電子云環(huán)的氫分子模型

1、電子云環(huán)的氫分子模型作者:日期:x為核間距，核Zi、Z2到電子ei、e2的距離為ri、a, ei、e2vZi妙Z2/eie2 ussaa2x圖電子云環(huán)的氫分子模型摘 要：本文用電子云環(huán)方法，考慮了氫分子形成因素，用經典量子論的方法，計算了氫 分子的結合能曲線，達到較高精度，計算氫分子轉動基頻和振動基頻基本和實驗值一致。 關鍵詞：電子云環(huán)、氫分子、模型。一、氫分子結合能曲線計算當氫原子以較小動能互相接近時，它們的電子的任一瞬時軌道平面，只有當在互相平行時才有相對低的能量， 否則會因有轉矩而產 生旋轉到平行。如圖 一所示。當它們逐步放 出能量而互相靠近， 形成H2時，有圖二所示模型: 電子云環(huán)的的

2、半徑為Rl、R2, 0 1、0 2是ri、a和x的夾角，、e2電子云環(huán)應該有一一個寬度，這里簡化為一個軌道環(huán)，由于 、e2環(huán)不是剛性的，只在電場中處于一個動態(tài)平衡的最低能量態(tài)，15根據(jù)庫侖定律在10 m以上均成立，可以寫出下列各式： (s是3環(huán)上任一點，ss'是兩電子云環(huán)間距離， b是ei環(huán)上又一點，聯(lián)接 bs、bs'Z bos= 0, ai是乙到ei環(huán)中心距離，比是Z2到e2環(huán)中心距離。)Zi對Z2作用力Fi為：Fi= Z億左2/4n e ox2(i i)Zi對ei作用力F2可分解為垂直于x軸分量F2丄，平行于x軸分量F2"有:丄F2=Zie2Ri/ 4 n3

3、63; ori(i 2)F211=Zie2ai/ 4 n3£ oriZ2對e2也可以寫出F3相同式:丄2F3 = Z2e R2/ 4 ne o23(i 3)(i 4)F3=Z2e2a2/ 4 n3£ o2(i 5)丄IIZi對e2的力F4可分解為F4、F4有:(1 6)(i 7)(i 8)(i 9)(x ai a?)(i ii)(i i2)(i i3)(i i4)(i i5)(i i6)F4 =乙e2R2/4 n e o" (x a2) 2 + R22 3F4 = Zie2 (x a2)/ 4 n & o" (x a2) 2+ R22 3 Z2對

4、ei的力F5同樣可寫出：F5 = Z2e2Ri/4 n e o ( x ai) 2 + Ri2 3F5 = Z2e2 (x ai) / 4n & o"" (x ai) 2+ Ri2 3I /ei環(huán)與e2環(huán)間力可以寫出F6及分量F6、F6 ,如圖二所示:re2=( x aia?) 2+ bs2bs2= 2R2 2R2cos©cos (90°/2) = ( R Rcos)/ bsF6丄=(e2/2 n ) j q2"bscos (90°$ /2) d© /4n e °re3=(e2/ 2 n ) j q2 Ri

5、 (i cos $ ) d $ / 4 n e o/ (x ai a2) 2+ 2R2 (i cos 0 ) 3(i 10) 當 cos$ i $ 2/2!丄F6=(e2/16 n 2 eoRi2) In 2 n Ri +"4 n2Ri2+(xai a2)2/2 n Ri/ 4 n 2Ri2+( x ai 比)2F6“ =( e2/2 n ) j q2" (x a a) d $ /4n e or3 當 cos$ i $ 2/2!F6“ = e2/4 n e o (x ai a2) "4 n 2Ri2+( x ai a2) 2當兩氫原子處于基態(tài)，可假定：r= ri=

6、2, a= ai =比，ni=匕=i,R= Ri= R2, 9 = 9 i= 9 2。Zi = Z2= i平行分力平衡時有：/ / / /Fi = F2 + F5 = F3 + F4即是：i/x2( x a) /" :R2+( x a) 2 3 a/" ( R2+ a2) 3= 0 并有：/ / /F5 = F2 + F6即是：a/"( R2+ a2) 3+ i/( x 2a) "4n 2R2+( x 2a) 2(1 17)(x a) /V :R2+( X a) 2 3= 0垂直分力平衡時，設 ei、e2分別有動能為：Ti = 1 /2mivi2、T2=

7、 1 /2m2v22，設ei、e2 均為園周運動，離心力分別為：m1V12/R1、m2V22/R2,當兩氫原子對稱時有：mv2/ R= m1V12/ R1= m2V22/ R2有：2丄丄丄丄丄丄(1 18)mv2/ R= F2 + F5 F6 = F3 + F4 F 6令：Z* = Z + r3/V ( X a) 2+ R2 3+( Zr3 / 4n R3) 2 n R /V 4n 2R2+( x 2a) 2 In : 2n R +V 4 n 2R2+( x 2a) 2 /( x 2a)(1 19)則(1 18)式可寫成：mv2/R= Z*e2R/4 n e or3(1 20)當量子化條件：2

8、 n m v r= nh時有：r= e °n2h2/Z* n me2sin2 0 = n2A / Z*sin 2 0(1 21)R= n2A/Z*sin 0(1 22)10A是氫原子基態(tài)半徑，A = 0.529166 X 10 mH2的能量式可寫出： 兩核間：E1 = Z2e2/4 n e ox(1 23)當兩氫原子對稱時，Z1對e1、Z2對e2為：E2= E3= Ze2/4 n e or(1 24)Z1對e2, Z2對e1對稱時有：E4= E5= Ze2/4 n e oVR2+( X a) 2(1 25)兩電子云環(huán)間勢能為：E6=( e2/ 4 n e o) (1 / 2 n )

9、j o2"d$/V (x 2a) 2+ R2cos $e2/ 8 n 2 e oR) ln 2 n R+V4 n 2R2+( x 2a) 2 / (x 2a)(1 26)兩電子動能對稱時有：T1 = T2= Z*e 2sin2 0 /8 n e or(1 27)H2體系總能量工E為：工 E = E1 + E2+ E3+ E4+ E5+ E6 + T1+ T2(1 28)當兩氫原子處于基態(tài)對稱時有：工 E=( e2/4 n e o) Z2/x 2Z/r+ Z*sin 2 0 / r 2Z/V R2+( x a) 2+ ( 1 /2 n R) ln : 2 n R+ V4 n 2R2+(

10、 x 2a) 2: / ( x 2a) (1 29)從(1 17)、(1 19)、(1 21)、(1 22)等式可求出兩核間不同x時的r、R、a、0值，代入體系能量式(1 29),可求出在不同核間距時體系的能量如下表一：H主要計算數(shù)據(jù)及結合能數(shù)據(jù)表表一x X 1010m9 1 =兒（度）Z*r1 = r2X 10-10mR1= R2 X 10-10ma1 =32 X 10 10m工E工E+27.2eV0.383.748153321.40-43960.38130535380.37903766560.041523738819.19838.1)0170.481.44541.3-210.4125145

11、2860.4()792512280.061362289426.9311026890.40543814581.353461.3()77950.4139821840.4()92771080.06223743427.1996000.580.3801031.234340750.4410599720.43481445860.073698686829.4072294070.6i80.'2500381.1(59730.46574000140.45901293270.078872533731.31274.11270.6968C.6951.12!030.484964957704'85835998

12、0.078413954831.5593435930.780.7174821.118528850.48572931410.47936867850.078349452631.5557435570.7380.931.1057784049108711460.48494679850.07741548193151194.31190.8i81.5240691.079)250720.50116964970.49)569580890.073869363731.38924.18920.982461.0501850.51279708610.50836318370.0572883717310560385601.()8

13、3.3861.029)05530.521166679705769813390.060027843230).6932.49321.2!85.0361.00：總73230.53140433570.5；2941117790.045982309730.0073280731.5i86.790.98'?200.53769682080.5：3685317790.030108744729).22132.02132.088.3617260.982470.53875775060.53853752820.015402749628.4350123503.()89.473550.9!179600.5356383

14、370.5：3561572670.00492152892_'.72320.5232根據(jù)表一的數(shù)據(jù)，繪成核間距和結合能間的關系曲線圖三如下:£'2已場:海特勒-倫敦方法計算值本方法計算值周世肋編電紀子力學教程P237圖放買卷值g鱉於孑冋對點"仙函數(shù)抉鬲從本方法計算值和實驗值比較，基本和實驗值一致，但本方法計算的最低結合能在核間距為0.696X 1010m處，和量子力學結果：0.7416X 1010m有一些不同。在 0.696處給出的結合能為4.3593eV，和實驗值4.476eV相差0.1167eV，誤差2.6%。用經典量子方法結合H2旋轉基頻實驗值計算的兩氫

15、原子核間距為0.6972 X 1O10m。未考慮電子云環(huán)寬度是造成誤差的一個因素。二、H2振動基頻計算在任一核間距乂，從(1 - 17)式有兩電子云環(huán)間作用力均為零。從(1 - 15 )式可知在x= 0.734407 X 10-10m時(1 15)式為零，兩核間力 Fz由下式給出：1/1/Fz= F1 F2 F4(2 1)即:Fz=( e2/4 n e o) Z2/x2 Z (x a) /" R2+( x a) 2 3 a/“ R2 + a2(2 2) 表二是x和Fz的關系值表，表中x單位：1010m, Fz單位：e2/4n e °X 10 20m。x和Fz關系表表二X0.

16、30.40.4054381450.5Fz7.6853801283.1034055722.9540393841.252745689X0.60.70.7344072120.8Fz0.44104567040.0720934270.00.0927970046X0.91.01.21.5Fz0.161135994201758088177 0.13281486X2.03.04.05.0Fz0.07672432130.02724856180.01136051965.33055 X 10 3兩核間作簡諧運動時，可寫出方程：mg2X1/dt2+ Fz = 0(2 3)m2d2x2/ dt

17、2 + Fz = 0(2 3)令 Fz/X1 = k1, Fz/X2= k2,上式可寫成：m1d2X1 / dt2+ ktX1= 0(2 4)m2d2X2 / dt2+ k2X2= 0(2 4)在H 2對稱時：k = k1= k2, m= m1= m2, 3 = 3 1=3 23=2 k/m(2 5)從量子化通則：少 pdq = ET = m3 2A2T/2 = nh(2 6)(2 6)式結合(2 4)式有：(m1/2) (d2X1/dt2) 2+ k1X12/2= E1(2 7)(m2/ 2) (d2x2/ dt2) 2+ k2X22/ 2= E2(2 7)設 E1 = n1h1/ T1=

18、E2= n2h2/ T2, T = 2 n / 3, A 是振幅，把(2 7 )兩式相加，體 系總能量： E= E1+ E2*有：(2 8)E = h w (ni+ 匕)/ 2 n = h v ( ni+ 乜)（2 - 8）式是兩氫原子簡諧振動的能量式，也可推廣到其它兩質點諧振動。以 0.7344X 10 10m 為 Fz 平衡點，Xi 或 x?值為：丨 0.7344 X 1010m x|, ki = Fz/x k2= Fz/ X2，求出k值與X關系如表三：（k單位：e2/ 4 n £。X 10 30m）k與x關系表表三X0.30.40.50.60.70.73440.80.9k17.

19、69199.28055.34443.28162.09570.01.41460.9730X1.01.21.52.03.04.05.0k0.69540.37760.17350.06060.01200.00350.0013設 ka>0、kb< 0, ka 是 x 在 0.3X 10 10mw x< 0.7344X 10 10m 這段，kb是 x 在0.7344X 10 10m< x< 3X 10 10m。用0.025X 1010m分段取值(插值等分)，部分k和x關系 如下表四：xkxkxkxk0.3()0.3250.350.375i 0.4C0.4250.45i 0.4

20、750.500.5250.550.57517.69915.5890 13.486211.38339.28058.29647.31；46.32345.34444.82874.313!03.7973)600.6250.650.6750.700.71720.73440.75630.77810.800.8250.8528162.98512.68862.39212.09571.45030.000.47150.94：311.41461.304:1.1938(.8750.900.9250.95i 0.9751.001.02;i1.051.0751.101.1251.151.0834 0.9730 0.903

21、6 0.83420.7548 0.69540.65570.61600.57630.53650.49680?15711.175 1.201.2251.25i 1.2751.301.3：51.3501.3751.4001.4251.450.41：4 0.3776 0.3615 0.34530.3274 0.30950.29250.27550.25850.24150.22450.：>075k與x關系表表四用求平均值公式:m2核在原點不動，m1核振動時有： (2 9) (2 9)(2 10) (2 11)(2 12)(2 13)(2 14)k= 1/( b a) / abf (x) dx 1 /

22、n (y。/2+ yi+ y：+yn-1 + yn/2)求得各段k值的平均值如表五：（x單位：10 10m、k單位：e2/4n & °x 10-30m）x與ka、kb關系表表五X0.400.4500.4750.5000.5250.5500.5750.600ka3.98363.32013.02842.77312.54182.31642.09901.8932X0.900.9250.951.001.051.0751.101.20kb0.86210.87060.87040.85280.82470.8094.0.79360.7263用線性ka、kb來近似，簡化兩核間為簡諧振動，設m1d

23、2Xa/ dt2 + kaXa= 0m1d2xb/ dt2+ kbXb= 0從(2 9)式有：_w a= (_ka/ m) V2w b=( kb/ m) 1 2m1的振動周期T有：T =( Ta+ Tb)/ 2m1的w為：w = 2 w aw b/( w a+ w b)m1的振幅A為：A = Aa+ A b從(2 6)、(2 7)和(2 8)有：Ei = mh 3/2 n = m« 2A2 /2(2- 15)可得mi在不同#k值時振幅：(下式中ka、kb為平均值)Aa=" nih/ n ( mka) 12(2 16)Ab=nih/ n ( mkb) 12(2 17)從(2

24、13)、(2 15)、(216)、(217)式可解 m1 的Aa、Ab、3、3 a、3b、E1 見表六：m1在不同n1值時的Aa、Ab、3 a、3 b、3、E1表表六xxAaA b3 ax 1014 3 bx 10143x 1014eX cm 1 2E11x cm 11C.575().9250.15310.19075.37803.46354.21352236.854473.7020.5251.000.20630.27115.91813.42794.34124609.349264.4430.4751.0750.24190.33646.45983.33964.40307012.2914024.58 E =