淺析Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目：淺析Vandermonde行列式的 相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 指導(dǎo)教師： 職 稱： 答辯日期： 二一年五月八日 淺析Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用摘要：在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，行列式無疑是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是后續(xù)課程線性方程組、矩陣、向量空間和線性變換的基礎(chǔ)。而行列式的計(jì)算具有一定的規(guī)律性和技巧性。Vandermonde行列式是一類很重要的行列式。本文系統(tǒng)的闡述了Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用,通過各種方法說明了行列式中的一些計(jì)算問題以及如何利用Vandermonde行列式計(jì)算一般的行列式，用多個(gè)例子論述并總結(jié)

2、了Vandermonde行列式在科研和實(shí)踐生活中如何更好的應(yīng)用。關(guān)鍵字: 行列式；Vandermonde行列式；VandermondeVandermonde determinant of the natureand application of relevantAbstract: Within the study of advanced-math,determinant obviously bing important and difficult,was the basic of lated courses including Linear Equations，Vector spaces，Ma

3、trix，Linear transformation.There was a series regulations and skills in calculation of determinant.And Vandermonde determinant was an important determinant.Firstly,this thesis described the related natures and the application of Vandermonde determinant systermatically. Secondly,it illustrated severa

4、l issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some approaches.Finally,this thesis instructed and concluded how to take better use of Vandermonde determinant in scientific study and practice.Key words：Determinant; Vande

5、rmonde determinant; Vandermonde1 引言在中學(xué)數(shù)學(xué)和解析幾何里，我們學(xué)習(xí)過兩個(gè)未知量和三個(gè)未知量的線性方程組及其解法。但是在數(shù)學(xué)研究和實(shí)際問題的解決過程中，經(jīng)常會(huì)遇到由多個(gè)未知量而組成的多個(gè)方程組，并且未知量的個(gè)數(shù)和方程組的個(gè)數(shù)也未必相等。為了解決這些具體的問題，經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家的不懈努力，終于由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和分別發(fā)明了行列式。經(jīng)過一段時(shí)間的發(fā)展，法國數(shù)學(xué)家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離。后來又經(jīng)過許多大數(shù)學(xué)家的不斷發(fā)展完善，如柯西、詹姆士·

6、;西爾維斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都對(duì)行列式的進(jìn)步起到了巨大的推動(dòng)作用。美國當(dāng)代數(shù)學(xué)家Bernard Kolman對(duì)行列式又做了進(jìn)一步的解析與應(yīng)用。數(shù)學(xué)家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收錄到Recent Developments in Algebra and Related Areas一書中。本文通過在行列式基本性質(zhì)了解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討一種特殊的行列式Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用。2 預(yù)備知識(shí) 為了深入學(xué)習(xí)Vandermon

7、de行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用，我們有必要回顧一下行列式的相關(guān)知識(shí)。2.1 定義1行列式是由個(gè)元素（數(shù)）(=1,2,)排成行列并寫成 (1)的形式，它表示所有符合以下條件的項(xiàng)的代數(shù)和： 每項(xiàng)是個(gè)元素的乘積，這個(gè)元素是從(1)中每行取一個(gè)元素、每列取一個(gè)元素組成的，可記為,式中是1,2,的一個(gè)排列。 每項(xiàng)應(yīng)帶正號(hào)或負(fù)號(hào)，以1,2,的順序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)來比較排列()的逆序數(shù)是偶或奇而決定。例如三階行列式中的項(xiàng)排列(231)有2個(gè)逆序，即2在1之前，3在1之前,所以應(yīng)帶正號(hào)；而中(213)的逆序?yàn)?，因?yàn)檫@時(shí)只有2在1之前，所以應(yīng)帶負(fù)號(hào)。 2.2 行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2 交換行列式

8、的兩行（列），行列式改變符號(hào)。性質(zhì)3 如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于0。性質(zhì)4 把一個(gè)行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一個(gè)數(shù),等于以數(shù)乘這個(gè)行列式。性質(zhì)5 一個(gè)行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外邊。性質(zhì)6 如果一個(gè)行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么這個(gè)行列式等于0。性質(zhì)7 如果一個(gè)行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么這個(gè)行列式等于0。性質(zhì)8 設(shè)行列式的第行元素都可以表示成,那么等于兩個(gè)行列式與的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而與的其他各行都和的一樣。同樣的性質(zhì)對(duì)于列來說也成立。性質(zhì)9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一個(gè)數(shù)后

9、加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式不變。2.3 行列式計(jì)算中的幾種基本方法 2.3.1 三角形法 就是利用行列式的性質(zhì)，將給定的行列式化為上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即為其主對(duì)角線上所有元素的乘積。 例1 計(jì)算級(jí)行列式.分析 該行列式具有各行（列）元素之和相等的特點(diǎn).可將第列（行）都加到第一列（行）（或第列（行）加到第列(行)），則第1（或）列（行）的元素相等，再進(jìn)一步化簡即可化為三角形行列式或次三角行列式.解 2.3.2 加邊法或升級(jí)法 例2 計(jì)算級(jí)行列式 分析 該行列式的各行（列）含有共同的元素可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列（稱為升級(jí)發(fā)或加邊法），適

10、當(dāng)選擇所增加行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素.解 2.3.3 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法 例3 計(jì)算級(jí)行列式 分析 對(duì)于三對(duì)角或次三對(duì)角行列式，按其第1行（列）或第行（列）展開得到兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，再利用變形遞推的技巧求解. 解 直接遞推不易得到結(jié)果（按低級(jí)是可以的），變形得3 行列式的一種特殊類型Vandermonde行列式 定義2 我們把型如=的行列式叫做Vandermonde行列式，其中表示這個(gè)數(shù)碼的所有可能（， ）因子共項(xiàng)的乘積（）。 3.1 Vandermonde行列式的證法方法一、消元法證：從第行開始，每一行加上前一行的倍。根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時(shí)有 = =

11、1（按行列式首項(xiàng)展開得到） (2)注意到行列式（2）是階Vandermonde行列式，即已經(jīng)將用表示出來。重復(fù)用上述方法對(duì)進(jìn)行求解，經(jīng)過有限步可以得到：=（）()()= 即證。方法二：數(shù)學(xué)歸納法證：當(dāng)時(shí),成立。假設(shè)對(duì)于階成立，對(duì)于階有：首先要把降階，從第n行起后一行減去前一行的倍，然后按第一行進(jìn)行展開，就有，于是就有=，其中表示連乘，的取值為，原命題得證。方法一與方法二的實(shí)質(zhì)與算法是一致的，可以說是同一種方法。3.2 Vandermonde行列式的性質(zhì)3.2.1 推廣的性質(zhì)定理：行列式= = (k=0,1,2n-1),其中是中（）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列。表示對(duì)所有（）階排列求和。 證：（i）在行列

12、式中增補(bǔ)第（）行和（）列相應(yīng)的元素考慮（）階Vandermonde行列式 = = (*) (ii)由(*)式的兩端分別計(jì)算多項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)，在(*)左端，由行列式計(jì)算：的系數(shù)為行列式中該元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，在(*)式右端，由多項(xiàng)式計(jì)算為的個(gè)不同根。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，項(xiàng)的系數(shù)為，其中是1，2中（）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列，表示對(duì)所有（）階排列求和。（iii）比較中項(xiàng)的系數(shù)，計(jì)算行列式，因?yàn)?*)式左右兩端項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，所以 即 （*） 定理得證。 利用此性質(zhì)定理可以計(jì)算各階準(zhǔn)Vandermonde行列式，簡便易行。特別，當(dāng)時(shí)，令=1，（*）式即為Vandermonde行列式V。例4 計(jì)算準(zhǔn)Van

13、dermonde行列式 解 由定理，=6,=3,所以 = .3.2.2 一個(gè)Vandermonde行列式為0的充分必要條件是中至少有兩個(gè)相等.3.2.3 Vandermonde行列式的偏導(dǎo)數(shù).定理 ，由Vandermonde行列式的定義知，是的元函數(shù).例5 設(shè)是個(gè)兩兩互異的數(shù)，證明對(duì)任意個(gè)數(shù)，存在唯一的次數(shù)小于的多項(xiàng)式，使得，.證 從定義容易看出的次數(shù)小于，且，故只需證明唯一性即可.設(shè)滿足，即，這個(gè)關(guān)于的線性方程組系數(shù)行列式為，故是唯一的，必須. 這就是有名的拉格朗日插值公式。例6 設(shè)是個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，滿足 . 證明： . 證：設(shè)，取，分別以代入，可得 ，這個(gè)關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為

14、，因此.3.3 Vandermonde行列式的翻轉(zhuǎn)與變形.3.3.1 將Vandermonde行列式逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得.3.3.2將Vandermonde行列式順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得.3.3.3 將Vandermonde行列式旋轉(zhuǎn)，得 .34 Vandermonde行列式的應(yīng)用3.4.1 Vandermonde行列式在Cramer法則中的應(yīng)用. 例7 設(shè)是互不相同的數(shù)，求解下面的方程組. 解： 系數(shù)行列式為，其中，所以，.3.4.2 如何利用Vandermonde行列式計(jì)算行列式 法一 所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪次數(shù)或其排列與Vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性

15、質(zhì)（如提取公因式，調(diào)換各行（列）的次序等）將行列式化為Vandermonde行列式。 例8 計(jì)算解： . 法二 利用行列式性質(zhì)，改變?cè)辛惺街械脑?，產(chǎn)生以新元素為行（列）的Vandermonde行列式。例9 計(jì)算階行列式，其中，（）.解：提取各行的公因式，得到（Vandermonde行列式） 上式右端行列式是以新元素為列元素的 階Vandermonde行列式，所以 =.法三 如階行列式的第行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含有相同分行（列），且中含有個(gè)分行（列）組成的Vandermonde行列式，那么將的第行（列）乘以（）加到（）行（列），消除一些分行（列），即可化成V

16、andermonde行列式。 例10 計(jì)算行列式=.解：在的第2行中去掉與第一行成比例的分行，得到=在上面行列式的第3行中去掉與第2行成比例的分行，得到一個(gè)新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉與第3行成比例的分行，得到 =.法四 各行（列）元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪的行列式，可用各種方法化成Vandermonde行列式。下面用加邊法。例11 （缺行Vandermonde行列式）. 解：注意此行列式與Vandermonde行列式的區(qū)別在于的冪跳過，我們自然會(huì)想到把缺了的冪補(bǔ)起來，再利用Vandermonde行列式，故令=.另一方面，對(duì)按最后一列進(jìn)行Laplace展開，可知的代

17、數(shù)余子式是.因此視為的多項(xiàng)式，則應(yīng)是的系數(shù)，故（的系數(shù)） .注1缺行Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或準(zhǔn)Vandermonde行列式。注2 利用此例中的添加一些行和列的方法，還可計(jì)算跳過兩個(gè)冪的超Vandermonde行列式，及其他行列式。 注意當(dāng)時(shí)，故也含因子。特別，知.因和都是齊次及對(duì)稱多項(xiàng)式，故應(yīng)是次齊次對(duì)稱多項(xiàng)式。按的次序排列時(shí)，的首項(xiàng)為（的首項(xiàng)），故知的首項(xiàng)為，由此可得到. 法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）的元素不是相應(yīng)元素的零次冪（即該行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函數(shù)，利用行列式性質(zhì)將這一行（列）元素化為

18、全是1的元素。 例12 證明=. 證：將的第1行加到第3行上，得到= .3.4.3 Vandermonde行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用 例13 設(shè)多項(xiàng)式，；，則不可能有非零且重?cái)?shù)大于的根。證明：反設(shè)是的重?cái)?shù)大于的根，則，進(jìn)而即 （3） 把（3）看作以為未知量的齊次線性方程組，則（3）的系數(shù)行列式為 . 故方程組（3）只有零解，從而，因此必須，這與矛盾，故 沒有非零且重?cái)?shù)大于的根。4 小結(jié)以上我們?cè)诨仡櫺辛惺较嚓P(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步系統(tǒng)的闡述了Vandermonde行列式的一些重要性質(zhì)和應(yīng)用等知識(shí)。以便更好的為我們的科研和生活服務(wù)。 參考文獻(xiàn):1張賢科，許甫華.高等代數(shù)M.清華大學(xué)出版社，1998

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21、Press,2009.1. 9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpR89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwcvR9CpbK!zn%Mz849GxG89AmUE9aQGn8xp$R#&#849GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#KN&MuWFA5uxY7JnD6YWR

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