上海中考數(shù)學壓軸題專題復習——圓與相似的綜合

1、上海中考數(shù)學壓軸題專題復習一一圓與相似的綜合一、相似1,已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2(a>0)相交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸正半軸相交于點C,過點A作AD，x軸，垂足為D.味F(1)若/AOB=60,AB/x軸，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，點A的橫坐標為-4,AC=4BC求點B的坐標;(3)延長AD、BO相交于點E,求證：DE=CO，OA=OB, /AOB=60； .AOB是等邊三角形， .AB=2,AB±OC, .AC=BC=1,/BOC=30,°jl.OC=IG,.A(-1,0),把A(-1,N3)代入拋物線y=ax2(a&

2、gt;0)中得：a=里;(2)解：如圖2,過B作BEXx軸于E,過A作AGBE,交BE延長線于點G,交y軸于F,.CF/BG,.笈布,.AC=4BC,Af=4,.AF=4FG,.A的橫坐標為B的橫坐標為.A(-4,16a)/AOB=90；-4,1,B(1,a), /AOD+/BOE=90； /AOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO, /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,由4/%16a2=4,1a=±-,.a>0,B(1,工)；(3)解：如圖3,設AC=nBC由(2)同理可知：A的橫坐標是B的橫坐標的n倍,則設B(m,amCO=*""=am2n,

3、.DE=CQ【解析】【分析】(1)拋物線y=ax2關于y軸對稱，根據(jù)AB/x軸，得出A與B是對稱點，可知AC=BC=1由/AOB=60,可證得4AOB是等邊三角形，利用解直角三角形求出OC的長，就可得出點A的坐標，利用待定系數(shù)法就可求出a的值。(2)過B作BEXx軸于E,過A作AG±BE,交BE延長線于點G,交y軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例證出AF=4FG根據(jù)點A的橫坐標為-4,求出點B的橫坐標為1,則A(-16a),B(1,a),再根據(jù)已知證明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可證明ADOsoeb,得出對應邊成比例，建立關于a的方程求解，再根據(jù)點B在第一象限，),則A-m

4、n,am2n2),1 .AD=am2n2,過B作BHx軸于F,2 .DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBbOEODDE,?OB也甌I.宛ntnDE,/1=一麻口，DE=am2n,OB1BE7*11,?1.OC/AE,.,.BCOABAE,確定點B的坐標即可。(3)根據(jù)(2)可知A的橫坐標是B的橫坐標的n倍，則設B(m,am2),則A(-mn,am2n2),得出AD的長，再證明BOQEOD,BC8BAE,得對應邊成比例，證得CO=am2n,就可證得DE=CO2.已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,對角線AC,BD交于點0.點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為1cm

5、/s；同時，點Q從點D出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動.連接PO并延長，交BC于點E,過點Q作QF/AC,交BD于點F.設運動時間為t(s)(0vtv6),解答下列問題：atpnBEC(1)當t為何值時，AOP是等腰三角形？(2)設五邊形OECQF的面積為S(cm2),試確定S與t的函數(shù)關系式；(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使S五邊形S五邊形oecqeSaacd=9:16?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)解：二

6、.在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,.AC=10,當AP=PO=t,如圖1,過P作PMXAO,.AM=AO=-,/PMA=ZADC=90；/PAM=ZCAD,.APMAADC,.AP=t=當AP=AO=t=5,25當t為*或5時，4AOP是等腰三角形(2)解：作EHLAC于H,QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,Az±_£J圉2E在APO與ACEO中， /PAO=ZECOAO=OC,/AOP=/COE.AOPACOE, .CE=AP=t .CEHAABC,囤.區(qū)24 .DN=4r=51.QM/DN,.CQMACDN,.QM=S,2424-4t4dDG=$

7、5=亍.FQ/AC,.DFQADOC,；3I524-4tPX5X-f+-6-/+5)r-S五邊形OECQf=SOEC+S四邊形OCQf=匕門,口.S與t的函數(shù)關系式為(3)解：存在，/，3-tr+-t寺12GjfI.Saacd=2X6X8=24S五邊形OECQFSACD=(舍去)，):24=9:16,解得t=2,t=0,(不合題意,gt=I;時，S五邊形S五邊形oecqeSaacd=9:16(4)解：如圖3,過D作DMAC于M,DNAC于N,圖3/POD=/COD,24.DM=DN=5,L/.ON=OM=、加？一威=,.OP?DM=3PD,55T.OP=b,185'rPM=,.時二，重

8、：兇,門1852242(8-t)-(-,t)*)，甘5,解得：t1環(huán)合題意，舍去)，t2.88當t=2.88時，OD平分/COP.【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質可得：AB=CD=6BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q兩點分別從A點和D點同時出發(fā)且以相同的速度為1cm/s運動，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動，所以點P不可能運動到點D;所以4AOP是等腰三角形分兩種情況討論：當AP=PO=t時，過P作PMLAO,易證CQMsCDN,可得比例式即可求解；當AP=AO=t=5時，4AOP是等腰三角形；(2)作EHI±AC于H,QMAC于M,DNAC于N,交QF于G,可將五邊

9、形轉化成一個三角形和一個直角梯形，則五邊形OECQF的面積S=三角形OCE的面積+直角梯形OCQF的面積；1(3)因為三角形ACD的面積=_AD*CD=24,再將(2)中的結論代入已知條件S五邊形S五邊形OECQFSacc=9:16中，可得關于t的方程，若有解且符合題意，則存在，反之，不存在；(4)假設存在。由題意，過D作DM，AC于M,DNAC于N,根據(jù)角平分線的性質可得/7DM=DN,由面積法可得；三角形ODP的面積=-OP*DM=：PD上CD=3PD,所以可得OP?DM=3PD,則用含t的代數(shù)式可將OP和PM表示出來，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得關于t的方程，解這個方程即可求解。

10、3.如圖1,一副直角三角板滿足AB=BC,AC=DE,/ABC=/DEF=90°,/EDF=30°【操作】將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P,邊EF與邊BC于點Qaa(1)【探究一】在旋轉過程中，CE1-1如圖2,當EA時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并給出證明.CE=2 如圖3,當EA時eP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？，并說明理由.CEffi 根據(jù)你對(1)、(2)的探究結果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數(shù)量關系式為，其中皿的取值范圍是(直接寫出結論，不必證明)CE-2(2)【探究二】若好且AC

11、=30cm,連續(xù)PQ,設EPQ的面積為S(cm2),在旋轉過程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由隨著S取不同的值，對應4EPQ的個數(shù)有哪些變化？不出相應S值的取彳1范圍.CE=【答案】(1)解：當EA時，PE=QE即E為AC中點，理由如下：連接BE,3 ABC是等腰直角三角形，BE=CE/PBE=ZC=45；又/PEB吆BEQ=90,/CEQ吆BEQ=90,/PEB=/CEQ,在PEB和4QEC中，ZPEB=BE=CE/晦«,4 .PEBAQEC(ASA),5 .PE=QE.;EP:EQ=EA:EC=1：2理由如下：作EMLAB,EN

12、7;BC,/EMP=ZENQ=90；又/PEN+ZMEP=ZPEN+/NEQ=90,/MEP=ZNEQ,6 .MEPANEQ,7 .EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C,8 .MEAANEC,9 .ME:NE=EA:ECCE_=2EA10 .EP:EQ=EA:EC=1:2.;EP：EQ=1:m；0Vme2+.(2)解：存在.由【探究一】中(2)知當M時，EP:EQ=EAEC=1:2;/設EQ=x,則EP=-x,.AB=BC=15羽,CE -EA,AC=30,.AE=10,CE=20在等腰RtCNE中， .NE=10當x=10U，：時，Smin=50（cm2）；當EQ=

13、EF時，S取得最大， AC=DE=30,/DEF=90,°/EDF=30,°在RtDEF中，身1. tan30=°,EF=30X'=10,此時4EPQ面積最大，.Smax=75（cm2）；由（1）知CN=NE=5-,BC=15k;-,.BN=10五,在RtBNE中，BE=5限, 當x=BE=5寸質時，S=62.5cm2, 當50<S<625這樣的三角形有2個；當S=50或62.5<SW75寸，這樣的三角形有1個.【解析】【解答】（1）作EM,AB,ENXBC, /B=/PEQ=90,° /EPB吆EQB=180,°又/

14、EPB吆EPM=180,/EQB=ZEPM, .MEPANEQ, .EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C, .MEAANEC, .ME:NE=EA:ECCE, .EP:EQ=EA:EC=1：mEP與EQ滿足的數(shù)量關系式為EP:EQ=1:m,，0<mw2皿（當m>2+同時，EF與BC不會相交）.【分析】【探究一】根據(jù)已知條件得E為AC中點，連接BE,根據(jù)等腰直角三角形的性質可BE=CE/PBE土C=45,由同角的余角相等得/PEB=/CEQ,由全等三角形的判定ASA可得PEg4QEC,再由全等三角形的性質得PE=QE.作EMAB,EN±BC,由相似

15、三角形的判定分別證MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性質得EP:EQ=ME:NE=EA:EC從而求得答案.作EMAB,EN±BC,由相似三角形的判定分別證MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性質得EP:EQ=ME:NE=EA:EC從而求得答案.I【探究二】設EQ=x,根據(jù)【探究一】(2)中的結論可知則EP=jx,根據(jù)三角形面積公式得出S的函數(shù)關系式，再根據(jù)當EQ,BC時，EQ與EN重合時，面積取最?。划擡Q=EF時，S取得最大；代入數(shù)值計算即可得出答案.根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)求得當EQ與BE重合時，4EPQ的面積，再來分情況討論即可.135y=a(x-)2B(-2

16、)4.已知頂點為M拋物線-經(jīng)過點/，點/.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,直線AB與x軸相交于點M,y軸相交于點E,拋物線與y軸相交于點F,在直線AB上有一點P,若/OPM=/MAF,求APOE的面積；圖1(3)如圖2,點Q是折線A-B-C上一點，過點Q作QN/y軸，過點E作EN/x軸，直線QN與直線EN相交于點N,連接QE,將QEN沿QE翻折得到4QEN1,若點Ni落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標.E(0,-1)，F(xiàn)(0,-)，M(-,0)，解得：a=1,(2)解：設直線AB解析式為：y=kx+b,代入點A、B的坐標得:直線AB的解析式為：y=-2x-1,/OPM=ZMAF,當OP/A

17、F時，AOPEAFAE3【答案】(1)解：把點/代入.OE=1,FE=&tt,-2t-1)拋物線的解析式為:解得:.OP=設點P.OP=化簡得閾FA=(15t+2)(3t+2)=0,i1二1解得"J,SaopE=-OE/,2121當t=-/3時，Saope=EX1Y=15,綜上，APOE的面積為心或J.(3)Q(-，泛).【解析】【解答】(3)解：由(2)知直線AB的解析式為：y=-2x-1,E(0,-1),設Q(m,-2m-1)N(n,0),1. N(m,-1)QEN沿QE翻折得到QEN.NNi中點坐標為(？，2),EN=ENi,.NNi中點一定在直線AB上,Ni(-2-m

18、,0),.EN2=ENi2,1m2=(-工-m)2+1,解得：m=-,.Q(，【分析】(1)用待定系數(shù)法將點B點坐標代入二次函數(shù)解析式即可得出b的二兀一次方程(2)設直線AB解析式為：y=kx+b,代入點A、B的坐標得一個關于k和組，解之即可得直線AB解析式，根據(jù)題意得E(0,-1),F(0,-J)據(jù)相似三角形的判定和性質得OP=JFA=1一'，設點P(t,-2t-1),根據(jù)兩點間的距離公式即可求得t值，再由三角形面積公式POE的面積.(3)由(2)知直線AB的解析式為：y=-2x-1,E(0,-1),設Q(m,-2m-1),Ni(n,卜一刃0),從而得N(m,-1),根據(jù)翻折的性質知

19、NNi中點坐標為(二，2)且在直處件"-日-日"3線AB上，將此中點坐標代入直線AB斛析式可得n=-=-m,即Ni(-m,0),再根據(jù)翻折的性質和兩點間的距離公式得m2=(-1-m)2+1,解之即可得Q點坐標.5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點P是邊AB上的一動點，連結DP(1)若將4DAP沿DP折疊，點A落在矩形的對角線上點A'處，試求AP的長；(2)點P運動到某一時刻，過點P作直線PE交BC于點E,將DAP與PBE分另I沿DP與PE折疊，點A與點B分別落在點A,B'處，若P,A',B'三點恰好在同一直線上，且AR'

20、2,試求此時AP的長；(3)當點P運動到邊AB的中點處時，過點P作直線PG交BC于點G,將4DAP與4PBG分別沿DP與PG折疊，點A與點B重合于點F處，連結CF,請求出CF的長.【答案】(1)解：當點A落在對角線BD上時，設AP=PA'=x,Si在RtADB中，AB=4,AD=3,.BD=、聲*/=5,.AB=DA'=3,BA=2,3在RtBPA中，(4-x)2=x2+22,解得x=一iJ.AP=.當點A落在對角線AC上時,由翻折性質可知：PD±AC,則有DA'ABC,|ADABAD*BC1yM3也二.A=B(,AP=/1'=/=，.AP的長為泛或&

21、#39;J(2)解：如圖3中，設AP=x,則PB=4-x,圖3根據(jù)折疊的性質可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-'A=B2,.4xx=2,x=1,PA=1;如圖4中，x,四4x,設AP=x,貝UPB=4-x,根據(jù)折疊的性質可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-A'君2,.x-(4x)=2,.x=3,PA=3;綜上所述，PA的長為1或3（3）解:如圖5中，作FHI±CD由H.由翻折的性質可知；AD=DF=3.BG=BF,G、F、D共線，設BG=FG=x,在RtAGCD中，（x+3）2=42+（3-x）2,解得x=J,DG=DF+FG=3,CG=BC

22、-BG=,FH36361'J,CH=413=/.FH/CG,.（石15.FH=DH=I152*fJ在RtCFH中，CF=J1313【解析】【分析】（1）分兩種情形：當點A落在對角線BD上時，設AP=PA=x構建方程即可解決問題；當點A落在對角線AC上時，利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題；（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；（3）如圖5中，作FHI±CD由H.想辦法求出FH、CH即可解決問題6.如圖1,在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,點B,與y軸交于點C,過點C作CD±y軸交拋物線于點D,過點B作B已x軸，交DC延

23、長線于點E,連接BD,交y軸于點F,直線BD的解析式為y=-x+2.（1）寫出點E的坐標；拋物線的解析式.（2）如圖2,點P在線段EB上從點E向點B以1個單位長度/秒的速度運動，同時，點Q在線段BD上從點B向點D以個單位長度/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，當t為何值時，4PQB為直角三角形?(3)如圖3,過點B的直線BG交拋物線于點G,且tan/ABG=|j,點M為直線BG上方拋物線上一點，過點M作MH±BG,垂足為H,若HF=MF,請直接寫出滿足條件的點M的坐標.【答案】(1)解：將點D(-3,5)點B(2,0)代入y=ax2+bx+5y=-Jx2-x+5

24、I3b=解得2，拋物線解析式為:(2)解：由已知/QBE=45,PE=t,PB=5-t,QB=7二t當/QPB=90時，4PaB為直角三角形./QBE=45°.QB=.PB%-t=-(5-t)J解得t=上當/PQB=90時，APQB為直角三角形.BPQsBDEBQ?BD=BP?BE5(5-t)=t?5里5一3一一時，APQB為直角三角形(3)點M坐標為(-4,3)或(0,5).【解析】【解答】(3)由已知tan/ABG=,且直線GB過B點/則直線GB解析式為：y=-x-1延長MF交直線BG于點K佗1.HF=MF/FMH=ZFHM.MHBG時/FMH+ZMKH=90°/FHK

25、+ZFHM=90°/FKH=ZFHKHF=KF，F(xiàn)為MK中點口s設點M坐標為（x,-x2-上x+5）,.F（0,2），點K坐標為（-x,一x2+一x-1）把K點坐標代入y=?x-1解得xi=0,x2=-4,把x=0代入y=-x2,x+5,解得y=5,把x=-4代入y=-x2-x+5解得y=3則點M坐標為（-4,3）或（0,5）【分析】（1）由待定系數(shù)法求點坐標及函數(shù)關系式；（2）根據(jù)題意，4DEB為等腰直角三角形，通過分類討論/PQB=90或/QPB=90的情況求出滿足條件t值；（3）延長MF交GB于K,由/MHK=90,HF=MF可推得HF=FK即F為MK中點，設出M坐標，利用中點

26、坐標性質，表示K點坐標，代入GB解析式，可求得點M坐標.7.如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=5cm,BC=6cm,點E.F.G分別從A.B.C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s,點F的運動速度為3cm/s,點G的運動速度為1.5cm/s,當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動.在運動過程中，4EBF關于直線EF的對稱圖形是AEB'設點E.F.G運動的時間為t（單位：s）.(1)當t等于多少s時，四邊形EBFB為正方形;(2)若以點E、BF為頂點的三角形與以點F,C,G為頂點的三角形相似，求(3)是否存在實數(shù)t,使得點B&

27、#39;與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在,t的值；請說明理由.【答案】(1)解：若四邊形EBFB為正方形，貝UBE=BF,BE=5-t,BF=3t,即：5t=3t,解得t=1.25;故答案為：1.25(2)解：分兩種情況，討論如下：若EBM"CG所毋5-/JZ|則有元一花,即6子一L5t,解得：t=1.4;若EBFGCF,陽勢5-/貴則有花一元，即上5,一6擊,解得：t=-7-F而(不合題意，舍去)或t=-7+IV花.當t=1.4s或t=(-7+V應)s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F,點的三角形相似.C,G為頂(3)解：假設存在實數(shù)t,使得點B'與點O重合.

28、如圖，過點。作OMLBC于點M,則在RtOFM中，OF=BF=3t,FM=二BC-BF=3-3t,OM=2.5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：2.52+(33t)2=(3t)261解得：t=:上；過點。作ON，AB于點N,則在RtOEN中，OE=BE=5-t,EN=BEBN=5t2.5=2.5-t,ON=3,由勾股定理得：ON2+EN2=OE2,即：32+(2.5t)2=(5t)2兆解得：t=互.613g.三m,，不存在實數(shù)t,使得點B與點O重合【解析】【分析】(1)利用正方形的性質，得到BE=BF,列一元一次方程求解即可；(2)4EBF與4FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐

29、一分析計算；(3)本問為存在型問題.假設存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在8.已知在ABC中，AB=AC,AD,BC,垂足為點D,以AD為對角線作正方形AEDF,DE交AB于點M,DF交AC于點N,連結EF,EF分別交AB、AD、AC于點G、點。、點H.(1)求證：EG=HF;四(2)當/BAC=60時，求NC的值；HF三(3)設HE“AAEH和四邊形EDNH的面積分別為S和金,求號的最大值.【答案】(1)解：在正方形AEDF中，OE=OFEF±AD, .ADXBC, .EF/BC,，/AGH=/B,/AHG=/C,而AB=AC,/B=/C,/AGH=Z

30、AHG,.AG=AH, .OG=OH, .OE-OG=OF-OH.EG=FH(2)解：當/BAC=60時，AABC為正三角形,ADXEF,ZOAH=30,設OH=a,則OA=OE=OF='Ja,EH=(d士J)a,HF=(-j|)a, .AE/FN,.AEI-MANFH,AHEH.5T.NH-FH-/, .EF/BC,.AOHAADC,OHOA/.DCADN, CD=2a,易證HNFsCND,(3)解：設EH=2m,貝UFH=2km,OA=-EF=(k+1)m,Si=(k+1)m2,由(2)得，AAEHANFH,SAHNF=k2Si=k2(k+1)m2,而Sedf=OA2=(k+1)2

31、m2,(k+1)m2,S2=S1EDF-Sahnf=(k+1)2m2-k2(k+1)m2=(-k2+k+1)3'=-l+k+1,L三g當k=3時,S/最大=?.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定與性質，正方形的性質易證AAGH為等腰三角形，通過主線合一”可得OG=OH,即可得證；（2）由等邊三角形的性質可設OH=a,則OA=OE=OF=、Ga,則EH=（P4/）a,HF=（以1）a,根據(jù)相似三角形判定易證AEHsNFH,AOHsADC,AHNFACND,然后通過相似三角形的對應邊成比整理即可得解；(3)設EH=2m,則FH=2km,0A=_EF=(k+1)m,分別得到S、S&#

32、187;AHNF和S>AEDF關于k,m的表達式，再根據(jù)及=SEDF-S»AHNF得到發(fā)的表達式，進而得到號,關于k的表達式，通過配方法即可得解、圓的綜合9.如圖，在銳角4ABC中，AC是最短邊.以AC為直徑的O0,交BC于D,過O作0E/(1)BC,交0D于E,連接AD>AE、CE求證：/ACE之DCE;若/B=45,/BAE=15,求/EA0的度數(shù);(2)(3)4也3【解析】【分析】(1)易證/0EG/0CE,/0EG/ECQ從而可知Z0CE=ZECD,即/ACE=/DCE；(2)延長AE交BC于點G,易證ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于0E/BC,所

33、以ZAE0=ZAGC=60:所以ZEA0=ZAE0=60-SVC0E1SVCDF2(3)易證,由于,所以SVCAE2SVC0E3SVCD=1,由圓周角定理可知SVCAE3/AEO/FDO90；從而可證明CDQ4CEA【詳解】(1)0C=0E,Z0EC=Z0CE利用三角形相似的性質即可求出答案.0E/BC,./OEG/ECD，/0CE=/ECD(2)延長AE交BC于點G.即/ACDCE/AGC是4ABG的外角，ZAGC=ZB+ZBAG=60:.0E/BC,/AE0=ZAGC=60:1-0A=0E,/EA0=ZAE0=60SVC0E1(3):。是AC中點，-SVCAE2SVCDFSVCOE【點睛】

34、SVCDF1=SVCAE3.AC是直徑，/AEO/FDO90:./AC曰/FCD,ACDFACEACF=23,.CF=3CA=43.CA333本題考查了圓的綜合問題，涉及平行線的性質，三角形的外角的性質，三角形中線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質等知識，需要學生靈活運用所學知識.10.如圖，在VABC中，ACB90°，BAC的平分線AD交BC于點D,過點D作DEAD交AB于點E,以AE為直徑作eO.1求證：BC是eO的切線；2若AC3,BC4,求tanEDB的值.【解析】【分析】1連接OD,如圖，先證明OD/AC,再利用ACBC得至|JODBC,然后根據(jù)切線的判定定理得到結

35、論；2先利用勾股定理計算出AB5,設eO的半徑為r,則OAODr,OB5r,15再證明VBDOsVBCA,利用相似比得到r：35r：5,解得r一，接著利用勾8531股定理計算BD金，則CD-,利用正切定理得tan1-,然后證明【詳解】1證明：連接OD,如圖,QAD平分BAC,12,QOAOD,23,13,OD/AC,QACBC,ODBC,BC是eO的切線;2解：在RtVACB中，ABJ32425,設eO的半徑為r,則OAODQOD/AC,VBDOsVBCA,OD:ACBO：ba,15即r：35r：5,解得r一8OD15OB258，在rwodb中，bdJob2OD25,2CDBCBD-,2在Rt

36、VACD中，工彳tan13CD31,AC32QAE為直徑，ADE900，EDBADC90°，Q1ADC90°，1tanEDB2【點睛】本題考查了切線的判定與性質：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.判定切線時連圓心和直線與圓的公共點”或過圓心作這條直線的垂線”；也考查了圓周角定理和解直角三角形.11.如圖，在。0中，直徑AB，弦CD于點E,連接AC,BC,點F是BA延長線上的一點，且/FCA=/B.(1)求證：CF是。的切線;(2)若AE=4,tanZACD=1,求AB和FC的長.40【答案】(1)見解析；(2)AB=20,CF一3

37、【解析】分析：(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理證明OC，CF即可；(2)通過正切值和圓周角定理，以及/FCA=/B求出CEBE的長，即可得到AB長，然后根據(jù)直徑和半徑的關系求出OE的長，再根據(jù)兩角對應相等的兩三角形相似(或射影定理)證明OCaCFE,即可根據(jù)相似三角形的應線段成比例求解詳解：證明：連結OC.AB是。O的直徑/ACB=90°/B+/BAC=90°-.OA=OCZBAC=ZOCA/B=/FCAZFCA+ZOCA=90即/OCF=90.C在。上.CF是。的切線c_AE1(2) /AE=4,tan/ACDEC2.CE=8 直徑AB,弦CD于點EAdAc /FCA=/B

38、/B=ZACD=ZFCA /EOC4ECACE1 .tanZB=tanZACD=BE2.BE=16.AB=20，OE=AB+2-AE=6 .CE±AB /CEO4FCE=90°.-.OCEACFEOCOECFCE10=6CF-840CF3點睛：此題主要考查了圓的綜合知識，關鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質，結合相似三角形的判定與性質和解直角三角形的知識求解，利用數(shù)形結合和方程思想是解題的突破點，有一定的難度，是一道綜合性的題目12.如圖AB是4ABC的外接圓。的直徑，過點C作。O的切線CM,延長BC到點D,使CD=BC連接AD交CM于點E,若。OD半徑為3,AE=5,(

39、1)求證：CMXAD;(2)求線段CE的長.6【答案】（1）見解析；（2）J5【解析】分析：（1）連接OC,根據(jù)切線的性質和圓周角定理證得AC垂直平分BD,然后根據(jù)平行線的判定與性質證得結論；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質證明求解即可.CM切。O于點C,/OCE=90,°.AB是。的直徑，/ACB=90,° .CD=BC.AC垂直平分BD,.AB=AD,/B=/D/B=/OCB/D=ZOCB .OC/AD /CED土OCE=90° CMXAD.(2)OA=OB,BC=CD.OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1MffiACDE-AACECEDEAECE.C

40、E2=AEXDE.CE=.5點睛：此題主要考查了切線的性質和相似三角形的判定與性質的應用，靈活判斷邊角之間的關系是解題關鍵，是中檔題.13.在eO中，AB為直徑，C為eO上一點.圖辭(I)如圖，過點C作eO的切線，與AB的延長線相交于點P,若CAB28,求P的大?。?n)如圖，D為弧AC的中點，連接OD交AC于點E,連接DC并延長，與AB的延長線相交于點P,若CAB12,求P的大小.【答案】(1)ZP=34°；(2)ZP=27。【解析】【分析】(1)首先連接OC,由OA=OC,即可求得/A的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得/POC的度數(shù)，繼而求得答案；(2)因為D為弧AC的中點，OD為半

41、徑，所以ODLAC,繼而求得答案.【詳解】(1)連接OC,.OA=OC,/A=/OCA=28；/POC=56°,.CP是。O的切線，/OCP=90°,/P=34°；(2)為弧AC的中點，OD為半徑， ODXAC, /CAB=12；/AOE=78；/DCA=39； /P=/DCA/CAB,/P=27:圖委【點睛】本題考查切線的性質以及等腰三角形的性質.注意準確作出輔助線是解此題的關鍵.14.3一.如圖，4ABC中，AC=BC=10,cosC=，點P是AC邊上一動點(不與點A、C重合)，5以PA長為半徑的OP與邊AB的另一個交點為D,過點D作DE，CB于點E.(1)當

42、。P與邊BC相切時，求OP的半徑.(2)連接BP交DE于點F,設AP的長為x,PF的長為y,求y關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍.(3)在(2)的條件下，當以PE長為直徑的OQ與。P相交于AC邊上的點G時，求相交所得的公共弦的長.【答案】(1)R40;(2)y5xVx28X80;(3)501075.93x20【解析】【分析】.3(1)設。P與邊BC相切的切點為H,圓的半徑為R,連接HP,則HP±BC,cosC=一，則54 HPR4sinC=,sinC=一,即可求斛；5 CP10R5EB(2)首先證明PD/BE,貝U-FPF42.5x收8x80y,即可求解;(3)證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=EP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=H,圓的半徑為R,4，5,即可求解.【詳解】(1)設。P與邊BC相切的切點為PD3一4連接HP,則HP±BC,cosC=-,則sinC=,55HPR440sinC=，斛仔.R,CP10R59.3(2)在4ABC中，AC=BC=10,cosC=-,5設AP=PD=x,/A=/ABC=3,過點B作BH,AC,則BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4J5,貝U:tan/CAB=2,BP="82+(x4)2=xx28x80，2.5.尸2.5DA=x,貝UBD=4V5-x,55如下圖所