表達(dá)方式所能表示的曲線（面）種類一定多于 顯式表達(dá)，因此更靈活。同時(shí)，我們也應(yīng)注意到，對同一曲線（面）的參數(shù)化表達(dá)有多種。如在圖1 所示的肖線表達(dá)式中令X=F,則代入后可得v=F （注意與前一次轉(zhuǎn)換的不同）。 這時(shí)，t與X、y的關(guān)系由前一次的等價(jià)關(guān)系左成了現(xiàn)在的平方關(guān)系，而所表達(dá)的 曲線卻沒有什么不同。當(dāng)然，這并不意味著我們就可以任意改變其表達(dá)方式， 而是根據(jù)應(yīng)用的需要來確定適合的關(guān)系（這一點(diǎn)在后面還會講到）。鑒丁參數(shù)化方法在表達(dá)曲線（而）上的靈活性，因此在CAD/CAM軟件中 自由曲線（面）均采用參數(shù)化表達(dá)，同時(shí)這也是”11由”一詞的含義之一。當(dāng) 然，采用參數(shù)化方式表達(dá)H

5、由曲線（而）還有其它許多優(yōu)點(diǎn)，這里就不一一介 紹了。3維數(shù)的概念對n由iiii線而言，不管采用何種表達(dá)方式，它都有一個(gè)共同的特征，即各 種表達(dá)方式中只允許有一個(gè)變暈是可以n由變動的。如顯式及隱式表達(dá)式中心 y中只有一個(gè)可以h由變動，另一個(gè)則受到關(guān)系式的約束。而參數(shù)表達(dá)式中X、 y、z之間存在兩個(gè)關(guān)系式，因此也只允許其中一個(gè)的取值由變動。同樣可以得到，曲而表達(dá)式中存在兩個(gè)可以同時(shí)門由變動的變暈。兒何體的表達(dá)式中可同時(shí)n由變動的變最的個(gè)數(shù)稱為該兒何體的維數(shù)（或 自由度）。因此，不能將一個(gè)三維空間內(nèi)生成的兒何體就簡單地歸屬于三維形 體的范疇。例如，一條空間曲線只是一維的形體，因?yàn)樗谋磉_(dá)式中只允許有

6、一個(gè)門 由變Mo ft觀地，在曲線上的運(yùn)動只有前后方向上的選擇，而沒有其它第二類 選擇。同樣地，空間的曲面為二維形體，一個(gè)點(diǎn)是零維形體，而實(shí)體造型得到的 兒何實(shí)體則是三維形體。我們可以用下而的式子表示兒何體的維數(shù)（|'|由度） 判定方法：維數(shù)=H由度=h由變最=變量數(shù)-表達(dá)式中的方程數(shù)4 Bezier曲線的生成原理自由曲線的種類很多。我們以其中最簡單的一種-Bezier樣條曲線為例 介紹自由曲線的生成原理。圖3圖3所示為一條由空間兩點(diǎn)P1和P2構(gòu)成的H線段，P是線段上任意一點(diǎn)。 如果將P到起始點(diǎn)P1的距離與線段的總長的比值定義為參數(shù)t,則立即可以得到P 與Pl、P2的關(guān)系式:|P-P1

7、|/|P2 -Pl| = t即P = （l-t）Pl 十【P2由丁Pl和P2是確定的空間點(diǎn)，P的位置將隨t的變化而變化，因此P也可記為P(6即上式就是該線段的參數(shù)化表達(dá)式。其中t為參數(shù)，其取值范I韋1為(0J)o假 如我們給定P1和P2的坐標(biāo)值(xl,yl)和(x2,y2),則將它們分別替換式(1)中的P1 和P2即可得到P(t)點(diǎn)的坐標(biāo)x“)和y(t)如下:x(t) = (l-t)xl + tx2y(t) = (l-t)yl 十 ty2顯然,當(dāng)t取0時(shí),有P=Pl,即P點(diǎn)與Pl重合。當(dāng)t取1時(shí),有P(t) = P2,即P點(diǎn) 與P2重合。當(dāng)t在0到1之間變化時(shí)，相應(yīng)地將得到苴線P1P2上的不同

8、點(diǎn)位。如上述，由式(1)表達(dá)的通過己知點(diǎn)Pl、P2計(jì)算一條線段上任意點(diǎn)P的方 法稱為插值運(yùn)算，其中參數(shù)(的最尚泵次稱為表達(dá)式(或曲線)的階數(shù)。同時(shí)， 由丁式(1)中的t的最高次幕為1,因此式(1)所表示的參數(shù)表達(dá)式是1階的，它所 代表的插值運(yùn)算乂稱為線性插值，由式(1)所表達(dá)的線段P1P2稱為一階Bezier樣條曲線。P1和P2點(diǎn)稱為該 線段的控制頂點(diǎn)。類似地，我們可以得到二階Bezieillh線的生成過程。如圖4所示：圖4圖4中，Pl、P2、P3為三個(gè)控制頂點(diǎn)，對0到1之間的任意參數(shù)t,分別在 P1P2、P2P3之間完成與式(1)同樣的線性插值，并得到兩個(gè)插值點(diǎn)：Pll = (l-t)PHt

9、P2P12=(l-t)P2+tP3接著，對/I P11P12之間完成第二輪線忤插值得：P(t) =(l-t)Pll+tP12將Pll和P12的計(jì)算式分別代入上式得P (t)= (1-()2P1 + 2(1-()P2 + rP33 二工 EB；(0</<1) 1=1式中B“)(-1,2,3)稱為二階Bemstein基函數(shù)。1的取值不同，B“)的表達(dá)式也 不同。例如i=l時(shí)，B?(c)= (1-t)2, i=2時(shí),Bf(t)= 2(1-t)o當(dāng)t在0到1之間變動時(shí), P的相應(yīng)移動軌跡就形成了一條曲線，即由控制頂點(diǎn)Pl、P2、P3構(gòu)成的二階 Beziei樣條曲線。11個(gè)控制頂點(diǎn)按上述同樣

10、的方法(進(jìn)行ml輪插值運(yùn)算)即構(gòu)成ml階的 Beziei樣條曲線，苴表達(dá)式為：式（2）P（O = PB；-1（O（O</<1）如前所述，理論上，對同一曲線的參數(shù)表達(dá)是有無窮多種方式的，這也是 參數(shù)化表達(dá)的靈活性之一。例如對圖三中的線段也可以用下而的參數(shù)表達(dá)式表 示：P（t） = （l-t）2Pl + rP2式（3）在這一表達(dá)式小，當(dāng)無論t在0到1范用內(nèi)取什么值，P（t）仍是線段P1P2上的一個(gè) 點(diǎn)（盡管同樣的t值在式（1）和式（3）中會得到不同的點(diǎn)位）。因此式（2） 也是該線段的一個(gè)參數(shù)表達(dá)式，由丁其中參數(shù)t的最高幕次為2,因此它是二階 的非線性插值。按這一思路，讀者也可以”發(fā)明”

11、 IH己的H由（樣條）曲線。至于在實(shí)際應(yīng)用屮究竟采用何種參數(shù)表達(dá)式，則取決丁其應(yīng)用價(jià)值。事實(shí) 上，與英它插值方武（如式（3）的方式）相比，線性插值有許多明顯的優(yōu)點(diǎn)， 如計(jì)算簡單、具有控制頂點(diǎn)的凸包性特點(diǎn)等，這里不再一一說明?；∵@些優(yōu) 點(diǎn)，線性插值成為應(yīng)用最廣泛的H由曲線生成方式，而用該插值方式生成的H 由（樣條）曲線稱為Bezier 111線。通過總結(jié)Beziei llU線的生成原理，我們可以得到一個(gè)重要的結(jié)論，即|'| 由曲線是由一組控制頂點(diǎn)以某種方式（如線性）插值生成的，其最終形狀也必 然取決這兩個(gè)要素：一是控制頂點(diǎn)：二是插值方式。在CAD/CAM軟件中， 自由1111線（面）也

12、正是以這種方式定義的。y=sinxy I1p2PlPa0t1自由曲線曲面的基本原理（下）浙江人學(xué)單巖浙江黃巖華II （集團(tuán)）公司梁建國5自由曲線的幾點(diǎn)說明下而我們針對造型的實(shí)際需耍，對I由曲線的特點(diǎn)和生成方式作兒點(diǎn)補(bǔ) 充說明,以便讀者更有效地使用CAD/CAM軟件中的有關(guān)功能5.1與坐標(biāo)系無關(guān)性讀者或許會注意到，在Bezi"曲線的表達(dá)式中（見上期文章），根本沒冇 出現(xiàn)任何坐標(biāo)變量（如x,y,z）,即使是控制頂點(diǎn)Pi的坐標(biāo)值也未出現(xiàn),即這種 表達(dá)式是與坐標(biāo)無關(guān)的。它的優(yōu)點(diǎn)至少有三個(gè)方而：（1）與現(xiàn)實(shí)世界保持一致，更易于理解?，F(xiàn)實(shí)世界中本來就不存在什么 坐標(biāo)系，坐標(biāo)系只是人為創(chuàng)造出來的一

13、個(gè)位置基準(zhǔn)，是可以任意變化的。實(shí)際 空間上的每一個(gè)點(diǎn)興觀上占據(jù)著一個(gè)確定的空間位置，是不依賴于任何坐標(biāo)系 的客規(guī)存在，而坐標(biāo)系僅僅是用丁幫助描述這個(gè)空間位置。也就是說，對于一 個(gè)確定的空間點(diǎn)，坐標(biāo)系的變化不會使其空間位置發(fā)生任何變化，但其坐標(biāo)值（即對這個(gè)位置的描述）卻發(fā)生變化。同樣，一條自由曲線是由一組控制頂點(diǎn) 通過插值得到的，其形狀僅與控制頂點(diǎn)之間的位置（注意不是坐標(biāo)值?。┖筒逯?方式有關(guān)，因此其表達(dá)式中自然沒有必要出現(xiàn)坐標(biāo)變量。（2）表達(dá)方便、統(tǒng)一。對丁非參數(shù)化表達(dá)（如直線v=x）而言，當(dāng)坐標(biāo) 系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度時(shí)，它的表達(dá)式就發(fā)生變化（v=0）,有時(shí)快至無法得到新的 表達(dá)式。這就為編制統(tǒng)

14、一的處理軟件帶來難。IfljBezier曲線的表達(dá)式 與郃標(biāo)系無關(guān)，始終保持統(tǒng)一，因此方便編制統(tǒng)一的計(jì)算稈序。（3）圖形處理速度更快。當(dāng)我們在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示一條曲線時(shí)，它已 按一定將度離散成許多點(diǎn)。如果這時(shí)需耍對顯示進(jìn)行一些變換（如旋轉(zhuǎn)），則 對J：非參數(shù)化表達(dá)的曲線我們只能將其離散點(diǎn)一一進(jìn)行變換（因?yàn)槠浔磉_(dá)式發(fā) 生了變化或者根本無法表達(dá)），這將耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間。而對TBezieillU線 則只耍將數(shù)最冇限的控制頂點(diǎn)進(jìn)行變換后雨新通過插值運(yùn)算雨新繪出新的曲線 即可，而插值過程是線性運(yùn)算（見上期文章），速度遠(yuǎn)高丁旋轉(zhuǎn)變換運(yùn)算，因 此整個(gè)變換過程耍比非參數(shù)化表達(dá)的曲線快得多。5.2參數(shù)與參數(shù)域

15、從H由曲線的表達(dá)方式可知，H由曲線上的每一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)于一個(gè)參數(shù)t，t 的取值范閘稱為參數(shù)域，通常定義在0到1之間。如圖5所示，當(dāng)參數(shù)（在參數(shù)域上等間距収值（0.25）時(shí)，門由曲線上的對 應(yīng)點(diǎn)稱為等參數(shù)分隔點(diǎn)。也就是說，相鄰的等參數(shù)分隔點(diǎn)在參數(shù)域上具有相同 的間距（圖中為0.25）,即均勻分布,而在曲線上的間隔（弧長）卻不均勻。 如圖5中P（0）到P（0.25）的參數(shù)間距與P（0.75）到P（l）的參數(shù)間距相同（均為0.25),但在曲線上P(0)到P(0.25)的弧長卻遠(yuǎn)小于P(0.75)到P(l)的弧長。上述可 簡單總結(jié)為：自由曲線的參數(shù)等分段不等弧長。參數(shù)域圖55.3形狀的控制克觀地，我們可以

16、將由曲線上的點(diǎn)看作各控制頂點(diǎn)共同影響(影響的方 式取決插值方式)的結(jié)果，表達(dá)式中的慕幽數(shù)Bf可以理解為各控制頂點(diǎn)R 對1山線形狀的影響力，且這些影響力(即基函數(shù)BCt)的總和始終是固定的常 數(shù)1°隨著參數(shù)的變化，各個(gè)控制頂點(diǎn)的影響力分配會有所變化：當(dāng)參數(shù)越靠近 0,則起始控制頂點(diǎn)Po的影響力B°n及其附近的控制頂點(diǎn)的影響力就越大。反 Z當(dāng)參數(shù)越靠近1,則終止控制頂點(diǎn)Pn的影響力B/及其附近的控制頂點(diǎn)的影 響力就越大。如對Bezier 111線而言，當(dāng)參數(shù)值取0時(shí)，控制頂點(diǎn)P。的影響力(即 基函數(shù))的值為1,達(dá)到最大值，而其它控制頂點(diǎn)的影響力均為零，此時(shí) 對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)就是

17、控制頂點(diǎn)Po。如前述，I由曲線的形狀取決丁兩個(gè)岡索：控制頂點(diǎn)和插值方式(即控 制頂點(diǎn)對曲線的影響力式)o因此我們可以通過改變控制頂點(diǎn)或插值力式來控 制曲線的形狀。通過改變控制頂點(diǎn)控制Illi線形狀比較簡單，也很H觀，是通常采用的一 種方式。而通過改變插值方式來控制曲線的形狀則很少使用，因?yàn)椴逯捣绞經(jīng)Q 定了曲線的類型(如Bezie或NURBS等)，因此對插值方式的修改是受到限制 的，一般僅能通過所謂的加權(quán)系數(shù)(weight)進(jìn)行調(diào)檢 如圖6所示：(a)P(t)=(l-t)2Pl +4t(l-t)P2+t2P3(b)圖5“是一個(gè)二階Bezier|11|線（三個(gè)控制頂點(diǎn)），如果我們將中間的控制頂 點(diǎn)

18、P2的系數(shù)（即P2對曲線形狀的影響力）加倍,即乘以加權(quán)系數(shù)2,可得到P2 的系數(shù)變?yōu)?t（l-t）o這時(shí)曲線形狀就會更向P2靠攏，如圖5b所示。5.4利用CAD軟件生成自由曲線學(xué)過CAD CAM軟件造型的讀者都知道，一般的CAD CAM軟件提供兩種 白由曲線的生成手段，一是采用控制頂點(diǎn)（在UG中稱為極點(diǎn)poles）生成H由曲 線：另一種是采用通過點(diǎn)（Through points）生成H由曲線。如圖6所示。棊于控制頂點(diǎn)的生成方式與本文所描述的H由曲線生成原理是是一致 的，那么采用通過點(diǎn)乂是如何生成門由曲線的呢？實(shí)際上，在這種情況下H由 曲線仍然是由一組控制頂點(diǎn)決定的，只不過這組控制頂點(diǎn)不是由造型

19、人員指 定，而計(jì)算機(jī)軟件根據(jù)造熨人員指定的通過點(diǎn)換算出來的，這個(gè)由通過點(diǎn)換算 控制頂點(diǎn)的過程稱為反算擬合。基本過程如下：造型人員通過點(diǎn)一軟件反算擬合由丁采用控制頂點(diǎn)生成IH由曲線時(shí)造型工程師一般難以H觀預(yù)測和準(zhǔn)確控 制生成效果，因此在實(shí)際應(yīng)用中，多數(shù)采用通過點(diǎn)生成I由曲線。6自由曲面由曲面的生成原理與H由曲線完全相同，也是將一組控制頂點(diǎn)進(jìn)行插 值得到的。其形狀也同樣取決丁控制頂點(diǎn)和插值方式這網(wǎng)個(gè)因素。不同的是，門由曲而的插值是在兩個(gè)參數(shù)方向上進(jìn)行的，其過程也分為 兩個(gè)階段，如圖7所示。圖中的H由曲面以一個(gè)3x4的控制頂點(diǎn)方陣定義，沿參數(shù)v方向有三排控 制頂點(diǎn)，每排由四個(gè)沿u方向排列的控制頂點(diǎn)組

20、成。下而我們介紹曲而上任-點(diǎn) P（u,v）的計(jì)算過程：第一階段是對沿U方向排列的四排控制頂點(diǎn)以參數(shù)U進(jìn)行 插值計(jì)算,得到Pl（U）、P2（u）和P3（u）；第一階段是對Pl（u）、P2（u）和P3（U）沿v方向 以參數(shù)V進(jìn)行第二次插值計(jì)算得到P（U,V）,而以Pt（u） P2（u）和P3（ll）為控制頂點(diǎn)插 值（V在0到1之間變化）生成的自由曲線則稱為等U參數(shù)線。P（S）=工工色2尤見y«0 /-0n m二工工九（“心山猶>0 1«0町以證明，沿11、V方向的兩次插值運(yùn)算的次序與最終生成的P（u,v）是無關(guān) 的，即無論是先沿U方向進(jìn)行插值還是先沿V方向進(jìn)行插值其結(jié)果都是一樣的， 這就保證了曲面形狀不依賴丁7、V方向的設(shè)定。由丁