平面向量空間向量知識點(diǎn)

1、平面向量21.1、向量的物理背景與概念 1、 了解四種常見向量： 力、位移、速度、加速度 2、既有大小又有方向的量叫做 向量.升.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做 有向線段，有向線段包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度 I2、向量aB的大小，也就是向量 aB的長度（或稱 模），記作aB,；長度為零的向量叫做 零向量；長度等于i個單位的向量叫做 單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行 . §2.1.3、相等向量與共線向量1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.22.1、 向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形加法法則 和平行四邊

2、形加法法則.2、a +b wa + b .22.2、 向量減法運(yùn)算及其幾何意義-*1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則三角形贏法法則平行四邊影減法法值§2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 1、規(guī)定：實(shí)數(shù) 人與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做 向量的數(shù)乘.記作：九a,它的長度和方向規(guī)定如下：九a=*a,當(dāng)兒A0時，九a的方向與a的方向相同；當(dāng) 九0時，九a的方向與a的方向相反a.2、平面向量共線定理：向量aG#。當(dāng)b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)九，使6 =23.1、 平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e,e2是同一平面內(nèi)的兩

3、個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量a ,有且只有一對實(shí)數(shù) 人1, %2,使a = 及 0 +九2e2.23.2、 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、 a 二xi yj = x,y .23.3、 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、設(shè)a = (x1,y1 )b=(x2,y2),則：a +b = (x1 +x2,y1 +y2), f a -b = (x1 -x2, y1 »),九a =0區(qū)，Ky1 ), * a bx1 y2 = x2 y1.2、設(shè) A(x1,y1 )B(x2 ,y2 ),則：AB = % - x1, y2 - y1 .23.4、 平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè) A(x1, y1 庫

4、區(qū)，V2 )C(x3,y3 ),則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(寸，y12y2 ),4ABC的重心坐標(biāo)為(書莖y1七/3 3，3堂.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 » »1、 a b = a b cos日.2、 a在b方向上的投影為：|a|cos8.-2- 23、 a = a .f /f 24、 a =寸 a -*5、 a _ b = a b = 0.過.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè)aulxy )b=(x2,y2),則： a b = x1x2 y1 y2 a =7x；+ y2b =0M x1x2 y1y2 =0a/b二 a - b= x1y2 -x2yl

5、= 0 2、設(shè) A(Xi,yi )B(X2 ,y2 ),則：AB V(X2 -X1 j +(y2 - y1 ).XX2yiV23、兩向量的夾角公式a b cos - = K i- a'b4、點(diǎn)的平移公式平移前的點(diǎn)為 P(x, y)(原坐標(biāo))，平移后的對應(yīng)點(diǎn)為P'(X：y)(新坐標(biāo))，平移向量為 零向量也是直線l的方向向量.PP' = (h,k),則 .y = y k.函數(shù)y = f (x)的圖像按向量a =(h,k)平移后的圖像的解析式為y -k = f (x - h).25.1、 平面幾何中的向量方法25.2、 向量在物理中的應(yīng)用舉例空間向量空間向量的許多知識可由平面

6、向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量(1).直線的方向向量：若A、B是直線l上的任意兩點(diǎn)，則IAB為直線l的一個方向向量；與IAB平行的任意非.平面的法向量：什4曰I寸-，4工+ +十XL-小、人4日工+ 一十X小上E 右向重n所在直線垂直于平面 a ,則稱這個向重垂直于平面a ,記作n _Lot ,如果n_Lot ,那么向量n叫做平面a的法向量.平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）： 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.設(shè)平面a的法向量為n = （x, y, z）.，十"二"人4，、白心“，一4T求出平面內(nèi)兩個不共線向重的

7、坐標(biāo)a = （a1,a2,a3）, b = （b,b2,b3）. 、" n a = 0根據(jù)法向量定義建立方程組 444.n b = 0解方程組，取其中一組解，即得平面a的法向量.（如圖）1、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線線平行設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是 a、b,則要證明l1/l2，只需證明a/b ,即a = kb（kw R）.即：兩直線平行或重合 Q兩直線的方向向量共線。線面平行（法一）設(shè)直線l的方向向量是a，平面a的法向量是u ,則要證明l / & dK也aLU,即：直線與平面平行 Q直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平

8、行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方 向向量是共線向量即可.面面平行平面0的法向量為u ,平面P的法向量為v ,要證a / P ,只需證u / v ,即證u = K v.即：兩平面平行或重合 a兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系 線線垂直設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是a、b,則要證明l1_Ll2，只需證明a_Lb,即a-b = 0.即：兩直線垂直 匕兩直線的方向向量垂直。線面垂直（法一）設(shè)直線l的方向向量是a，平面u的法向量是U ,則要證明l _LS ,只需證明a / U ,（法二）設(shè)直線l的方向向量是a,平面a內(nèi)的兩個相交向量分別為 m、n,若a m =0，則l _

9、L豆.a n = 0即：直線與平面垂直a直線的方向向量與平面的法向量共線a直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。面面垂直若平面a的法向量為u ,平面P的法向量為v ,要證a _L P ,只需證u _L v ,即證u，V = 0.即：兩平面垂直 O 兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知a,b為兩異面直線，A, C與B, D分別是a, b上的任意兩點(diǎn)，a,b所成的角為9,求直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角求法：設(shè)直線l的方向向量為a,平面a的法向量為u ,直線與平面所成的角為 6 , a與U的

10、夾角為中則e為中的余角或中的補(bǔ)角的余角.即有:：u sin 6 = cos|a u求二面角其中的每一部分叫做半平面；從一條直線定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分,出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二 面角的面，O,分別在兩個半平面內(nèi)作射求法：設(shè)二面角a -l -P的兩個半平面的法向量分別為 m、n ,再設(shè)m、n的夾角為邛，.面角口 T 一 口的平面角為日,則二面角8為m、n的夾角中或其補(bǔ)角冗一中根據(jù)具體圖形確定10是銳角或是鈍角:如果日是銳角，則cosem n即 6 =arccos-J ；mln如果日是鈍角，則cos日=,即 a =arccos

11、5、利用法向量求空間距離點(diǎn)Q到直線l距離_.若Q為直線l外的一點(diǎn)，P在直線l上，a為直線l的方向向量，b = PQ ,則點(diǎn)Q到直線l距離為h =-1 ：（©|）2 .（a b）21a |點(diǎn)A到平面a的距離若點(diǎn)P為平面口外一點(diǎn)，點(diǎn) M為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面a的法向量為n ,則P到平面a的距離就等于 MP在法向量1方向上的投影的絕對值直線a與平面a之間的距離當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面 的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。n MP|即 d 二 4一 .n兩平行平面a，口之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將

12、兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。n MP即 d = -4. n異面直線間的距離JT設(shè)向量n與兩異面直線 a,b都垂直，M w a, p w b,則兩異面直線 a,b間的距離d就是MP在向量n方向上投影的絕對值。.一n MP即 d = 4. n6、三垂線定理及其逆定理三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.PO 一 ,0 三：，推理模式：PA。、= A a a _ PA a 、.；, a _ 0A概括為：垂直于射影就垂直于斜線.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.P0 _ ： ,0 ：推理模式：PA。= A - a _ A0 a 二："a _ AP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設(shè)AC是平面a內(nèi)的任一條直線, 垂足為D.設(shè)AB與a （AD）所成的角為AD是0（的一條斜線 AB在a內(nèi)的射影，且BD XAD ,AD與AC所成的角為% , AB與AC所成的角為日貝U cos6 = cos01 cos%.8、面積射影定理已知平面P內(nèi)一個多邊形的面積為S（S原），它在平面a內(nèi)的射影