高中數(shù)學解三角形知識點匯總及典型例題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上解三角形的必備知識和典型例題及詳解一、知識必備：1直角三角形中各元素間的關系：在 ABC中， C 90°， AB c， AC b， BC a。（ 1）三邊之間的關系： a2 b2c2。（勾股定理）（ 2）銳角之間的關系： A B90°；（ 3）邊角之間的關系： （銳角三角函數(shù)定義）sin A cos B a ， cos A sin B b ， tan A a 。ccb2斜三角形中各元素間的關系：在 ABC中， A、 B、 C為其內角， a、 b、 c 分別表示 A、 B、 C的對邊。（ 1）三角形內角和： A BC 。（ 2）正弦定理：在一個三角形

2、中，各邊和它所對角的正弦的比相等abc2R （ R為外接圓半徑）sin Asin Bsin C（ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍2 2c22 cos ；222 2cacos ；2 2 2 2 cos 。a bbc AbcaBc a bab C3 三角形的面積公式：專心-專注-專業(yè)（ 1）（ 2）S 1 aha 1 bhb 1 chc（ ha、 hb、 hc 分別表示 a、 b、c 上的高）；222S 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B；2224解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中

3、至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：（ 1）兩類正弦定理解三角形的問題：第 1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第 2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（ 2）兩類余弦定理解三角形的問題：第 1、已知三邊求三角 .第 2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.5三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（ 1）角的變換因為在 ABC 中， A+B+C= ，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A+B)

4、= cosC； tan(A+B)= tanC 。sin A Bcos C , cos ABsin C ；2222（ 2）判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.6求解三角形應用題的一般步驟：（ 1）分析：分析題意，弄清已知和所求；（ 2）建模：將實際問題轉化為數(shù)學問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖；（ 3）求解：正確運用正、余弦定理求解；（ 4）檢驗：檢驗上述所求是否符合實際意義。二、典例解析題型 1：正、余弦定理例 1（ 1）在ABC 中，已知A 32.00， B 81.80， a 42.9 cm，解三角形；（ 2）在ABC 中，已知 a20 cm， b 2

5、8 cm， A400 ，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。解：（ 1）根據(jù)三角形內角和定理，C 1800( A B) 1800(32.00 81.80) 66.20 ；asin B42.9sin81.80根據(jù)正弦定理， bsin Asin32.0080.1(cm) ；根據(jù)正弦定理，casinC42.9sin66.2 074.1(cm).sin Asin32.0 0（ 2）根據(jù)正弦定理，sin B bsin A28sin4000.8999.a20因為 00 B 1800，所以 B640，或 B1160.當 B 640時，C1800(AB) 1800(400 640 ) 760，2ca

6、sin C20sin76030(cm).sin Asin40 0當 B1160 時，C1800(AB)0(4001160)0asinC20sin24018024， csin40013(cm).sin A點評：應用正弦定理時（1）應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（ 2）對于解三角形中的復雜運算可使用計算器題型 2：三角形面積例 2在ABC 中， sin A cos A2 ， AC2 ， AB3 ，求 tan A 的值和ABC 的面積。2解法一：先解三角方程，求出角A 的值。sin Acos A2 cos(A45 )2 ,12cos(A45 ).2又 0A 180 ,A

7、4560 , A105.tan Atan(4560 )1323 ,13sinAsin105sin(4560 )sin45 cos60cos45 sin6026 .4S ABC1 ACAB sin A12326 3 (26 ) 。2244解法二：由 sin Acos A 計算它的對偶關系式sin Acos A 的值。sin Acos A22(sin Acos A) 2122sin Acos A120A180 ,sin A0,cos A0.另解 (sin 2A1)23(sin Acos A)212sin A cos A3,2sin Acos A62+得 sin A26 。4得 cosA26 。4s

8、in A26423 。從而 tan A426cosA以下解法略去。點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學考查運算能力，是一道三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？題型 3：三角形中的三角恒等變換問題例 3在 ABC中， a、 b、c 分別是 A、 B、 C 的對邊長，已知a、b、 c 成等比數(shù)列，且a2b sin Bc2=acbc，求 A的大小及的值。c分析：因給出的是a、b、c 之間的等量關系，要求A，需找 A 與三邊的關系，故可用余弦定理。b2=a，再用正弦定理可求b sin B 的值。由 b2=ac 可變形為cc解法一： a、 b、

9、c 成等比數(shù)列，b2=ac。又 a2 c2=acbc， b2+c2a2=bc。在 ABC中，由余弦定理得：b 2c 2a 2bc1cos A=2bc= ，2bc2 A=60°。在中，由正弦定理得sin = b sin A，b2=，ABCBaca A=60°，b sin Bb 2 sin 603ac=sin60 °=。c2解法二：在 ABC中，4由面積公式得1 bcsin A= 1 acsin B。22 b2=ac， A=60°， bcsin A=b2sin B。 b sin B =sin= 3。cA2評述：解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找

10、兩邊兩角之間的關系常用正弦定理。題型 4：正、余弦定理判斷三角形形狀例 4在 ABC中，若 2cos Bsin A sinC ，則 ABC的形狀一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D.等邊三角形答案： C解析： 2sin Acos B sin C =sin （ A B） =sinAcosB+cosAsinB sin （ AB） 0， A B另解：角化邊點評：本題考查了三角形的基本性質，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑題型 5：三角形中求值問題例 5 ABC 的三個內角為A、 B、 C ，求當 A 為何值時， cos A2cos B C 取得

11、最大值，并求2出這個最大值。B+C AB+CA解析：由 A+B+C=，得 2= 2 2，所以有 cos 2 =sin2。B+CA2AAA1 23cosA+2cos2=cosA+2sin2 =1 2sin2 + 2sin2= 2(sin2 2) + 2；A1B+C3當 sin 2 =2，即 A= 3 時 , cosA+2cos2 取得最大值為 2。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質求得結果。題型 6：正余弦定理的實際應用例 6（ 2009 遼寧卷文，理）如圖，A,B,C,D 都在同一個與水平面垂直的平面內，B，D 為兩島上的兩座燈塔的塔頂。

12、測量船于水面A 處測得 B 點和 D點的仰角分別為750 ，300 ，于水面 C處測得 B 點和 D點的仰角均為 600 ，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求5B， D 的距離（計算結果精確到0.01km，2 1.414 ，6 2.449 ）解 : 在 ABC中， DAC=30°, ADC=60° DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180° 60° 60°=60°，ABAC故 CB是 CAD底邊 AD的中垂線， 所以 BD=BA，在 ABC中， sin BCAsin AB C ,

13、即ACsin603 26 ,AB= sin 15203260.33km。因此， BD=20故 B， D 的距離約為 0.33km 。點評：解三角形等內容提到高中來學習，又近年加強數(shù)形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關系即可過關。三、思維總結1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（ 1）已知兩角和一邊（如A、B、 C），由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、 b；（ 2）已知兩邊和夾角 （如 a、b、c），應用余弦定理求 c 邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用 A+B+C = ，求另

14、一角；（ 3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、 b、 A），應用正弦定理求B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求c 邊，要注意解可能有多種情況；（ 4）已知三邊a、 b、 c，應余弦定理求A、 B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角學中的射影定理：在ABC 中， ba cosCc cos A ，,3兩內角與其正弦值：在ABC 中， ABsin Asin B ，,4解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解” 。三、課后跟蹤訓練1. （ 2010 上海文數(shù)18. ）若 ABC 的三個內角滿足6sin A : sin

15、B : sin C5:11:13，則 ABC（）（ A）一定是銳角三角形 .（ B）一定是直角三角形 .（ C）一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由 sin A : sin B : sin C5:11:13及正弦定理得 a:b:c=5:11:13由余弦定理得5 21121320 ，所以角 C 為鈍角cos c51122. （ 2010天津理數(shù)7 ）在ABC 中，內角A,B,C 的對邊分別是a,b,c ，若 a2 b23bc ，sin C 23sin B ，則 A=()（A） 300（ B） 600（C） 1200（ D） 1500【答案】 A【解析】本題主要考

16、查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題。由正弦定理得c2 3b2Rc 2 3b，2Rb2 +c2-a23bcc23bc 23bc30所以 cosA=2bc2bc=，所以 A=302bc2【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或將角化為邊運算。3. （ 2010 湖北理數(shù)）3. 在 ABC 中， a=15,b=10,A=60 °，則 cos B =A 2 2 B2 2 C 6 D63333【答案】 Dab15103 ，又因為 ba ，則 BA，【解析】 根據(jù)正弦定理sin A sin B可得解得 sin Bsin60sin B3故 B 為銳角，所以 cos

17、 B1 sin 2 B63，故 D正確 .4.（ 2010 廣東理數(shù)） 11. 已知 a,b,c分別是 ABC的三個內角A,B,C 所對的邊， 若 a=1,b=3 , A+C=2B,則 sinC=.13，即 sin A1解：由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知， B=60°由正弦定理知，sin 60由sin A2a b 知， A B 60 ，則 A30 ，7C 180A B180306090， sin Csin 9015（ 2009 湖南卷文） 在銳角ABC 中， BC1, B2 A, 則 AC的值等于，AC 的取值范cos A圍為.解析設A,B 2 . 由正弦

18、定理得ACBC ,AC1AC2.sin 2sin2coscos由銳角ABC 得 0290045 ，又 01803903060，故 30452cos322，AC2cos(2,3).6.（ 2009 全國卷理） 在ABC 中，內角 A、B、C 的對邊長分別為a 、b 、 c ，已知 a2c22b ，且 sin AcosC3cos Asin C,求 b分析： : 此題事實上比較簡單, 但考生反應不知從何入手 . 對已知條件 (1)a2c22b 左側是二次的右側是一次的, 學生總感覺用余弦定理不好處理, 而對已知條件 (2)sin A cosC3cos Asin C, 過多的關注兩角和與差的正弦公式,

19、 甚至有的學生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差, 導致找不到突破口而失分 .解法：在ABC 中則sin A cosC3cos A sin C, 由正弦定理及余弦定理a2b2c2b2c2a 2c,有 : a2ab32bc（角化邊）化簡并整理得：2(a2c2 )b2. 又由已知 a2c22b4bb2.解得b4或b0(舍）.7在 ABC中，已知 A、B、 C成等差數(shù)列，求tan Atan C3 tan A tan C 的值。2222解析：因為、 、C成等差數(shù)列，又 C 180°，所以 C 120°，A BABA8ACA CAC 60°，故 tan3. 由兩角和的正切公式，

20、得tantan。從而22221tanA tan C322所以 tan Atan C33 tan A tan C ,2222tan Atan C3 tan A tan C3 。2222點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結合三角變換公式的逆用。8. （ 2009 四川卷文）在ABC 中， A、 B 為銳角，角A、 B、C 所對的邊分別為a、 b、 c ，且sin A5 ,sin B10510（ I ）求 AB 的值；（ II）若 ab21 ，求 a、 b、 c 的值。解（ I ） A、 B 為銳角， sin A5,sin B10510 cos

21、A1sin2 A25 ,cos B1sin2 B3 10510cos(AB)cos A cos Bsin A sin B253 105102 .5105102 0AB, A B4（ II ）由（ I ）知 C3， sin C242由abc得sin Bsin Csin A5a10b2c，即 a2b,c5b又ab212bb21 b1a2, c59. （ 2010 陜西文數(shù) 17）（本小題滿分 12 分）在 ABC中，已知B=45° ,D 是 BC邊上的一點，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的長 .解在 ADC中， AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得9cosAD2D

22、C 2AC2= 100361961 ,2AD DC21062ADC=120° ,ADB=60°在 ABD中， AD=10,B=45° ,ADB=60°，由正弦定理得sinABAD,ADBsin B AB=AD sinADB10sin 60103256sin Bsin 452210. （ 2010 遼寧文數(shù) 17）（本小題滿分 12 分）在 ABC 中， a、 b、 c 分別為內角 A、 B、 C 的對邊，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C（）求 A 的大?。唬ǎ┤?sin Bsin C1，試判斷ABC 的形狀 .解：（）由已知，根

23、據(jù)正弦定理得2a 2(2bc)b(2cb)c即 a2b2c2bc由余弦定理得a2b 2c22bc cosA故 cos A1 , A1202（）由（）得sin2Asin2 Bsin 2 C sin BsinC.又 sin Bsin C1，得sin Bsin C12因為 0B90 ,0C 90，故 B C所以ABC 是等腰的鈍角三角形。11. （ 2010 遼寧理數(shù)）（ 17）（本小題滿分 12 分）在 ABC中， a, b, c分別為內角 A, B, C的對邊，且2asin A(2ac)sin B(2cb)sin C.（）求 A 的大??；（）求 sin Bsin C 的最大值 .解：（）由已知，

24、根據(jù)正弦定理得2a2(2b c)b (2c b)c即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bc cosA10故 cos A1, 6 分， A=120°2（）由（）得：sin Bsin C sin B sin(60B)3 cosB 1sinB22sin(60B)故當 B=30°時， sinB+sinC取得最大值1。補充：海倫公式：有一個三角形，邊長分別為a 、 b、 c，三角形的面積S 可由以下公式求得：而公式里的p 為半周長（周長的一半）：基本關系轉化：倒數(shù)關系：；商的關系：平方關系：；和差角公式11和差化積口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負

25、正弦積化和差倍角公式二倍角三倍角12三倍角公式推導sin （ 3a) 3sina -4sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina （ 1-sin2a)+ （ 1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a 4cos3a-3cosa=cos （2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（ 2cos2a-1 ） cosa-2 （ 1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a 4sinasin（ 60°+a)sin （ 60°-a)=3sina-4sin3a=4sina （ 3/4-sin2a)=4sina （ 3/2）-sina （ 3/2） +sina=4sina(sin60°+sina)(sin