人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)平行四邊形講義第10講中位線及矩形

1、第10講中位線、矩形第一部分知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：三角形中位線三角形的中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊螞做三角形的中位線.三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.知識(shí)點(diǎn)二：基本概念1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、基本性質(zhì)：(1)角：矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角；(2)邊：矩形的對(duì)邊平行且相等；(3)對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等且互相平分；(4)對(duì)稱性：矩形是軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；(5)面積：S=lo知識(shí)點(diǎn)三：矩形的判定方法(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；(4)對(duì)角

2、線相等且互相平分的是矩形。知識(shí)點(diǎn)四：直角三角形中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。第二部分考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、中位線例1、如圖，D,E,F分別為4ABC三邊的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為:例2、如圖，在DABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，。已3cm,則AD的長是cm.例3、如圖，已知四邊形ABCLfr,R吩別是BGCD的點(diǎn)，E、吩別是AP、RP勺中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)PftCDk從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是()A、線段EF勺長逐漸增大C、線段EF勺長不變B、線段EF勺長逐漸減小D、線段EF勺長與點(diǎn)P（例1）（例2）（例3）例4、如圖，四邊形ABCD中，一組

3、對(duì)邊AB=DC=4另一組對(duì)邊AABC對(duì)角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BGBD的中點(diǎn)，且/ABD=30求：（1）MH的長；（2）MN的長。例5、已知：如圖，E為DABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE=DC,連結(jié)AE分別交BGBD于點(diǎn)F、G,連結(jié)AC交BD于O,連結(jié)OF.求證：AB=2OF.舉一反三：1、如圖，已知4ABC的周長為1,連結(jié)4ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連結(jié)第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類推，第2019個(gè)三角形的周長為02、如圖所示，在4ABC中，AC=6cm,BC=8cm1AB=10cm,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn)，求DEF的

4、面積.3、如圖：已知D、EF分別是4ABC各邊的中點(diǎn)，求證：AE與DF互相平分.4、如圖所示，已知在DABCD中，E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，求證：MN/BC.5、如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是ARCDAC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上.求證：EF和GH互相平分.6、如圖所示，在ABCD中，EF/AB且交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,連接AE,BF?交于點(diǎn)1M,連接CF,DE父于點(diǎn)N,求證：MN/AD且MN=AD.2考點(diǎn)2、矩形的性質(zhì)例1、若順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形是矩形，那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線（）A、互相垂直B、相等G互相平分D、互相垂直且相

5、等例2、如圖所示，O為矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，DF平分/ADC交AC于E,BC于F,/BDF=15,WJ/COF=例3、如圖，矩形ABiCQi的面積為4,順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊形A2B2C。2,再順次連結(jié)四邊形A2BCQ2四邊中點(diǎn)得到四邊形A3B3cp3,依此類推，求四邊形AnBnCnDn的面積是（例2）（例3）例4、如圖，已知矩形ABCD,一條直線將該矩形ABCD分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為M和N,則M+N不可能是（）A.3600B.5400C.720D.6300例5、如圖，ABCD是矩形紙片，翻折/B、/D,使BC、AD恰好落在AC上。設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的

6、兩點(diǎn)，E、G分別是折痕CEAG與AB、CD的交點(diǎn)。（1）求證：四邊形AECG是平行四邊形；（2）若AB=4cm,BO3cm,求線段EF的長舉一反三：1、如圖，矩形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，且AE平分/BAC若BE=4,AC=15,WJAEC面積為（）A、15B、30C、45D、602、矩形的兩邊長分別為10cm和15cm,其中一個(gè)內(nèi)角平分線分長邊為兩部分，這兩部分分別為（）A、6cm和9cmB、5cm和10cmC4cm和11cmD、7cm和8cm3、矩形ABCD的兩對(duì)角線AC與BD相交于。點(diǎn)，/AOB=2ZBOC若對(duì)角線AC的長為18cm,則AD=cm。4、如圖，四邊形ABCD是矩形，4PBC

7、和4QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi).求證：（1）/PBA=ZPCQ=30;（2）PA=PQ考點(diǎn)3、矩形判定例1、已知：如圖，在4ABC中，/BAC=90,DE、DF是4ABC的中位線，連接ERAD,求證：EF=AD例2、設(shè)凸四邊形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)滿足條件：每一點(diǎn)到其他3點(diǎn)的距離之和都要相等.試判斷這個(gè)四邊形是什么四邊形？例3、如圖，在4ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF.(1)試判斷線段BD與CD的大小關(guān)系；(2)如果AB=AC試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論；例4、如圖，DABCD中

8、，AE、BF、CGDH分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、GH為它們的交點(diǎn)，求證：四邊形EFGH的矩形。例5、如圖，在RtzXABC中，/C=90,E、。是邊AC,AB上的中點(diǎn)，BF/AC,連接EO交BE于F.(1)求證：AOEzXBOF;(2)求證：四邊形BCEF是矩形.舉一反三：1、在四邊形ABCD中，AD/BC,/B=/C,要使四邊形ABCD為矩形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以2、已知：如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E,F,G,H,求證：四邊形EFGH矩形。3、如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm)BC=4cm動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從

9、點(diǎn)C開始沿CD邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,(1)當(dāng)t=1秒時(shí),四邊形APQD的面積是多少？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQD是矩形？4、如圖，在4ABC中，AB=AC,D為BC中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形.求證：四邊形ADCE是矩形5、在DABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE.(1)求證：/XBECDFA;(2)連接AC,當(dāng)CA=CB時(shí)，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.考點(diǎn)4:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半第4頁例1、如圖，BE和AD是4ABC

10、的高，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則圖中的三角形一定是等腰三角形的有()A2個(gè)B、3個(gè)G4個(gè)D、5個(gè)例2、如圖所示，BD、CE是三角形ABC的兩條高，M、F分別是BCDE的中點(diǎn)。求證：MNXDE例3、過貨!形ABCD對(duì)對(duì)角線AC的中點(diǎn)。作EFAC分別交AB、DC于E、F,點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，若/AOG=30_1一求證：OG=DC3例4、如圖，四邊形ABCD中，/DAB=/DCB=9。，點(diǎn)M、N分別是BDAC的中點(diǎn)。MN、AC的位置關(guān)系如何？證明你的猜想。例5、如圖，已知：4ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BEDGCEG是垂足.求證：(1)G是CE的中點(diǎn)；(2)/B=2/BCE舉一反三：1、在ABC中，

11、/ACB=90:CE是AB邊上的中線，那么與CE相等的線段有,與/A相等的角有,若/A=35,那么/ECB=2、如圖，在RtAABC中，/ACB=90,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE，AC,垂足為E,若BC=4CD=2J5,貝UBE的長為()A、2.5B、3.5C、2、2D、423、如圖，M是RtAABC斜邊AB上的中點(diǎn)，D是邊BC延長線上一點(diǎn)，/B=2/D,AB=16cm,求線段CD的長.4、如圖，在RtAABC中，CD是斜邊上的中線，CE是高.已知AB=10cm,DE=2.5cm(1)求：/BDC的度數(shù)；(2)求4BCD的面積.5、如圖所示；過矩形ABCD的頂點(diǎn)A作一直線，交BC的延長線于點(diǎn)E

12、,F是AE的中點(diǎn),連接FGFD=求證：/FDA=/FCB第三部分課堂小測(cè)1、矩形具有而一般的平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A、對(duì)角相等B、對(duì)角線相等G對(duì)邊相等D、對(duì)角線互相平分2、如圖，ABC中，/C=90,D在CB上，E為AB之中點(diǎn)，AD、CE相交于F,且AD=DB.若/B=20,則/DFE=()A40B、50G60D、703、如圖，AABC中，AB=AC=10BC=8AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE,則ACDE的周長為()A、20B12G14D、134、在矩形ABCD中，對(duì)角線交于。點(diǎn)，AB=0.6,BC=0.8，那么4AOB的面積為;周長為.5、已知，矩形的一條邊上

13、的中點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且該矩形的周長為24cm,則矩形的面積為cm2。6、如圖所示，在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH平行四邊形嗎？為什么？7、如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊使點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，B。交AD于E,AD=8,AB=4,BE=5求ABED的面積。8、如圖所示，A,B兩點(diǎn)被池塘隔開，在A,B外選一點(diǎn)C,連接AC和BC,?并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M,N,如果測(cè)得MN=20m,那么A,B兩點(diǎn)間的距離是多少？9、如圖,ADBC,AB=DC乙BDC=ZBAC=90,BC=2AD=4CM,用BC中點(diǎn)問：(1)求4ADE周長

14、(2) 4ADE是什么三角形砒明理由.(3)線段AC與DE有什么關(guān)系？10、如圖在4ABC中，D、E分別為ARAC上的點(diǎn)，且BD=CEM、N分別是BE、CD的中點(diǎn).過MN的直線交AB于P,交AC于Q,線段AP、AQ相等嗎？為什么？第四部分提而既1、如圖所示，在CABCD中,AB=2AD,/A=60,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn)，EF=1cm那么對(duì)角線BD的長度是多少？你是怎樣得到的？2、如圖所示，在4ABC中，E為AB的中點(diǎn)，CD平分/ACBADLCD于點(diǎn)D.?1試說明：(1)DE/BC;(2)DE=1(BC-A。.23、如圖，ZXABC中，/B=2/C,AD為BC邊上的高，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn).

15、1求證：DE=AB.24、(1)如圖1,四邊形ABCD是矩形，E為AD上一點(diǎn)，且BE=EDP為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PF，BE于點(diǎn)F,PG，AD于點(diǎn)G.判斷PF、PG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由.(2)如圖2,當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?，其他條件不變，若/ABC=60,判斷PRPG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由.(3)如圖3,當(dāng)四邊形ABCD商足/ABD=90,AB=3,BD=4,其它條件不變，判斷PRPG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由.第五部分課后訴1、如果矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角為40那么兩條對(duì)角線所夾銳角的度數(shù)為2、矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AE_LBD于E,若OE：ED=1：

16、3AE=J3,MBD=.3、如圖，在ABC中，/ABC=90,AB=8,BC=6若DE是4ABC的中位線，延長DE交ABC的外角/ACM的平分線于點(diǎn)F,則線段DF的長為()A、7B、8C、9D、104、如圖，已知OP平分/AOB,/AOB=60,CP=ZCP/OA,PDOA于點(diǎn)D,PEIOB于點(diǎn)E.如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，則DM的長是()A、2B、2C3D、2-3(3) (4)5、已知AD是三角形ABC的中線，E是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的延長線與AC的交點(diǎn)。求證:AF=-FC26、如圖，在等腰直角4ABC中，AB=BC，點(diǎn)E在AB上，DEAC,DE交AC于點(diǎn)D,M是EC的中點(diǎn)，求證：(1)ZXMBD

17、是等腰三角形；(2)將4DEA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AB上，如圖(2)中的AMBD為等腰直角三角形”仍然成立嗎？請(qǐng)說明理由.7、在等邊4ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊4ADE(1)求/CAE的度數(shù)；(2)取AB邊的中點(diǎn)F,連接CF、CE,試證明四邊形AFCE矩形.8、如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,延長OA至UN,ON=OB,再延長OC至M,使CM=AN,求證：四邊形NDMB為矩形.9、如圖所示，ABC中，點(diǎn)。是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN/BC,設(shè)MN交/BCA的平分線于E,交/BCA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：EO=FO(2)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)

18、動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF矩形？并證明你的結(jié)論.第10講中位線、矩形參考答案第二部分考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、中位線例1、3例2、6例3、C例4、/BDC=9(T，VHQMN*HQ平分WMHN，NQ=QM.CfHG.MHQ=6由勾股定理：小木=”0山尺例5、舉一反三:1、220164、5、6、考點(diǎn)2、矩形的性質(zhì)例1、例2、750例3、例4、例5、舉一反三:1、B2、B3、94、考點(diǎn)3、矩形判定例1、證明：:DE,DF是4ABC的中位線，DE/AB,DF/AC,四邊形AEDF是平行四邊形，又./BAC=90,平行四邊形AEDF是矩形，EF=AD例2、例3、例4、例5、5、考點(diǎn)4:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半例1、D例2、例3、例4、例5、舉一反三：7、8、AB=40m9、10、第四部分提高曬1、解：連接DE.四邊形ABCD是平行四邊形，.AB/CD.1- 1,.DF=-CD,AE=-AB,22.DF/AE.一四邊形ADFE是平行四邊形.EF=AD=1cm,.AB=2AD,aAB=2cm.,.AB=2AD,.AB=2AE.AD=AE/1=/4. ./A=60,/1+/4+/A=180, ./1=/A=/4=60.ADE是等邊三角形，.二DE=AE AE=BE.DE=BE./2=/3. /1=/2+/3,/1=60,./2=/3=30. ./ADB=/3