26矩陣的初等變換

1、2.6矩陣的初等變換課程引入：用消元法解方程線性組22x1-x23x3=1I弓I例解方程組4xi+2x2+5x3=42xi2x3=6解把方程組的第二個方程減去2乘以第一個方程；第三個方程減去第一個方程，消去兩個方程中的變量x1得，2x1-x23x3=1«4x2_x3=2x2x3=5互換第二個方程及第三個方程的位置得|2為-x23x3=1«x2_x3=54x2x3=2將上述方程組中的第三個方程乘以-4,再減去第二個方程，消去第三個方程中的變量x2得,x2-x3=53x3=78由第三個方程得x3=-6,將其代入第二個方程得x2=-1,再代入第一個方程得xi=9,xi=9即x2=

2、-1x3=-6在上面用消元法解方程組的過程中用到了以下三種變換:(1)互換兩個方程的位置；(2)用非零數(shù)乘某個方程；(3)將某個方程的若干倍加到另一個方程,我們把這三種變換稱為解線性方程組的初等變換。、矩陣初等變換的定義定義1對矩陣的行（列）實施下列三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換.（1）對換：互換矩陣的兩行（列），記作rirj（ccj）；（2）數(shù)乘：以數(shù)k*0乘某行（列），記作kr（kq）；（3）倍加：把某行（列）的k倍加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，記作+krj（c+kcj）；矩陣的這三種初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.引例中方程組的三種變換對應(yīng)下面矩陣的相應(yīng)變換。r

3、9;2(Ab)=412-1413；1I- 1；2TI- 1I5>20<0- 13；1I1-1；5II4-1:2；1/2-101、003-131、10r5T0118,1000'9、0；-1V-6J稱由變量的系數(shù)組成的矩陣A為該方程組的系數(shù)矩陣，將系數(shù)與常數(shù)項組成的矩陣（A|b）稱為方程組的增廣矩陣。三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換.產(chǎn)（。1c）逆變換產(chǎn)rj（cicj）.、1,1、門Mk（ciMk）逆變換父?。?。父：）kk（3）ri+krj（ci+kcj）逆變換ri+（k）rj（o*（k）。）二、行階梯形矩陣、行最簡形矩陣及矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的定義經(jīng)過初等行變換，

4、可把矩陣化為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元.例如11-214'0|1-1100001-320000經(jīng)過初等行變換，行階梯形矩陣還可以進(jìn)一步化為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在列的其它元素都為0.例如10-104、"01-103000-|1-3100000,對行階梯形矩陣再進(jìn)行初等列變換,可得到矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都為0.10-104I"i01-

5、1030001-3I:I00000三、利用矩陣的初等變換將矩陣變換為行階梯形及行最簡形定理1任何一個非零矩陣Am珀總可經(jīng)過行初等變換化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣.證明因A¥。，在A的第一列元素中找一個非零元素，若全為零，則在第二列中找,依此類推.不妨設(shè)a11#0,對A施行初等行變換，得0IIIa12b22IHbm2川aIIIb2na11IIItno用bmnA12如果A22=。，則A已化為行階梯形，如果A2200,同樣在A22的第一列元素中找第一個非零元素，若全為零，則在第二列中找.不妨設(shè)其中,01演a1ran'0b22b23”b2rb2n00c33C3rC3n.-W-W-0

6、00drrdrn.00000-.,-<00000都不等于令.故得到A的行階梯形矩陣，再施行初等行變換,b22#0,重復(fù)上述步驟，必可得到矩陣1000得al1,b22即為行最簡形矩陣.形.A例1用初等行變換把矩陣解A-20III00III01III00HI1b2C30III<00III00III00III0HIdrn0III0-4化成行階梯形進(jìn)而化成行最簡12-1-1-12；3'<1r4*-1-1-1<0-2J14-100-10009000-1-22、-24Ji2-2r3，4，31000-1010、00-2400,14002010000001-2工00000皿4010、小，001000001-2、00000,四、矩陣的等價定義2