必修2輔導(dǎo)—3—空間的位置關(guān)系證明(同步學(xué)生版ok)

1、空間的關(guān)系證明課標(biāo)要求以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行、垂直的有關(guān) 性質(zhì)與判定。1.通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納岀以下判定定理： 公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行； 平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行； 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行； 一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直。 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么兩個(gè)平面垂直。2通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： 一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直線(xiàn)的任一個(gè)平面與此平面的交線(xiàn)

2、與該直線(xiàn)平行； 兩個(gè)平面平行，那么任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線(xiàn)相互平行； 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行 兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。3.能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題?？臻g的平行關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)1.線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)線(xiàn)平行的判定：公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行。圖形語(yǔ)言:數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a/b,b/c a/c 平行四邊形對(duì)邊平行 三角形的中位線(xiàn)平行于底邊；梯形的中位線(xiàn)平行于底邊。 如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。線(xiàn)面垂直的性質(zhì)圖形語(yǔ)言:a數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a/bb如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這

3、條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。線(xiàn)面平行的性質(zhì)圖形語(yǔ)言:a/數(shù)學(xué)語(yǔ)言：aa/bb如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。/圖形語(yǔ)言：丿廠(chǎng) 丁數(shù)學(xué)語(yǔ)言：面面平行的性質(zhì)a a/ bb2.線(xiàn)面平行：1線(xiàn)面平行的判定： 定義：直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn). 線(xiàn)面平行的判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。線(xiàn)線(xiàn)平行 線(xiàn)面平行圖形語(yǔ)言:面面平行線(xiàn)面平行a/b數(shù)學(xué)語(yǔ)言：aallb面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面。圖形語(yǔ)言:2線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：線(xiàn)面平行數(shù)學(xué)語(yǔ)言:線(xiàn)線(xiàn)平行l(wèi)laallall數(shù)學(xué)語(yǔ)言：ballbll那么兩個(gè)平面互相

4、平行。線(xiàn)面平行圖形語(yǔ)言：3.面面平行：1面面平行的判定定義：面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面,面面平行圖形語(yǔ)言：數(shù)學(xué)語(yǔ)言:a ,b a b oallbllll面面平行的判定定理推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相平行。兀"a ,b ,a b o圖形語(yǔ)言：/O /數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a,b,a b ollalla ,bllb面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。 / “圖形語(yǔ)言：數(shù)學(xué)語(yǔ)言ll線(xiàn)面垂直的性質(zhì):垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。/)a/圖形語(yǔ)言：/a數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a2面面平行的性質(zhì)定

5、理：面面平行線(xiàn)面平行面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面。圖形語(yǔ)言:數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。圖形語(yǔ)言:all面面平行的性質(zhì)a allb題例方法題型一：線(xiàn)線(xiàn)平行證明例1如下圖,P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn)，在 DM上取一點(diǎn) G,過(guò)點(diǎn)G和AP作平面,角平面BDM于GH.求證：AP/ GH.例2.如圖，E、F、G、M分別是四面體的棱 AD、CD、BD、BC的中點(diǎn)，求證:例3.如圖， ABCD - AiBiCiDi是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn) E在AAi上，點(diǎn)F在CCi上, G在BBi上，且AE =

6、 FCi = BiG =i, H是BiCi的中點(diǎn).求證：E、B、F、Di四點(diǎn)共面；(2)求證：平面 AiGH /平面BEDF例4.如下圖，在正方體ABCD AiBiCiDi中，E、F、G、H分別是BC、CCi、CiDi、AiA的中點(diǎn).求證:(i) BF / HDi; (2) EG /平面 BBiDiD ; (3)平面 BDF /平面 BiDiH.穩(wěn)固練習(xí)1一條直線(xiàn)假設(shè)同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)的位置關(guān)系是.A. 異面 B.相交C.平行D.不能確定2 假設(shè)直線(xiàn)a、b均平行于平面a,那么a與b的關(guān)系是.A. 平行 B.相交 C.異面 D.平行或相交或異面3a, b是兩條

7、相交直線(xiàn)，a/ ，那么b與 的位置關(guān)系是.A. b /B. b與相交 C. b a D. b / 或b與相交4以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是.A. 一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)平行B. 平行于同一平面的兩條直線(xiàn)平行C. 如果一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行D. 如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行5在以下條件中，可判斷平面a與B平行的是.A.a、B都平行于直線(xiàn)1B.a內(nèi)存在不共線(xiàn)的三點(diǎn)到B的距離相等C.1、m是a內(nèi)兩條直線(xiàn)，且1 /B, m /BD.1、m是兩條異面直線(xiàn)，且1 /a, m /a，/B, m/f6. 在正方體AB

8、CD AiBiCiDi中，以下四對(duì)截面中，彼此平行的一對(duì)截面是.A. BDCi 與 BiDiCB. A1BC1 與 ACD iC. B1D1D 與 BDAiD. AiDCi 與 ADiC7. 用平行于四面體 ABCD的一組對(duì)棱 AB、CD的平面截此四面體。求證：所得截面MNPQ是平行四邊形;D8. 如下圖， S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且 SA=SB=SC, SGSAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并給予證明.9. 如下圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，0為底面ABCD的中心，P是DD i的中點(diǎn)，設(shè) Q是CCi上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)

9、點(diǎn) Q 在什么位置時(shí)，平面 DiBQ /平面PAO ?空間的垂直關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)1. 線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定:(1) 等腰三角形底邊的中線(xiàn)與底邊垂直。(2) 菱形的對(duì)角線(xiàn)相互垂直。(3) 線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么這條直線(xiàn)垂直于平面的所有直線(xiàn)。圖形語(yǔ)言:數(shù)學(xué)語(yǔ)言:(4)三垂線(xiàn)定理和逆定理：PO丄a,斜線(xiàn)PA在平面a內(nèi)的射影為 假設(shè)a丄OA，那么a丄PA垂直射影 假設(shè)a丄PA，那么a丄OA垂直斜線(xiàn)a,(5)面面垂直的性質(zhì): 直于交線(xiàn)。如果兩個(gè)平面相互垂直,OA，a垂直斜線(xiàn)，此為三垂線(xiàn)定理；垂直射影，此為三垂線(xiàn)定理的逆定理；那么在其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于另一個(gè)平面的直線(xiàn)垂/ A °

10、/圖形語(yǔ)言：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：aABa AB2. 線(xiàn)面垂直的判定那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面。(線(xiàn)線(xiàn)垂直(1) 線(xiàn)面垂直的判定定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直, 線(xiàn)面垂直)圖形語(yǔ)言:I ACI AB數(shù)學(xué)語(yǔ)言：AC AB AAC, AB(2) 如果兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。圖形語(yǔ)言：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a/b ba(3)如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。(面面垂直線(xiàn)面垂直)圖形語(yǔ)言：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：aa ABABa(3)面面垂直的判定面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直.(線(xiàn)面垂直面面垂

11、直)圖形語(yǔ)言：a數(shù)學(xué)語(yǔ)言：a題例方法例1如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD , AC丄CD，/ ABC=60 ° ,PA=AB=BC,E 是PC的中點(diǎn)證明:(1) CD 丄 AE ;(2)PD 丄平面 ABE.例2如下圖，直三棱柱 ABC AiBiCi 中,BiCi=A 1C1, ACi 丄AiB，M、N 分別是 AiBi、AB 的中點(diǎn).(1)求證：CiM丄平面AiABBi;( 2)求證：AiB丄AM ;(3) 求證：平面 AMCi/平面NBiC; (4)求AiB與BiC所成的角.穩(wěn)固練習(xí)i .如圖，設(shè)P是正方形 ABCD外一點(diǎn)，且 PA丄平面ABCD

12、,那么平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A. 平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B. 它們兩兩都垂直C. 平面PAB與平面PBC垂直、與平面 PAD不垂直D. 平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直2.如圖，ABCD - AiBiCiDi為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤.的是(A . BD /平面 CBiDiB. ACi丄 BDC . ACi 丄平面 CBiDiD 異面直線(xiàn)AD與CBi角為60°3.直線(xiàn)丨丄平面a,直線(xiàn)m 平面B,有下面四個(gè)命題:/lm :l / m : 1 / m: 1 m/其中正確的兩個(gè)命題的序號(hào)是( )A.與B.與C.與D.與4如下圖， PA丄矩

13、形ABCD所在平面，M , N分別是AB, PC的中點(diǎn).(1)求證：MN 丄 CD ; (2)假設(shè)/ PDA=45 ° .求證：MN 丄平面 PCD.5.在正方體 ABCD - AiBiCiDi中，E、F分別是CD、A1D1中點(diǎn).(1)求證：ABi 丄 BF;求證：AE丄BF;(3) 棱CCi上是否存在點(diǎn)F,使BF丄平面AEP，假設(shè)存在，確定點(diǎn) P的位置；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.6如下圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是/ DAB=60 °且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂 直于底面 ABCD，假設(shè)G為AD邊的中點(diǎn)，(1) 求證：BG丄平面PAD ;

14、(2) 求證：AD丄PB;(3) 假設(shè)E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱 PC上找到一點(diǎn)F,使平面DEF丄平面ABCD，并證明你的結(jié)論.目標(biāo)測(cè)試、選擇題A. 11 /aB. 12aC. 1? /a或1?aD. 12與a相交2以下說(shuō)法其中a, b表示直線(xiàn)，表示平面假設(shè) a/ b, b ，那么 a/假設(shè)a/:,b /，貝U a/ b假設(shè) a/ b, b/ ，貝U a/假設(shè)a /,b，貝U a/ b其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是).A. 0 個(gè)B. 1 個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)1 .直線(xiàn)li、I2 ,平面a, Il / I2 , li/a,那么12與平面a的關(guān)系是3.如果平面 外有兩點(diǎn)A、B,它們到平面A.平行 B.相交

15、C.平行或相交的距離都是a那么直線(xiàn)AB和平面 的位置關(guān)系一定是D. AB4如果點(diǎn)M是兩條異面直線(xiàn)外的一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn) M且與a, b都平行的平面A.只有一個(gè)B.恰有兩個(gè)5以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是.A.垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行C.平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行C.或沒(méi)有，或只有一個(gè)D.有無(wú)數(shù)個(gè)B. 平行于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行D.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行6經(jīng)過(guò)平面外的兩點(diǎn)作該平面的平行平面可以作.A. 0個(gè) B. 1個(gè)C. 0個(gè)或1個(gè)D. 1個(gè)或2個(gè)7不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn) A , B, C到平面a的距離相等，且 A 0,那么 A. a/平面ABCB. ABC中至少有一邊平行于aC. AB

16、C中至多有兩邊平行于aD. ABC中只可能有一條邊與a平行 8空間四邊形ABCD的四邊相等，那么它的兩對(duì)角線(xiàn) AC、BD的關(guān)系是A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交9如圖，AB是圓0的直徑，C是異于A、B兩點(diǎn)的圓周上的任意一點(diǎn)，PA垂直于圓0所在的平面，那么 PAB、 PAC、A ABC、 PBC中，直角三角形的個(gè)數(shù)是 A.1B.2C.3D.410. 以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是.A. 直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線(xiàn)平行B. 經(jīng)過(guò)兩條平行線(xiàn)中一條有且只有一個(gè)平面與另一條直線(xiàn)平行C. 經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與平面平行D. 經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與平面平行

17、11 / ,a ,B ，那么在 內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的所有直線(xiàn)中.A 不一定存在與a平行的直線(xiàn)B只有兩條與a平行的直線(xiàn)C存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線(xiàn)D存在唯一一條與a平行的直線(xiàn)12. I是過(guò)正方體 ABCD A1B1C1D1的頂點(diǎn)的平面 AB1D1與下底面 ABCD所在平面的交 線(xiàn)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是.A. D1B1/IB. BD/ 平面 AD1B1 C. I/平面 A1D1B1D. I 丄 B1 O二、填空題13. 直線(xiàn)a b，平面a、3且all b , a/ a, a B,那么直線(xiàn)b與平面B的位置關(guān)系為14. a b、c是三條不重合直線(xiàn)， a/ c, bII ca/ b； a/ ,/ , I/ ；(5)

18、 a/ c,其中正確的說(shuō)法依次是 .、是三個(gè)不重合的平面，以下說(shuō)法中：b I a I b； c / , c I/ c a I ； a I , I a/15. 如圖甲，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD AiBiCiDi容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有以下四個(gè)說(shuō)法： 水的局部始終呈棱柱狀； 水面四邊形EFGH的面積不改變； 棱AiDi始終與水面EFGH平行； 當(dāng)容器傾斜如圖乙時(shí)，EF BF是定值.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是 .i6.P是厶ABC所在平面 外一點(diǎn)，過(guò)P作P0丄平面PA, PB, PC.假設(shè) PA= PB= PC,貝U O ABC 的(2) PA丄 PB, PA丄 PC, PC丄 PB,貝U O 是厶 ABC 的心;假設(shè)點(diǎn)P到三邊AB , BC , CA的距離相等，那么 O是厶ABC的心;假設(shè)PA= PB= PC,/ C= 90o，那么O是AB邊的點(diǎn)；(5)假設(shè)PA= P