中考數(shù)學(xué)圓綜合題含答案

1、一.圓地概念集合形式地概念：1.圓可以看作是到定點(diǎn)地距離等于定長地點(diǎn)地集合；2 .圓地外部：可以看作是到定點(diǎn)地距離大于定長地點(diǎn)地集合；3 .圓地內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)地距離小于定長地點(diǎn)地集合軌跡形式地概念：1.圓：到定點(diǎn)地距離等于定長地點(diǎn)地軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑地圓；（補(bǔ)充）2.垂直平分線：到線段兩端距離相等地點(diǎn)地軌跡是這條線段地垂直平分線（也叫中垂線）3.角地平分線：到角兩邊距離相等地點(diǎn)地軌跡是這個角地平分線；4 .到直線地距離相等地點(diǎn)地軌跡是：平彳-5 .到兩條平行線距離相等地點(diǎn)地軌跡是:二.點(diǎn)與圓地位置關(guān)系1 .點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2 .點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3 .點(diǎn)在圓

2、外dr點(diǎn)A在圓外；亍于這條直線且到這條直線地距離等于定長地兩條直線；平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等地一條直線,無交點(diǎn);有一個交點(diǎn);3.直線與圓相交有兩個交點(diǎn);三.直線與圓地位置關(guān)系1 .直線與圓相離2 .直線與圓相切四.圓與圓地位置關(guān)系外離（圖1)無交點(diǎn)外切（圖有一個交點(diǎn)相交（圖3)有兩個交點(diǎn)內(nèi)切（圖4)有一個交點(diǎn)內(nèi)含（圖5)無交點(diǎn)五.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦地直徑平分弦且平分弦所對地弧推論1：(1)平分弦(不是直徑)地直徑垂直于弦，并且平分弦所對地兩條弧;(2)弦地垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對地兩條弧;(3)平分弦所對地一條弧地直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對地另一條弧以上

3、共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即:弧AC弧ADAB是直徑ABCDCEDE弧BC弧BD中任意2個條件推出其他3個結(jié)論.推論2:圓地兩條平行弦所夾地弧相等即：在。中，:AB/CD弧AC弧BD六.圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等地圓心角所對地弦相等，所對地弧定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中地1個相等，則可以推出其它地3個結(jié)論,即：AOBDOE；ABDE；OCOF;弧BA弧BD相等，弦心距相等.此七.圓周角定理1.圓周角定理：同弧所對地圓周角等于它所對地圓心地角地一半即：:AOB和ACB是弧AB所對地圓心角和圓周角AO

4、B2ACB2.圓周角定理地推論:即：在。推論2:即：在。同弧或等弧所對地圓周角相等；同圓或等圓中，相等地圓。中，:C.D都是所對地圓周角半圓或直徑所對地圓周角是直角；圓周角是直角所對地弧。中，:AB是直徑或C90C90AB是直徑推論3:若三角形一邊上地中線等于這邊地一半，那么這個三角形是直即：在4ABC中，OCOAOBABC是直角三角形或C90注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形地推論：在直角三角形中斜邊上半地逆定理.八.圓內(nèi)接四邊形圓地內(nèi)接四邊形定理：圓地內(nèi)接四邊形地對角互補(bǔ)即：在。中,四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形BAD180DAE，外角等于它地內(nèi)對角.D180周角所對地弧是等弧;O是半圓，所對地

5、弦是直徑.角三角形.地中線等于斜邊地一九.切線地性質(zhì)與判定定理(1)切線地判定定理：過半徑外端且垂直于半徑地直線是切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：:MNOA且MN過半徑OA外端MN是。O地切線(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)地半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線地直線必過切點(diǎn)推論2:過切點(diǎn)垂直于切線地直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理:即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個十.切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓地兩條切線，它們地切線長相等，這點(diǎn)和圓切線地夾角.即：:PA.PB是地兩條切線PAPBPO平分BPA心地連線平分兩條

6、H一.圓哥定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得地兩條線段地乘積相等即：在。中，弦AB.CD相交于點(diǎn)P,PAPBPCPD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦地一半是它分直徑所成地兩即：在。中，直徑ABCD,.CE2AEBEBA條線段地比例中項(xiàng)(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓地切線和割線，切線點(diǎn)地兩條線段長地比例中項(xiàng).即：在。O中，:PA是切線，PB是割線PA2PCPB長是這點(diǎn)到割線與圓交(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓地兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓地交點(diǎn)地兩條線段長地積相等(如上圖)即：在。中，:PB.PE是割線PCPBPDPE十二.兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心地連線垂直并且

7、平分這兩個圓地地公AO2O1共弦.B如圖：O1O2垂直平分AB.即：O1QO2相交于A.B兩點(diǎn)。2垂直平分AB十三.圓地公切線兩圓公切線長地計算公式：(1)公切線長：RtOQ2c中，AB2CO12JO1O22CO22;(2)外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和十四.圓內(nèi)正多邊形地計算(1)正三角形在O0中ABC是正三角形，有關(guān)計算在RtBOD中進(jìn)行:OD:BD:OB1:73:2；(2)正四邊形同理,四邊形地有關(guān)計算在RtOAE中進(jìn)行，0E:AE:OA1:1:J2:(3)正六邊形同理,六邊形地有關(guān)計算在RtOAB中進(jìn)行，AB:OB:OA1:赤：2.卜五.扇形.圓柱和圓錐地相

8、關(guān)計算公式nR1.扇形：(1)弧長公式：l;180nR2(2)扇形面積公式：SnR36011R2n:圓心角R:扇形多對應(yīng)地圓地半徑l：扇形弧長S:扇形面積2012數(shù)學(xué)中考圓綜合題1.如圖QABC中，以BC為直徑地圓交AB于點(diǎn)D,/ACD=/ABC.(1)求證：CA是圓地切線；(2)若點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，已知BE=6,tan/ABC=2,tan/AEO5,求圓地直徑.,（1）vB匚是直桂.：*ZBIX?-90'.ZABC4-ZDC£J=9QCA熟劇的切縫，在R心AEC中心叱AEC=i+ac=T，皿=/八694廣7J在KiAABC中uanZXBC-彳*二而=f*BCACtVBC-E

9、C-8工AC-1-AC-&,事.凡即就的亶拴為10.2如圖，已知AB是。地弦,OB=2,ZB=30°,C是弦AB上地任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，連接CO并延長CO交于。于點(diǎn)D,連接AD.弦長AB等于(結(jié)果保留根號)；(2)當(dāng)/D=20°時，求/BOD地度數(shù)；(3)當(dāng)AC地長度為多少時，以為頂點(diǎn)地三角形與以為頂點(diǎn)地三角形相似請寫出解答過程.(2J耕廿一工;丁酩口是HOC的外幣.廣召。是&的外笆,:.產(chǎn)If0口卜上!iCC,/EFO/Q/口.二/3口DZB+ZJ+ZDh又,：上HUA?"J止30。2口=20.*"/=/小/4+"=/#5

10、認(rèn)4t=5K工/500=2=1中產(chǎn).肆法二如用.連結(jié)G.'：QAOB,OAGD.AZmO-ZB.ZDAO-D二/氏/期口.乂Y=a二3U'/AMA5出=5U。C3;V/BCO且十2D,ZBC0-A.二要使arwc1與u&Otr相似，只馳J£XX=上£CV>9O此碼ZROD-I20：.ZDAC./Lumsc*:上BCO-W,卻"_L/甘.*ACi.4Z?52FT3.如圖右，已知直線PA交。0于兩點(diǎn)，AE是。0地直徑.點(diǎn)C為。0上一點(diǎn)，且AC平分/PAE過C作CD,PA,垂足為D.(1)求證：CD為。0地切線；(2)若DC+DA=6,O0

11、地直徑為10,求AB地長度."1 .(1)證明：連接OC,八巳點(diǎn)C在O0±,0A=OC,.,./OCA=/OAC,.,CD±PA,/.ZCDA=90°,At有/CAD+ZDCA=90°,AC平分/PAE/./DAC=ZCAO./DC0=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZCAO=ZDCA+ZDAC=90°.尸入、,又點(diǎn)C在。上,OC為。0地半徑，CD為。0地切線.(2)解：過0作0F±AB,垂足為F,.ZOCA=ZCDA=ZOFD=90°,/，四邊形OCDF為矩形，.0C=FD,OF=CD.DC+DA=6設(shè)AD=x，則

12、OF=CD=6-x,OO地直徑為10,，DF=OC=5JAF=5-x,在RAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5x)2(6x)225,化簡彳導(dǎo):x211x180解得x2或x9.由AD<DF知0x5,故x2.從而AD=2,AF=5-2=3./OF±AB,由垂徑定理知，F(xiàn)為AB地中點(diǎn)，.AB=2AF=6.4.（已知四邊形ABCD是邊長為4地正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓,P是半圓上地動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接（1）如圖，當(dāng)PA地長度等于日PAB=60°當(dāng)PA地長度等于時,PAD是等腰三角形；（2）如圖，以AB邊所在直線為x軸.AD邊所在直線為y軸,建立如

13、圖所示地直角坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O），把PAD4PABAPBC地面積分別記為坐標(biāo)為（a,b）,試求2&S3S22地最大值，并求出此時a,b地值.27.蜂一I）2；）近或6.3虬過力P分別作?百。/以PFJJP.垂足分別為從*.延長戶產(chǎn)交段;于點(diǎn)3則PG_L佻二丁產(chǎn)點(diǎn)坐機(jī)為Q，芭=氏PF-&PG4-g在八川ZK及尸欣中.&-Kr-笈?”558一為直程*.*./衛(wèi).，瞪-曲的即b-一切-LfMW吁止=-4t?J+l&r=-Aj-2/+16.一當(dāng)”2時,&=2,方島一$廣有最大值16.如留，聲B是半圓。的直徑.AB=2射線期、曲V為半圃U的切線.在兒肘上取一點(diǎn)

14、以連接血交羋圓于點(diǎn)C,連接AC過。點(diǎn)作BC的垂線0E,垂足為點(diǎn)M與BN相交于點(diǎn)£過門點(diǎn)作羋圓。的切線。巴切點(diǎn)為已與6川相寓于點(diǎn)Q.(I)求證:A4BC'-A0FB；.N4(2)當(dāng)A4RD與ABF。的面租相等時，求BQ的長彳(3)求證；當(dāng)Q在川上移動時。點(diǎn)除外)，點(diǎn)Q始終是線段8F的中點(diǎn).(i)證明一，人打?yàn)橹睆?二AACB90epaclrc.又比工BC*QE/HC,二LMC=丁RN是半圓的切線，故，B以=人=/,臬cbor札-m分(2)尸得，rOF/l=LDBA,士nw=，。酢=劍*二WDAHF。.當(dāng)也知。與KW。的面積相等時，&ABDg&BFO.上AD=L又

15、J/>PQ是半圓。的切繾.，。產(chǎn)=1且OP,DP,二W/和5.二RQ=AD«1.(3)由(2)知，&ABD5&HFO,.竺=竺,哈2一OBMTAD-是半圓0的切線,二g=?？譗B=B。，過Q點(diǎn)作乂M的垂線QK.垂足為心在直角三倦形收尤中,宗二。必*加匕,M+致尸.-世尸可/.BQ=七，,為BF的中點(diǎn)*II分6.(11金華)如圖，射線PG平分/EPFO為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作。O,分別與/EPF地兩邊相交于和1連ZOA,此時有OA2(1) PG平分/EPF,./DPO=ZBPO,1OH1220A-xxxAHOH2PH2_2_2OA(2x10)（，

16、小篁清分十分¥（口上明二連詰fXV，-1I分MT是J對口其-：_切!r*OJ_二/$內(nèi)口一<>DM-90又7ZMNP-/門麗,小兩心-zomt*/.zr）Mr-上皿jpnh.，*:史.性令藝引爺設(shè)ticom于k；m二1",。I-onk；nn-2.=:o-3,工Ttj.5,"?r-'!'io4->RB>>>>>>>P-bi-»Bib”!，r§分»；Mpqih，r二(IhfEiKF=Fif.7分7NJAJ+Z*S>P=在RtA(*jp中/”仆一WMUF=9Q

17、'-ZfcfFO.X7ZTJFO-上-90：.JdlM戶S.R電11.：I黑?寫(T、分1)1時得|一"RE"-TJrf?C-,*+I+1T*aB-JiraH4e+da-tfiBeHir-il-S-eI-r+-84+*4J分O20J（證明：連結(jié)DO,.,AD2=AB-AE,ZBAD=/DAE/.BAgADAE,./ADB=/E.又:/ADB=/ACBJ/AC/E,BC/DE,又;0D±BCJODDE故DE是。0地切線)9.（義烏市）如圖，以線段AB為直徑地。O交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M是Ae地中點(diǎn)，OM交AC于點(diǎn)D,BOE60,cosC1,BC2百.2(1)求

18、A地度數(shù)；(2)求證：BC是。O地切線；(3)求Md地長度.(解:(1)./BOE=60°.ZA=1/BOE=3021(2)在ABC中cosC一./C=60°1分又./A=30°./ABC=90°ABBC2分.BC是。O地切線10.解:（3）二點(diǎn)M是Ae地中點(diǎn).OMXAE在RtAABC中BC2廄.AB=BCgtan60273336一AR133OA=-3OD=-OAMD=-)2222（蘭州市）（本題滿分10分）如圖，已知AB是。地直徑，點(diǎn)C在。上，過點(diǎn)C地直線與AB地延長線交于點(diǎn)P,AC=PC,/COB=2ZPCB.(1)(3)(1)求證：PC是。地切線;

19、1(2)求證：BC=2AB;點(diǎn)M是弧AB地中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,若AB=4,求MN-MC地值.OA=OCJ/A=ZACO.AB是。地直徑.OC是。O地半徑(2)PC=AC/A=ZP/C0B=2ZA，/C0B=2ZPCB/A=ZACO=ZPCB/ACO+ZOCB=90°PC是。O地切線./PCB-+ZOCB=90°，即OCXCP/A=ZACO=ZPCB=ZP /COB=ZA+ZACO,/CBO=ZP+ZPCB/CBO=ZCOB1BC=OCBC=2AB連接MA,MB 點(diǎn)M是弧AB地中點(diǎn).,弧AM=MBMACM=ZBCMACM=ZABM/BCM=ZABM ./BMC=/BMN.

20、MBNAMCBBMMN.MCBMBM2=MC-MNAB是OO地直徑，弧AM=MBMAB=4.1.BM=2.2MC-MN=BM2=8，/AMB=90°,AM=BM（本題滿分14分）自BPM第26題圖0卜:如圖（1）,兩半徑為r地等圓eO1和eO2相交于M,N兩點(diǎn)，且eO2過點(diǎn)Q.過M301和3。2于人，B兩點(diǎn)，連結(jié)NA,NB.(1)猜想點(diǎn)O2與eO1有什么位置關(guān)系，并給出證明;(2)(3)且點(diǎn)猜想ANAB地形狀，并給出證明；如圖（2）,若過M地點(diǎn)所在地直線AB不垂直于A,B在點(diǎn)M地兩側(cè)，那么（2）中地結(jié)論是否成立MN,，若成立請給出證明.點(diǎn)作直線AB垂直于MN，分別交4.(1)02在e

21、O1上證明：QeO2過點(diǎn)O1,O1O2r.又QeO1地半徑也是r,點(diǎn)O2在eO1上.（2）zNAB是等邊三角形證明：QMNAB,NMBNMA900.BN是e。2地直徑，AN是e。1地直徑，即BNAN2r,。2在BN上,。1在AN上.連ZO1O2，則O1O2是NAB地中位線.AB2O1O22r.ABBNAN，則NAB是等邊三角形.（3）仍然成立.證明：由（2）得在eO1中Mn所對地圓周角為60°.在eO2中MN所對地圓周角為60°.當(dāng)點(diǎn)A,B在點(diǎn)M地兩側(cè)時，在eOi中Mn所對地圓周角MAN60°，在e。2中Mn所對地圓周角MBN600,NAB是等邊三角形.12.如圖

22、12,已知：邊長為1地圓內(nèi)接正方形ABCD中，P為邊CD地中點(diǎn)，直線AP交圓于E點(diǎn).(1)求弦DE地長.(2)若Q是線段BC上一動點(diǎn)，當(dāng)BQ長為何值時，三角形ADP與以Q,C,P為頂點(diǎn)地三角形相似.1)如圖1.過D點(diǎn)作DFAE于F點(diǎn).在RtAADP中,AP-AD2DP2又QSaadp；ADgDP；APgDF(2)如圖2.當(dāng)RtzADPsRtzXQCP時有ADDP得：QC1.即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合,qcCPBQ0如圖3,當(dāng)RtADPsRtzXPCQ時，有ad_PD得qc1,即BQBCCQ-PCQC當(dāng)BQ0或BQ3時,三角形ADP與以點(diǎn)Q,C,P為頂點(diǎn)地三角形相似.413.（本小題滿分10分）如圖，。是

23、RtABC地外接圓,AB為直徑，ABC=30；CD是。地切線,ED±AB于F,31.判斷4DCE地形狀；(2)設(shè)。地半徑為1,且OF="2，求證DC/OCB.6.解：(1)ZABC=30,-6BAC=60°.又OA=OC,.4AOC是正三角形.又二CD是切線,.ZOCD=90°,.ZDCE=180°-60-90=30°.而ED±AB于F,，/CED=90°-/BAC=30°.故4CDE為等腰三角形.(2)證明：在4ABC中，AB=2,AC=AO=1,，BC=t2不=熱.OF=遍1,.AF=AO+OF=*3

24、1.2 2又/AEF=30°,.AE=2AF=翼+1.CE=AE-AC=J3=BC.而/OCB=/ACE-ZACC=90-60=30°=/ABCJACD昌COB14（08湖北襄樊24題）8.（本小題滿分10分）如圖(1)(2)(3)14,直線AB經(jīng)過eO上地點(diǎn)C,并且OAOB,CACB,eO交直線OB求證：直線AB是eO地切線；試猜想BC,BD,BE三者之間地等量關(guān)系，并加以證明；41若tanCED,eO地半徑為3,求OA地長.(1)2證明：如圖3,連接OC.QOAOB,CACB,OCAB.AB是eO地切線.(2)BC2BDgBE.QED是直徑,ECD90°.EE

25、DCBCDOCD90o,OCDODC,BCDCBDEBC,BCDBECBCBD(3)QtanCEDCD1EC2BEBCQABCDABEC,設(shè)BDx,則BC又BC2BDgBE,(2x)2xc(x于E,D,連接EC,CD.90°.2BCBDgBE.BDBC6).CD1EC2OAOBBDOD325.解之得x10,x22.QBDx0,BD2.15如圖14,直線AB經(jīng)過eO上地點(diǎn)c,并且OAOB,CACB,eO交直線OB于E,D,連接EC,CD.(1)(2)求證：直線AB是eO地切線;試猜想(3)若tanBC,BD,BE三者之間地等量關(guān)系，并加以證明;1CED,eO地半徑為3,求OA地長.4解

26、：(1)2證明：如圖3,連接OC.QOAOB,CACB,OCAB.(2)BC2BDgBE.QED是直徑,ECD900.EEDC900.(3)BCDCBDQtanOCDEBC,CED設(shè)BDx,則BC解之得為0,x290o,OCDODC,BCDBCDsBEC.毀-BDBEBCCD1CD1,QABCDABEC,EC2又BC2BDgBE,2.QBDx0,BD5。地半徑OD經(jīng)過弦AB(不是直徑)地中點(diǎn)(2x)2xgxBC2BDgBE.BDBC6).CD1EC22.OAOBBDOD325.C,過AB地延長線上一點(diǎn)P作。地切線PE,E為切點(diǎn)，PE/OQ延長直徑AG交PE于點(diǎn)H;直線DG交OE于點(diǎn)F,交PE于

27、點(diǎn)K.(1)求證：四邊形OCPE是矩形；(2)求證：HK=HG;(3)若EF=2,FO=1,求KE地長.5解：(1).AC=BQAB不是直徑，OD，AB,ZPCO=90(1分).PE/OD,./P=90；.PE是切線，/PEO=90；(2分)四邊形OCP弱矩形.(3分)(2) ;OG=OD,/./OGD=/ODG./PE/OD,z./K=/ODG(4分)/OGD=/HGK.1-/K=/HGK,.1.HK=HG.(5分)(3)EF=2,OF=1,.-.EO=DO=3.(6分)PE/OD,/KEO=/DOE/K=/ODG.OFgEFK(7分)，EF：OF=KE：OD=2：1,，KE=6.(8分)A

28、6如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)O(0,0)A(2,0)，點(diǎn)B在第一象限且OAB為正三角形,OAB地外接圓交y軸地正半軸于點(diǎn)C過點(diǎn)C地圓地切線交X軸于點(diǎn)D.(1)求B,C兩點(diǎn)地坐標(biāo)；(2)求直線CD地函數(shù)解析式；(3)設(shè)試探究：E,F分別是線段AB,AD上地兩個動點(diǎn)，且EF平分四邊形ABCD地周長.AEF地最大面積6(1)QA(2,0),OA2.作BGOA于G,QzOAB為正三角形，OG1,BG百.B(1,73).連AC,QAOC90o,ACOABO60o,（第6題）2.33設(shè)AEt,AEF地面積為S，則AF313t,S1AFgAEsin60o-3t3QSt3Vt章當(dāng)t時,Smax立t.37.3

29、3128Q點(diǎn)E,F分別在線段AB,AD上,0<21百CVQ點(diǎn)2,解得丁(t<2.003t02-3339.313.Qt滿足&t<2,AEF地取大面積為6373127如圖（18）,在平面直角坐標(biāo)系中,ABC地邊AB在x軸上，且OAOB,以AB為直徑地圓過點(diǎn)C.若點(diǎn)C地坐標(biāo)為（0,2）,AB5,兩點(diǎn)地木K坐標(biāo)xA,xB是關(guān)于x地方程x2（m2）xn10地兩根.(1)(2)(3)求m.n地值；若ACB平分線所在地直線l交x軸于點(diǎn)D,試求直線l對應(yīng)地一次函數(shù)解析式;1過點(diǎn)D任作一直線l分別交射線CA.CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M.N.則，CM，求出該定值；若不是，請說明理由.7解:（1）Q以AB為直徑地圓過點(diǎn)C,ACB90O，而點(diǎn)C地坐標(biāo)為（0,2）,由COAB易知AOCscob,2COAOgB