中考數學直角三角形的邊角關系綜合練習題含答案

1、中考數學直角三角形的邊角關系綜合練習題含答案一、直角三角形的邊角關系1.如圖，在平行四邊形ABCD中，立平分上"川交口于點打，"F平分乙!而，交仞于點匕才召與"交于點P,連接叫，I叫（1）求證：四邊形是菱形；（2）若仰=此即叫乙=求tan“DP|的值.SEC【答案】（1）證明見解析止5【解析】試題分析：（1）根據AE平分/BAD、BF平分/ABC及平行四邊形的性質可得AF=AB=BE從而可知ABEF為平行四邊形，又鄰邊相等，可知為菱形（2）由菱形的性質可知AP的長及/PAF=60,過點P作PHI±AD于H,即可得到PH、DH的長，從而可求tan/ADP試

2、題解析：（1）.AE平分/BADBF平分/ABC/BAE=ZEAF/ABF=ZEBF1 .AD/BC/EAF=ZAEBZAFB=ZEBF/BAE=ZAEB/AFB=/ABF.AB=BEAB=AF.AF=AB=BE2 .AD/BCABEF為平行四邊形又AB=BE.ABEF為菱形（2）作PH，AD于H由/ABC=60而已（1）可知/PAF=60,PA=2,貝U有PH=g,AH=1,.DH=AD-AH=5.tan/ADP=考點：1、平行四邊形;2、菱形；3、直角三角形；4、三角函數3 .在正方形ABCD中，對角線AC,BD交于點。，點P在線段BC上（不含點B）,1一小，、一/BPE=/ACB,PE交

3、BO于點E,過點B作BF，P匕垂足為F,交AC于點G.2（1）當點P與點C重合時（如圖1）.求證：BO84POE;BF（2）通過觀祭、測量、猜想：=,并結合圖2證明你的猜想；PE一BF.（3）把正萬形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3）,若/ACB=4,求的PE值.（用含a的式子表示）ADJDA口圖1圖2圖3一BF1BF1【答案】（1）證明見解析（2）2匚1（3）更1tanPE2PE2【解析】解：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，P與C重合，.OB="OP",/BOC=ZBOG=90:.PFXBG,/PFB=90,°./GBO=901BGO,ZEPO=90Z

4、BGO.，/GBO=/EPO.ABOGAPOE(AAS).，c、BF1（2）-.證明如下：PE2如圖，過P作PM/AC交BG于M,交BO于N,/PNE=ZBOC=90°,/BPN=ZOCB. /OBC=ZOCB=4鞏/NBP=ZNPB.，NB=NP. /MBN=900/BMN,/NPE=9C0/BMN,./MBN=/NPE. .BMNAPEN(ASA).BM=PE.,1，一/, /BPE=/ACB,/BPN=/ACB,./BPF=/MPF.2 .PF±BM,/BFP土MFP=900.又PF=PFABPFAMPF(ASA)BF="MF",即BF=1BM2-

5、BF=-PE,2BF即PE(3)如圖，過P作PM/AC交BG于點M,交BO于點N,心1由(2)同理可得BF=-BM,/MBN=/EPN.2 ZBNM=ZPNE=9(°,.BMNspen.BMBNPEPN在RfBNP中，tan=型，里=tan，即觀=tanPNPEPEBF1二-tanPE2(1)由正方形的性質可由AAS證得BO84POE(2)過P作PM/AC交BG于M,交BO于N,通過ASA證明BMNPEN得到y(tǒng),一-八-rBF1BM=PE,通過ASA證明BPFMPF得到BF=MF,即可得出的結論.PE21(3)過P作PM/AC交BG于點M,交BO于點N,同(2)證得BF=-BM,2B

6、MBN,BN/MBN=/EPN,從而可證得BMNspen,由萬三方五和RtBNP中tan=而即BF1,可求得=一tanPE23.已知RtABC中，/ACB=90°,點D、E分別在BC、AC邊上，連結BE、AD交于點P,設AC=kBD,CD=kAEk為常數，試探究/APE的度數：(1)如圖1,若k=1,則/APE的度數為(2)如圖2,若k=J3,試問(1)中的結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出/APE的度數.B(3)如圖3,若k=J3,且D、E分別在CRCA的延長線上，(2)中的結論是否成立,請說明理由.P圖1【答案】(1)45°(2)(由見解析.【解析】(2)

7、先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,FAEAACD,再判斷出/EFB=90；即可得出結論；(3)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,ACDHEA,再判斷出/EFB=90；即可得出結論；詳解：(1)如圖1,過點A作AF/CB,過點B作BF/AD相交于進而判斷出進而判斷出F,連接EF,四邊形ADBF是平行四邊形,分析：(1)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,進而判斷出FA三ACD,得出EF=AD=BF再判斷出ZEFB=90；即可得出結論；1 .AC=BD,CD=AE2 .AF=AC.3 /FAC=/C=90；4

8、.FAEAACD,EF=AD=BF/FEA=ZADC.5 /ADC+-ZCAD=90,°6 /FEA+/CAD=90"EHD.1.AD/BF,/EFB=90.°.EF=BF/FBE=45,°/APE=45.°(2) (1)中結論不成立，理由如下：如圖2,過點A作AF/CB,過點B作BF/AD相交于F,連接EF,C ./FBE=ZAPE,/FAC4C=90四邊形ADBF是平行四邊形,BD=AF,BF=AD.AC=.3BD,CD=、.§AE,ACCDBDAEBD=AF,ACCD3AFAE /FAC叱C=90; .FAEAACD,ACADB

9、F AFEFEF /ADC+ZCAD=90,° /FEA+/CAD=90=ZEMD. .AD/BF,/EFB=90.在RtEFB中，tan/FBE=EFBF/FBE=30,°/APE=30,°(3) (2)中結論成立，如圖3,作EH/CD,DH/BE,EH,DH相交于H,連接AH,/APE=/ADH,/HEC=ZC=90；四邊形EBDH是平行四邊形,，BE=DH,EH=BD1 .ac=.,3bd,cd=、,3ae,ACCDBDAE3 /HEA=ZC=90；4 .ACDAHEAsADAHACV3,/ADC=ZHAEEH5 /CAD+/ADC=90,°6 /

10、HAE+ZCAD=90；/HAD=90:AH-在RtDAH中，tan/ADH=J3AD'/ADH=30；/APE=30,°點睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，構造全等三角形和相似三角形的判定和性質.4.在RtACB和4AEF中，ZACB=ZAEF=90°,若點P是BF的中點，連接PC,PE.特殊發(fā)現：如圖1,若點E、F分別落在邊AB,AC上，則結論：PC=PE成立(不要求證明).問題探究：把圖1中的4AEF繞點A順時針旋轉.(1)如圖2,若點E落在邊CA的延長線上，則上述結論是否成立？若成立，請

11、給予證明；若不成立，請說明理由；(2)如圖3,若點F落在邊AB上，則上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；AC(3)記土=k,當k為何值時，4CPE總是等邊三角形？(請直接寫出后的值，不必說)BC【答案】1PCPE成立2,PCPE成立3當k為W3時，VCPE總是等邊三3角形【解析】【分析】(1)過點P作PMLCE于點M,由EF，AE,BC±AC,得到EF/MP/CB,從而有EMFP一一口一-，再根據點P是BF的中點，可得EM=MC,MCPB(2)過點F作FD±AC于點D,過點P作PMLAC于點DAF0EAF,即可得出AD=AE;再證DAPEAP,據

12、此得到M,連接即可得出PC=PEPD,先證PD=PE最后根據/CBA=30；。最后根據處k,BCFD)±AC,BC±AC,PMAC,可得FD/BC/PM,再根據點P是BF的中點，推得PC=PD再根據PD=PE即可得到結論.可得/CEP=60,/CAB=60;由/ACB=90,求出(3)因為4CPE總是等邊三角形,AC=tan30求出當CPE總是等邊三角形時，k的值是BC多少即可.【詳解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：如圖2,過點P作PMLCE于點M,EF±AE,BC±AC,.EF/MP/CB,.EM=MC,又.PMCE,.1.PC=PE(2)PC=

13、PEI立，理由如下：如圖3,過點F作FD,AC于點D,過點P作PMLAC于點M,連接PD,/ZDAF=ZEAF,/FDA=ZFEA=90在DAF和EAF中,ZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA,AF=AF,.DAFAEAF(AA),.AD=AE,在ADAP和AEAP中， .AD=AE,ZDAP=ZEAP,AP=AP,ADAPAEAP(SA$,，PD=PE,.FD1AC,BC±AC,PM1AC, .FD/BC/PM,DMFP"MCPB' 點P是BF的中點，.DM=MC,又PMXAC,PC=PD,又.PD=PE，PC=PESJ(3)如圖4,CPE總是等邊三角形,ZCE

14、P=60,ZCAB=60, ZACB=90,ZCBA=90-ZACB=90-60=30,，當k為上時，ACPE總是等邊三角形.3c【點睛】考點：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題；5.全等三角形的判定與性質；6.平行線分線段成比例.5.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中/BAC=45°,/ACD=30°,點E為CD邊上的中點，連接AE,將4ADE沿AE所在直線翻折得到AD耳D'咬AC于F點.若AB=62cm.(1) AE的長為cm；(2)試在線段AC上確定一點P,使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值；(3)求點D&

15、#39;到BC的距離.C【答案】(1)4尸；(2)12cm；(3)Vcm.【解析】試題分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的長，進而求出CD的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進而得出答案：rj/BAC=45,°/B=90；.AB=BC=6cm,，AC=12cm.AC12ZACD=30,°ZDAC=90,°AC=12cm,a(cm).點E為CD邊上的中點，AE=DC=''"cm.(2)首先得出AADE為等邊三角形，進而求出點E,D'關于直線AC對稱，連接DD交AC于點P,根據軸對稱的性質，此時DP+EP值為最小，進而得出

16、答案.(3)連接CD,BD,過點。作D'吐BC于點G,進而得出ABDCBD(SSS,則/D'BG=45D'GB,進而利用勾股定理求出點D到BC邊的距離.試題解析：解：(1)A3.(2) .RtADC中，/ACD=30,/ADC=60,.E為CD邊上的中點，DE=AE4ADE為等邊三角形.WAADE沿AE所在直線翻折得AAD',E，AAD'的等邊三角形，/AED'=60/EAC=ZDAC-/EAD=30，/EFA=90,°即AC所在的直線垂直平分線段ED：點E,D關于直線AC對稱.如答圖1,連接DD交AC于點P,此日DP+E唯為最小，且D

17、P+EP=DD.ADE是等邊三角形，AD=AE=V?,DD'=2AD=2=12即DP+EP最小值為12cm.2、？（3）如答圖2,連接CD,BD,過點。作D'dBC于點G,.AC垂直平分線ED；.AE=AD,'CE=CD,',.AE=EC.AD'=CDV'=.AR=ncRfT=BDr在ABD和CBD中，AABDACBD（SSS,./D'BG=D'BC=45.D'G=GB設D'G長為xcm,則CG長為&V2-Xcm,在RtAGtDC中，由勾股定理得x=4十3），解得：恒=3"2-、0和=32+聲（不

18、合題意舍去）.點D到BC邊的距離為入N«"cm.4.等邊考點：1.翻折和單動點問題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質;三角形三角形的判定和性質；5.軸對稱的應用（最短線路問題）；6.全等三角形的判定和性質；7.方程思想的應用.6 .蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營門灘，南至七里河馬灘，是黃河上游的第一座大型現代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是31。，拉索AB的長為152米，主塔處橋面距地面7.9米（CD的長），試求出主塔BD的高.（結果精確到0.1米，參考數據：sin31°=0.52DOs31°=0.86tan31

19、76;=0.60【答案】主塔BD的高約為86.9米.【解析】【分析】根據直角三角形中由三角函數得出BC相應長度，再由BD=BC+CCM得出.【詳解】在RtAABC中,/ACB=90°,sinABCABBCABsinA152sin311520.5279.04.BDBCCD79.047.986.9486.9（米）答：主塔BD的高約為86.9米.【點睛】本題考察了直角三角形與三角函數的結合，熟悉掌握是解決本題的關鍵7 .如圖，AB為eO的直徑，C、D為eO上異于A、B的兩點，連接CD,過點C作CEDB,交CD的延長線于點E,垂足為點E,直徑AB與CE的延長線相交于點F.（1）連接AC、AD

20、,求證：DACACF180若ABD2BDC.求證：CF是eO的切線.3，八一當BD6,tanF一時，求CF的長.4【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；CF【解析】【分析】(1)根據圓周角定理證得/ADB=90,即ADLBD,由CHDB證彳導AD/CF,根據平行線的性質即可證得結論；(2)連接OC.先根據等邊對等角及三角形外角的性質得出/3=2/1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/DB,再由CHDB,得到OC，CF,根據切線的判定即可證明CF為。O的切線；由CF/AD,證出ZBAD=ZF,得出tanZBAD=tanZF=-BD-=3,求出AD=：BD=8,利OC3用勾股定理求得A

21、B=10,得出OB=OC=5,再由tanF=一=-,即可求出CF.CF4【詳解】解：(1)AB是eO的直徑，且D為eO上一點，ADB90,QCEDB,DEC90,CF/AD,DACACF180.(2)如圖，連接OC.QOAOC,12.Q312,3 21.Q42BDC,BDC1,4 21,5 3,OC/DB.QCEDB,OCCF.又QOC為eO的半徑，CF為eO的切線.由（1）知CF/AD,BAD3tanBADtanF,4BD3.AD4QBD64AD-BD8,3ABg8210，OB0c5.QOCCF,OCF90,tanFOCCF解得CF20本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識；本

22、題綜合性強，有一定難度，特別是(2)中，需要運用三角函數、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結果.8.在RtABC中，ZACB=90°,AB=J7,AC=2,過點B作直線m/AC,將ABC繞點C順時針旋轉得到B'尤A,B的對應點分別為A',B',)射線CA,CB分別交直線m于點p,Q.(1)如圖1,當P與A重合時，求/ACA'的度數；(2)如圖2,設A'國BC的交點為M,當M為A'的中點時，求線段PQ的長；(3)在旋轉過程中，當點P,Q分別在CA',CB'的延長線上時，i3t探究四邊形PA'B的面積是否存在最小

23、值.若存在，求出四邊形PA'B'的最小面積；若不存在，請說明理由.【答案】(1)60°；(2)PQ=7；(3)存在，S四邊形pabq=3J321【解析】【分析】(1)由旋轉可得：AC=A'C=2,進而得到BCJ3,依據/ABC=90。，可得cos/A'CB-BC-,即可得到ZA'CB=30°,/ACA=60-A'C2(2)根據M為A'B'的中點，即可得出/A=/A'CM,進而得到PBY3BC,依據tan/Q=tan/A叵,即可得到BQ=BC-2=2,進而得出PQ=PB+BQ-232小，而Sapcq1PQ

24、XBC2(3)依據S四邊形PABQ=SzPCQ-&A'C=SAPCQJ3,即可得到S四邊形PAB'Q最小，即SPCQ最PQ,利用幾何法即可得到Sapcq的最小值=3,即可得到結2論.【詳解】(1)由旋轉可得:AC=A'C=2./ACB=90；AB77,AC=2,BC瓜BC/ACB=90；mIIAC,./A'BC=90；.cos/ACBA'C,ZA'CB=30°,2./ACA=60；°(2) M為A'B'的中點，ZA'CM=ZMA'C,由旋轉可得:/MA'C=ZA,./A=/A&#

25、39;CM,.,.tanZPCB=tanZA,.PBBC/BQC=/BCF=/A,.tanZBQC=tanZA叵,.BQ=BC2,.1.PQ=PB+BQ(3) S四邊形PA'B'Q=SPCQ-SaA'CEf=S/PCQJ3,/.S四邊形PAB'Q最小，即Sapcq>小,-1SapcqPQ>BC2取PQ的中點G.-3PQ,2/PCQ=90:CG1一PQ,即PQ=2CG,當CG最小時，PQ最小,2CGLPQ,即CG與CB重合時，CG最小,CGninJ3,PQmin=2j3,S/PCQ的最小值=3,S四邊形【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性

26、質，解直角三角形以及直角三角形的性質的綜合運用，解題時注意：旋轉變換中，對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.pab'q=3百；9.如圖，建筑物"C上有一旗桿內笈，從與相距40m的口處觀測旗桿頂部力的仰角為|50”觀測旗桿底部R的仰角為45。，求旗桿收J?的高度.(參考數據：sin5Ofl=s0.77,cos5000.64,Lin50Q=1,19)A【答案】旗桿小目的高度約為|7.6m.【解析】【分析】BC在RtBDC中，根據tan/BDC卞7y求出BC,接著在RtADC中，根據I*UWC1AB-BCtanZADC=7T=

27、一行一即可求出AB的長度Ji-j/lr【詳解】SC解：.在RtBDC中，tan/BDC行=1,.BC=CD=40mAQAB+BC;在RtAADC中，tan/ADCf=CDCDtan50=力B+40°=11940.AB7.6m答：旗桿AB的高度約為7.6m.【點睛】此題主要考查了三角函數的應用10.如圖，AB為。的直徑，P是BA延長線上一點，CG是。的弦/PCA=/ABC,CG±AB,垂足為D(1)求證：PC是。的切線;(2)求證:PAPCADCD'3過點A作AE/PC交。于點E,交CD于點F,連接BE,若sin/P=一，CF=5,求BE5的長.PpoIs【答案】(1

28、)見解析；(2)BE=12.【解析】【分析】(1)連接OC,由PC切OO于點C,得到OCaPC,于是得到/PCA+/OCA=90，由AB為。的直徑，得到/ABC+/OAC=90,°由于OC=OA證得/OCA=/OAC,于是得到結論；(2)由AE/PC,得到/PCA=/CAF根據垂徑定理得到弧AC=MAG,于是得到/ACF=/ABC,由于/PCA=/ABC,推出/ACF=/CAF,根據等腰三角形的性質得到3CF=AF在RAFD中，AF=5,sinZFAD=-,求得FD=3,AD=4,CD=8,在RtOCD中，5設OC=r,根據勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82,解得r=10,得到

29、AB=2r=20,由于AB為.3BE3ABOO的直徑，得到/AEB=90，在RtABE中，由sin/EAD=-,得到=一,于是求得結論.【詳解】(1)證明：連接OC,PC切。O于點C,OCXPC,/PCO=90；ZPCA+ZOCA=90；.AB為。的直徑，/ACB=90,°ZABC+ZOAC=90；,.OC=OA,ZOCA=ZOAC,ZPCA=ZABC；(2)解：.AE/PC,ZPCA=ZCAF,.ABXCGJ,弧AC=MAG,/ACF=ZABC,ZPCA=ZABC,/ACF=ZCAF,.CF=AF.CF=5,.AF=5,AE/PC,/FAD=ZP,3.sinZFAD=,53在RtA

30、FD中，AF=5,sin/FAD-,5.FD=3,AD=4,，CD=8,在ROCD中，設OC=r,r2=(r-4)2+82,r=10,.AB=2r=20,.AB為。的直徑，/AEB=90在睚ABE中,3sinZEAD=,5BEAB.AB=20,.BE=12.【點睛】本題考查切線的性質，銳角三角函數，圓周角定理，等腰三角形的性質，解題關鍵是連接OC構造直角三角形.11.已知RtAABC/A=90：BC=10以BC為邊向下作矩形BCDE連AE交BC于F.(1)如圖3.，BF,一1,當AB=AC且sin/BEFh時，求的值;5CF(2)如圖12,當tan/ABC=時，過D作DHLAE于H,求EHEA的值;(3)如圖3,連AD交BC于G,當FG2BFCG時,求矩形BCDE的面積1【答案】（1）,；（2）80;（3）100.【解析】【分析】.一3FK3一過A作AK±BC于K,根據sin/BEF=得出,設FK=3a,AK=5a,可求得BF=a，故5AK5BF1，小,、一，口一人；（2）過A作AK,BC于K,延長AK交ED于G,則AG±ED,得AEGAAEHD,CF7利用相似三角形的性質即可求出；（3）延長AB、ED交于K,延長ACED交于