利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的題型分析

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例：求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.32(1) y = 2x - 3x(2)f(x) = 3x - 2ln x.解：(1)由題意得y'= 6x? 3.令 y'= 6x2 3>0，解得 xv 或 x>#，當(dāng) x ( 8,時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)+ 8 )時，函數(shù)也為增函數(shù).2令 y'= 6x 3v 0,解得-2 v xv#,當(dāng)x ( #,三2)時，函數(shù)為減函數(shù).故函數(shù)的遞增區(qū)間為(8,和(¥, +8)，遞減區(qū)間為(一, ¥).(2)函數(shù)的定義域為I, 2f(x) = 6x = 2 x(0

2、,+8 ),3x2 1令 f' (x) v 0，即X23x 1x3x2 1令 f'(X)>0，即2 > 0.且x>0,可解得x>¥；3v 0,由 x> 0 得，0v xv申,x3(彳,+8 )，減區(qū)間為(0, ¥).規(guī)律總結(jié)：i在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義 域內(nèi)討論，定義域為實數(shù)集R可以省略不寫.2. 當(dāng)求得的單調(diào)區(qū)間不止一個時，單調(diào)區(qū)間要用“，或“和'字等隔開，不要用符號“U連接，如(1)題中的增區(qū)間.變式訓(xùn)練：求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) 求函數(shù)f (x) = 2x3

3、9x2 + 12x 3的單調(diào)區(qū)間； 求函數(shù)y= x3 2x2 + x的單調(diào)區(qū)間.【解】(1)此函數(shù)的定義域為 R,2f ' (x) = 6x 18x+ 12= 6(x 1)( x 2).令 6(x 1)( x 2) v0，解得 1v xv 2,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2).令 6(x 1)( x 2) >0，解得 x>2 或 xv 1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2 , +8 ) , ( 8, 1).(2) 此函數(shù)的定義域為 R. 2y'= 3x 4x+ 1,2 1 令 3x 4x+ 1 >0，解得 x> 1 或 xv 3.31 因此

4、y= x3 2x2 + x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1 , +8 ), (8,-).3再令 3x2 4x+ 1v 0,解得 x v 1.3因此y= x3 2x當(dāng) x>1 時，0'(x) = 1 ->0, 0 (x)是增函數(shù), x + x的單調(diào)遞減區(qū)間為(3，1)-例：討論函數(shù)f(x) = $( 1 vxv 1, W 0)的單調(diào)性.x 1【思路探究】(1)函數(shù)的定義域是怎樣的？函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？(2)假設(shè)先討論x (0,1)上的單調(diào)性，能否判斷 f' (x)在(0,1)上的正負(fù)？ b的取值對其有影響嗎？解：因f(x)的定義域為(一1,1)；函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，只需討論

5、函數(shù)在(0,1)上的單調(diào)性. f'(X)=b(x21)r22-(x 1)(x2 1)(x2 1)2b x b0)的定義域為x| x豐0， y '= 1 一2=-2-x x當(dāng) Ovxv 1 時，x + 1 >0, (x 1) >0, 當(dāng)b> 0時，f' (x) v 0. 函數(shù)f (x)在(0,1)上是減函數(shù)； 當(dāng)bv 0時，f' (x) >0，函數(shù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù)； 又函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，從而可知： 當(dāng)b> 0時，f(x)在(一1,1)上是減函數(shù)； 當(dāng)bv 0時，f(x)在(一1,1)上是

6、增函數(shù).規(guī)律方法：1 利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式f' (x) >0(f ' (x) v0)在給定區(qū)間上恒成立.一般步驟為：求導(dǎo)數(shù)f'(X)；判斷f '(X) 的符號；給出單調(diào)性結(jié)論.2導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定了函數(shù)的增減，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)時，應(yīng)注意對參數(shù)進(jìn)行分類討論. 變式訓(xùn)練：b求函數(shù)y = x+ x(b 0)的單調(diào)區(qū)間.b【解】函數(shù)y = x+ x( 當(dāng)bv 0時，在函數(shù)定義域內(nèi)y '> 0恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一汽 0)和(0，+m )； 當(dāng)b> 0時，令y'> 0

7、,解得x> b或x v “b,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一汽 b)和(-,'b+g ) ； 令 y' v 0，解得-；'bvxv "b且 x豐0,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一；b, 0)和(0,i, b).題型二：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)11例：(2021 鄭州模擬)函數(shù)f (x) = ax+ xln x,且圖象在點(-，f()處的切線斜率為 1(e ee為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求實數(shù)a的值；(2)設(shè)g(x)丄兇 x，研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性x 11解： f(x) = ax+ xln x, f '(x) = a+ 1 + In x,依題意 f

8、9;( ) = a= 1,所以 a= 1. eff (x) x xln x, , x 1 In x因為 g(x)= l，所以 g'(x) = x 1 2.x 1 x 一 ix一 i1設(shè) 0 (x) = x 1 In x,那么 0 '(X) = 1 一.x對？ X>1, 0(x)> 0 (1) = 0，即當(dāng) X>1 時，g'(x)>o ,故 g(x)在(1 ,+)上為增函數(shù);1當(dāng) 0<x<1 時，0'(x) = 1 - x<0, 0 (x)是減函數(shù), z.對？ X (0,1) , 0 (x)> 0 (1) = 0,即

9、當(dāng) 0<x<1 時，g'(x)>o,故 g(x)在(0,1)上為增函數(shù).方法規(guī)律：1 導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)f (x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x) ; (3)在函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)解不等式f '( x)>0和f '( x)<0 ; (4)根據(jù) 的結(jié)果確定函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間.2.導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)f (x)在(a, b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟：(1)求f '(x) ； (2)確認(rèn)f'(x)在(a, b)內(nèi)的符號；(3)作出結(jié)論：f '(x)>0時為增函數(shù)；f'(x)<

10、;0時為減函數(shù).3導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍：函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f '(x) >0(或f '(x) <0), x (a, b)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立求解.訓(xùn)練：2 11假設(shè)函數(shù)f X x ln x 1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間k 1,k 1內(nèi)不是單調(diào)函2數(shù)，那么實數(shù)k的取值范圍 .解:函數(shù)f (x)的定義域為(0,),f'(x)2x1(2x)12x2x(2x 1)(2x 1)2x,由f'(x)10 得 x，由 f '(x)0得01x ，要使函數(shù)在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間22k -，即k的取值范k1,k1內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，那么有0 k1

11、1 -k 1，解得1223圍是1,) 22.(2021湖北省八校高三第二次聯(lián)考)函數(shù)f(x) = (x+ a)2-7bln x+ 1，其中a , b是常數(shù)且0.(1)假設(shè)b= 1時，f(x)在區(qū)間(1 ,+s )上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；當(dāng)b = 4a2時，討論f(x)的單調(diào)性.【解】(1) / b = 1,. f(x)= (x+ a)2- 7ln x+ 1,. f' (x) = 2x+ 2a 7x/當(dāng) x>1 時，f(x)是增函數(shù)， f'x) = 2x + 2a 7>0 在 x>1 時恒成立.x即a> 7 x在x>1時恒成立.2x當(dāng) x>

12、1 時，y = x是減函數(shù)，.當(dāng) x>1 時，y =右x<5，. a>5 2x2x 225故a的取值范圍是|,+ )./ b= 7a2,： f(x)= (x+ a)2 4a2ln x + 1, x (0,+ ).(x) =2/+ 2ax 4a2x2x a x+ 2ax)；當(dāng)a>0時，f'刈>0，得x>a或x< 2a，故f(x)的減區(qū)間為(0, a)，增區(qū)間為(a,當(dāng)a<0時，f'x)>0，得x> 2a或x<a，故f(x)的減區(qū)間為(0, 2a)，增區(qū)間為(一2a,+ ).a3. 設(shè)函數(shù) f (x) = ax 一

13、2ln x.x(1) 假設(shè)f ' (2) = 0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 假設(shè)f(x)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.a 2解：(1) T f(x)的定義域為(0 ,+8 ) , f' (2) = 0，且 f' (x) = a+- x，a4 a+； 1 = 0,. a= .3 分4 5一44222f(x) = 5+ 5? x=57(2x 5x+2)，1由 f' (x) > 0 結(jié)合 x> 0，得 0v x v或 x>2,1 1-f (x)的遞增區(qū)間為(0 , 2】和2 , +8 )，遞減區(qū)間為(2 2).6分f' (x)

14、> 0對x> 0恒成立，8分,.需x>0時ax 2x+ a?0恒成立10分(2)假設(shè)f(x)在定義域上是增函數(shù)，那么2a 2 ax 2x+ af' (x) = a+x2x2x化為a7對x>0恒成立,x + 12x 2T =w 1,x + 11'x + -x a> 1，即 a 1 ,當(dāng)且僅當(dāng)+ 8 ).12x = 1時取等號.3x24. 函數(shù) f(x) = 了 2x+ ln x，其中a為常數(shù).假設(shè)a= 1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，求2解：(1)假設(shè) a= 1 時，f (x) = 3x 2x + In x,

15、2a的取值范圍.定義域為(0 ,+8 ),1, c 4x + 3x +1(4x 1)(X 1) , c、f ' (x) = x 4x + 3 =( x>0).Xx2當(dāng) f '(x)>0, x (0,1)時，函數(shù) f (x) = 3x 2x + In x 單調(diào)遞增.當(dāng) f '(x)<0, x (1 , +8)時，函數(shù) f (x) = 3x 2x2 + In x 單調(diào)遞減.31 f '(x) = -4x + -,ax31f ' ( x) = 4x + 一?0 或axf '(x) = 3-4x+ 亠0,a x故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增

16、區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1 , +8 ).假設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，即在1,2上,即色一4x+ 1?0或15 32即或，解得a<0或0<a節(jié)或a羽. 4x + XW0在1,2上恒成立.即a x a x所以h(2)或器 h(1),1令h( x) = 4x-，因為函數(shù)h(x)在1,2上單調(diào)遞增,x題型三：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式例：定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x), f(x 1)是偶函數(shù)且(x 1)f'(x)0.假設(shè) x2,且 x22,那么f (xj與f (x2)的大小關(guān)系是A. f(xjf(X2)B.f (xi)f(X2)C. f (

17、xi) f(X2)D.不確定解析：由(x 1)f '(x)0可知，當(dāng)x 1時,f '(x)0函數(shù)遞減.當(dāng)x 1時,f'(x)0函數(shù)遞增.因為函數(shù)f (x 1)是偶函數(shù)，所以f(x 1) f (1 x) , f (x) f (2 x),即函數(shù)的對 稱軸為x 1.所以假設(shè)1為 x2,那么f (xj f (x2).假設(shè)x1 1,那么必有x2 2,那么X22 為 1,此時由彳區(qū))f(2xj,即 f(x2)f (2xjf(xj,綜上 f(x)f(X2),選 C.變式訓(xùn)練：1.函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)f (1 x) f(1 x)，且當(dāng)x (,1)時，1(x 1) f (x

18、)0，設(shè) a f(0)，b f()，c f (3)，那么D2A. a b c B . b c aC.c baD .cab2.函數(shù)f (x)對定義域R內(nèi)的任意x都有f(x) = f (4x),且當(dāng)X2時其導(dǎo)函數(shù)f (x)滿足xf (X) 2f (X),假設(shè)2 a 4那么A. f(2a)f(3) f (log2a)B. f(3)f (log2 a)f(2a)C. f(log2a) f(3)f(2a)D. f(log2a) f(2a)f(3)解：由f (x)= f (4 x),可知函數(shù)關(guān)于x 2對稱.由xf (x) 2f (x),得(x 2)f (x)0,所以當(dāng)x 2時，f(x) 0 ,函數(shù)遞增，所

19、以當(dāng)x 2時，函數(shù)遞減.當(dāng)2 a 4,1 log2 a 2, 222a 24,即 42a 16.所以f(log2a) f (4 log2a),所以 2 4log2a 3,即 24 log2a 32a,所以 f (4log2a)f (3)f(2a),即f (log 2 a) f(3)f(2a),選 C.3.函數(shù) f(x)=x-cosx，那么 f (0.6),f (0),f(-0.5)的大小關(guān)系是A、f (0)<f (0.6)<f (-0.5) B、f (0)<f (-0.5)<f (0.6)C、f(o.6)vf (-o.5)vf (0) D、f(-o.5)vf (0)&l

20、t;f(0.6)解：因為函數(shù)2 “G為偶函數(shù)，所以f( 0.5)T (X)X COS Xf(0.5),f' (x)=2xsin xf'(x)=2x sinx 0，所以函數(shù)在0 x -遞增，所以有f(0)<f (0.5)<f(0.6)，即 f (0)<f(0.5)<f(0.6)，選B.4. 2021 太原 三模函數(shù)f(x+ 1)是偶函數(shù)，且x>1時，f'(x)<0恒成立，又 f(4)= 0,那么(x + 3)f(x + 4)<0的解集為()A.( s, 2) U (4 ,+)B . ( 6, 3) U(0, 4)C.( s, 6)

21、 U (4 ,+s)D . ( 6, 3) U(0,+s)解：函數(shù)f(x + 1)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y軸對稱，這個函數(shù)圖象向右平移1個單位得函數(shù)y= f (x)的圖象，可得函數(shù) y= f (x)的圖象關(guān)于直線x = 1對稱，x>1時，f'(x)<0恒成立， 說明函數(shù)在(1 , +s)上單調(diào)遞減，根據(jù)對稱性可得函數(shù)在(s, 1)上單調(diào)遞增.根據(jù)f(4) =0可得當(dāng)x>4時，f(x)<0，根據(jù)對稱性可得當(dāng) x< 2時，f(x)<0，當(dāng)2<x<1或1<x<4時,f(x)>0.不等式(x + 3)f(x + 4)<0

22、等價于x+ 3>0,f x + 4<0x+ 3<0,fX + 4>0.X+ 3>0,fx+ 4<0x> 3,x+ 4>4或 x + 4< 2,解得x>0;當(dāng)X+3<0，時f x+ 4>0x< 3,2<x+ 4<1 或 1<x + 4<4,解得一6<x< 3.故不等式(x+ 3)f(x + 4)<0的解集為(一6,3) U (0,+s).5.設(shè)f (X)是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng)X 0時，f'(X)0 ,且f (丄)0 ,那么不等式2f (X)0的解集為解：因為函數(shù)f

23、(X)為奇函數(shù)。當(dāng)X 0時，f '(X)0 ,函數(shù)單調(diào)遞增，所以111 、 1f () f ( ) 0 ,由圖象可知不等式f (x) 0的解為x 或0 x ,即不等式的222 211解集為(，)U(0,)。226.函數(shù)f(x) x1nx ax2 x a R。|丨假設(shè)函數(shù)f (x)在x 1處取得極值，求a的值;II丨假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象在直線y x圖象的下方，求a的取值范圍;解:函數(shù)宜文域見【為+ »j Tffjs) = Inv "2ax.vJUr取得扱值，A= UtA a =0. 幾 /*(*>+ «>)時>ot茸袒建處戰(zhàn)得扳值. 二二

24、鼻分- * iruc < 0賣Mu、A0得。芒J 旗卻在2")上為埔函數(shù)； -*(>) <0,«9s>av Mh)再"* +工)上為礙函敷 7分= Ar( C ) M 丄* >» * *.*i*“*“孑分7.函數(shù) f(x) ax2 bx(a, b R)，函數(shù) g(x) In x .當(dāng)a 0時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有公共點，求實數(shù)b的最大值;當(dāng)b 0時，試判斷函數(shù)f (x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象的公共點的個數(shù)；函數(shù)f (x)的圖象能否恒在函數(shù) y bg(x)的圖象的上方？假設(shè)能， 求出a,b的取值范圍;假設(shè)不能，請說明理由.解： a 0 f(x) bx ,由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知兩圖象相切時b取最大值，1分1設(shè)切點橫坐標(biāo)為x0, f (x) b, g (x)x1Xobx0