考點9-正弦定理和余弦定理(2024092904)

1、考點9 正弦定理和余弦定理1. 2022 天津高考理科T 7在厶ABC中，內(nèi)角 A,B,C的對邊分別是 a,b,c，假設(shè)a2 b2 . 3bc ,sin C 2sin B，貝y a= ()A300 B60C1200 D150【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問題、解決問題的能力?！舅悸伏c撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】 選A,根據(jù)正弦定理及sinC 2, 3sinB得：c 2、3b丁 cos Ab2 c2a22bcc2 (a2 c2) c2. 3bc 、32bc2bc 2v00A 180, A 300。【方法技巧】根據(jù)所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定

2、理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角。2. 2022 北京高考文科7某班設(shè)計了一個八邊形的班徽如圖 ，它由腰長為1 ,頂角為 的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，A2si n2cos2;Bsin3 cos3C3si n, 3 cos1D2si ncos1該八邊形的面積為【命題立意】此題考查解三角形的相關(guān)知識，用到了面積公式、余弦定理等知識。【思路點撥】在等腰三角形中利用余弦定理求出底邊，從而班徽的面積等于四個等腰三角形的面積與正方 形的面積之和?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】 選A。等腰三角形的底邊長為一 12 12 2 1 1 cos ,2 2cos 。所以班徽的面積為4 1 1 1 sin (、2 2cos

3、)2 2s in2 2cos 。23. 2022 湖南高考理科 T 4在厶ABC中,角A, B, C所對的邊長分別為 a,b,c，假設(shè)/ C=120, c ,2a ,那么A ab B 、ab C 、a=b D 、a與b的大小關(guān)系不能確定【命題立意】以三角形為依托，以余弦定理為明線，以方程的解為暗線考查學(xué)生的運用知識和等價轉(zhuǎn)化的 能力?！舅悸伏c撥】由余弦定理得到邊的二元等量關(guān)系，然后從方程的角度消元求解【標(biāo)準(zhǔn)解答】選 A.C=120， c -2a2a2=a2+b2-2abcos120 ,. a2=b2+ab, /b2+a-1=0,b ,512 Y，. ba.【方法技巧】三角形是最簡單的平面圖形，

4、是中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)知識最多的圖形，在高考中是重點.常常考查邊角關(guān)系，余弦定理和正弦定理，常常結(jié)合不等式和方程來解.尤其是均值不等式的考查4. 2022 北京高考理科T10在厶ABC中，假設(shè)b = 1 , c = .3 ,2，那么3【命題立意】此題考查解三角形中的余弦定理?！舅悸伏c撥】對 C利用余弦定理,通過解方程可解出由余弦定理得，a212 2 a 1 cos3，即 a20 ,解得a 1或2舍。【答案】1【方法技巧】兩邊及一角求另一邊時，用余弦定理比擬好。A,B,C所對的邊，假設(shè)a=1,b= 3 ,5.2022 廣東高考理科11a,b,c分別是 ABC的三個內(nèi)角A+C=2B,那么 sinC=【命題

5、立意】此題考察正弦定理在解三角形中的應(yīng)用【思路點撥】由條件求出B、A的大小，求出C，從而求出sinC.【標(biāo)準(zhǔn)解答】由 A+C=2B 及 A B C 180 得 B60，由正弦定理得13 得si nA 1，由a b知sin A sin 602A B 60，所以 A 30 , C 180 A B90，所以 sin C sin 901.【答案】16.2022 山東高考理科T 15在 ABC中，角A, B,C所對的邊分別為 a, b, c,假設(shè)a 2 , b 2 ,sin B cosB 、2，那么角A的大小為 .【命題立意】此題考查了三角恒等變換、三角函數(shù)值求解以及正弦定理，考查了考生的推理論證能 力

6、和運算求解能力?！舅悸伏c撥】先根據(jù) si nB cosB ,2求出B,再利用正弦定理求出si nA，最后求出A.【標(biāo)準(zhǔn)解答】由 si nB cosB 得 1 2si n BcosB 2，即 sin 2B 1，因為 0B ，所以 B=45 ,_F221又因為a 、色,b 2，所以在 ABC中，由正弦定理得：二，解得si nA，又ab ,sin A sin 452所以AB=45，所以A=3O .【答案】30或一6b a7. 2022 江蘇高考T1 3在銳角三角形 ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,假設(shè)6cos C ,a btanC tanC ,+ 口那么的值是。tan A tan B【

7、命題立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想?！舅悸伏c撥】對條件b atan C6cosC米用角化邊，對a btan A也匹采用弦化切并結(jié)合正弦定理解決tan B【標(biāo)準(zhǔn)解答】-6cos C2.2 26abcosC a2 b2, 6ab a c2aba2b2, a2b23c2tanC tanC tan A tan Bsin C cosBsi nA si n BcosAcosCsin Asin Bsin C sin (A B) cosC sin Asin B1cosCsi n2Csin Asin B由正弦定理,12 c2 ccosCab12 22(a2 b2)得：上式6

8、c21 3cl6 2【方法技巧】上述解法采用了解決三角形問題的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理靈活實現(xiàn)邊角互化。此題假設(shè)考慮到條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b具有輪換性，可采用以下方法解決：當(dāng)A=B或 a=b 時滿足題意，此時有：cosC ,tan2C-cosC, tanC,321 cosC222tan A1ta nC tanCta nB2，= 4。tanCtanA tanB2【答案】48. 2022 遼寧高考文科T17在厶 ABC中, a, b, c 分別為內(nèi)角 ABC 的對邊，且 2asi n A=(2 b+c)s in 申(2 c+b)s in C.(I )求A的大小;n假設(shè)sin

9、 B +sin C=1,試判斷 ABC的形狀.【命題立意】此題考查了正弦定理，考查了余弦定理和運算求解能力。【思路點撥】(I)根據(jù)正統(tǒng)定理將條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角(II)利用I的結(jié)論，求出角B或角C，判斷三角形的形狀【標(biāo)準(zhǔn)解答】解：(I)由， 即 a2 b2 由余弦定理根據(jù)正弦定理得：2a2(2b c) (2c b)cbc,b2 c2bccosA故 cosA(0,)2A =3b2c22sin C sin Bsin Cbe及正弦定理可得:(II)由(I)中 sin2 A sin2BJ3即：()2= sin2 B sin2 C sin Bsin C21 又 sin B

10、+s in C=1 得 sin B=si nC= 2丁 0Bv ,0C, B C33 ABC是等腰的鈍角三角形?！痉椒记伞坷谜叶ɡ?，實現(xiàn)角的正弦化為邊時只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC。sin A,s in B,si nC的次數(shù)要相等，各項要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分。(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中B+C= 609. 2022 浙江高考文科18在厶ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)S ABC的面積，滿足S2 2 2a b c )。I求角C的大小;n求sin A sin B的最

11、大值?！久}立意】解析此題主要余弦定理、三角形面積公式、三角變換等根底知識，同時考查三角運算求解能 力?！舅悸伏c撥】利用面積公式求角C,然后利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式化簡求最值?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】(1)由題意可知2absinC=子2abcosC.所以tan C=3.因為0Cn，所以C=扌2 nn )由 sin A+sin B = sin A+sin(n-C-A) = sin A+sin(- A3=sin A+3 cosA+ 1 sin A=3 sin( A+ ) 3 . (0 A )2 263當(dāng)A=，即 ABC為正三角形時取等號，所以sin A+sin B的最大值是.3 .3r【方法技

12、巧】求si nA si nB時利用A B 轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角函數(shù)y . 3si n(A -)的最值問3 6題。10. 2022 遼寧高考理科17在厶ABC中，a, b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C 的對邊，且2asi nA (2a c)si nB (2c b)si nC.I求A的大小;n求sin B sin C的最大值【命題立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值。【思路點撥】【標(biāo)準(zhǔn)解答】I丨根據(jù)正統(tǒng)定理將條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角 II丨由I知角C= 60 -B代入sin B+s inC中，看作關(guān)于角 B的函數(shù)，進而求出最值I由

13、已 知，根據(jù)正弦定理得 2a2(2b c)b (2c b)cbc由余弦定理得a2b22c 2bccos A故 cos AA=120n由I得:sin Bsin C sin B sin(60B)31cosB si nB22si n(60 B)故當(dāng)B= 30時,sinB+sinC取得最大值1?！痉椒记伞?1)利用正弦定理，實現(xiàn)角的正弦化為邊時只能是用a替換si nA，用b替換si nB,用c替換sinC。sin A,si nB,si nC的次數(shù)要相等，各項要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替 換一局部。B+C= 60(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中11. 2022 浙江高考理科18在厶ABC中角A、B、C所對的邊分別為 a,b,c,C0S2C求sinC的值;(n )當(dāng) a=2, 2sinA=sinC 時，求 b 及 c 的長.【命題立意】此題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等根底知識，同時考查運算求解能力?！舅悸伏c撥】利用二倍角余弦公式求sin C的值。再