高等幾何試題(1)

1、高等幾何試題（）1. 試確定仿射變換，使軸，軸的象分別為直線，且點（1，1）的象為原點.()2. 利用仿射變換求橢圓的面積.()3. 寫出直線+-=0,軸,軸,無窮遠直線的齊次線坐標(biāo).()4. 敘述笛沙格定理,并用代數(shù)法證之.()5. 已知(1,2,3),(5,-1,2),(11,0,7),(6,1,5),驗證它們共線,并求()的值.()6. 設(shè)(1,1,1),(1,-1,1),(1,0,1)為共線三點,且()=2,求的坐標(biāo).()7. 敘述并證明帕普斯(Pappus)定理.()8.一維射影對應(yīng)使直線上三點(-1),(0),(1)順次對應(yīng)直線上三點(0),(1),(3),求這個對應(yīng)的代數(shù)表達式.

2、()9.試比較射影幾何、仿射幾何、歐氏幾何的關(guān)系.()高等幾何試題（）1.求仿射變換的不變點和不變直線. ()2. 敘述笛沙格定理,并用代數(shù)法證之.()3.求證(1,2,-1) ,(-1,1,2),(3,0,-5)共線,并求的值,使 () 4.已知直線的方程分別為，且，求的方程.()5.試比較歐氏、羅氏、黎氏幾何的關(guān)系. ()6.試證兩個點列間的射影對應(yīng)是透視對應(yīng)的充要條件是它們底的交點自對應(yīng). ()7.求兩對對應(yīng)元素,其參數(shù)為1,02,所確定對合的參數(shù)方程. ()8.兩個重疊一維基本形成為對合的充要條件是對應(yīng)點的參數(shù)與滿足以下方程: () 高等幾何試題（）1. 求仿射變換的不變點和不變直線.

3、 ()2. 求橢圓的面積.()3. 寫出直線+-=0,軸,軸,無窮遠直線的齊次線坐標(biāo).()4. 敘述笛沙格定理,并用代數(shù)法證之.()5. 已知直線的方程分別為，且，求的方程.()6. 在一維射影變換中，若有一對對應(yīng)元素符合對合條件，則這個射影變換一定是對合. () 7. 試比較射影幾何、仿射幾何、歐氏幾何的關(guān)系, 試比較歐氏、羅氏、黎氏幾何的關(guān)系. ()20052006第二學(xué)期期末考試試題 高等幾何試題（A）一、 填空題（每題3分共15分）1、 是仿射不變量， 是射影不變量2、 直線上的無窮遠點坐標(biāo)為 3、 過點（1,i,0）的實直線方程為 4、 二重元素參數(shù)為2與3的對合方程為 5、 二次曲

4、線過點的切線方程 二、 判斷題（每題2分共10分）1、兩全等三角形經(jīng)仿射對應(yīng)后得兩全等三角形 （ ）2、射影對應(yīng)保持交比不變，也保持單比不變 （ ）3、一個角的內(nèi)外角平分線調(diào)和分離角的兩邊 （ ）4、歐氏幾何是射影幾何的子幾何，所以對應(yīng)內(nèi)容是射影幾何對應(yīng)內(nèi)容的子集 （ ） 5、共線點的極線必共點，共點線的極點必共線 （ ）三、(7分)求一仿射變換，它使直線上的每個點都不變，且使點（1,-1）變?yōu)椋?1，2）四、（8分）求證:點 三點共線，并求使 五、(10分)設(shè)一直線上的點的射影變換是證明變換有兩個自對應(yīng)點，且這兩自對應(yīng)點與任一對對應(yīng)點的交比為常數(shù)。六、（10分）求證：兩直線所成角度是相似群的

5、不變量。七、（10分）（1）求點（5，1，7）關(guān)于二階曲線的極線（2）已知二階曲線外一點求作其極線。（寫出作法，并畫圖）八、（10分）敘述并證明德薩格定理的逆定理九、（10分）求通過兩直線交點且屬于二級曲線 的直線十、（10分）已知是共線不同點，如果 高等幾何試題（B）一、 填空題（每題3分共15分）1、 仿射變換的不變點為 2、 兩點決定一條直線的對偶命題為 3、 直線i ,2,1-i 上的實點為 4、 若交比 則 5、 二次曲線中的配極原則 二、判斷題（每題2分共10分）1、不變直線上的點都是不變點 （ ）2、在一復(fù)直線上有唯一一個實點 （ ）3、兩點列的底只要相交構(gòu)成的射影對應(yīng)就是透視對

6、應(yīng) （ ） 4、射影群仿射群正交群 （ ） 5、二階曲線上任一點向曲線上四定點作直線，四直線的交比為常數(shù) （ ） 三、(7分)經(jīng)過的直線與直線相交于，求 四、（8分）試證：歐氏平面上的所有平移變換的集合構(gòu)成一個變換群五、（10分）已知直線的方程分別為：求證四直線共點，并求六、(10分) 利用德薩格定理證明：任意四邊形各對對邊中點的連線與二對角線中點的連線相交于一點七、（10分）求（1）二階曲線的切線方程 （2）二級曲線在直線L1，4，1 上的切點方程八、（10分）敘述并證明德薩格定理定理（可用代數(shù)法）九、（10分）已知二階曲線（C）：（1） 求點關(guān)于曲線的極線（2） 求直線關(guān)于曲線的極點十、（

7、10分）試證：圓上任一點與圓內(nèi)接正方形各頂點連線構(gòu)成一個調(diào)和線束高等幾何試題（C）一、填空題（每題3分共15分）6、 直線在仿射變換下的像直線 7、 軸軸上的無窮遠點坐標(biāo)分別為 8、 過點（1,-i ,2）的實直線方程為 9、 射影變換自對應(yīng)元素的參數(shù)為 10、 二級曲線在直線上1,4,1的切點方程 三、 判斷題（每題2分共10分）1、仿射變換保持平行性不變 （ ）2、射影對應(yīng)保持交比不變，也保持單比不變 （ ）3、線段中點與無窮遠點調(diào)和分離兩端點 （ ）4、 如果點的極線過點，則點的極線也過點 （ ） 5、不共線五點可以確定一條二階曲線 （ ）三、(7分)已知軸上的射影變換，求坐標(biāo)原點，無窮

8、遠點的對應(yīng)點 四、（8分）已知直線的方程分別為 且求直線的方程。五、（10 分）已知同一直線上的三點求一射影變換使此三點順次變?yōu)椴⑴袛嘧儞Q的類型，六、（10分）求證：兩直線所成角度是相似群的不變量。七、（10分）求射影變換的不變點坐標(biāo)八、（10分）敘述并證明帕斯卡定理九、（10分）求通過兩直線交點且屬于二級曲線 的直線十、（10分）試證:雙曲型對合的任何一對對應(yīng)元素 ,與其兩個二重元素E,F調(diào)和共軛即()=-1 參考答案高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案（A）一、 填空題：（每空3分共15分） 1、單比，交比 2、（1,-3,0） 3、 4、 5、二、判斷題（每題2分共10分） 1、錯，2、錯，3、對，4、錯，

9、5、對三、解：在直線上任取兩點 2分 由設(shè)仿射變換為 將點的坐標(biāo)代入可解得 7分四、證明：因為 所以三點共線 4分 由： 解得 所以 8分五、證明：令 解得 即有兩個 自對應(yīng)點 4分 設(shè)k與 對應(yīng)，有為常數(shù) 10分 注：結(jié)果 有也對，不過順序有別。六、證明：設(shè)兩直線為： 相似變換為： 將變換代入直線a的方程得： 5分 即 即兩直線的夾角是相似群的不變量 10分七、解：（1）設(shè)（5，1，7）為P點坐標(biāo)， 二階曲線矩陣為 A= 所以點P的極線為SP=0即 得 x2=0 5分 （2）略八（在后邊）九、解：通過直線的交點的直線的線坐標(biāo)為 2分若此直線屬于二階曲線則有 即 解得 10分十、解：設(shè) 由 由

10、 所以 10分八、德薩格定理的逆定理：如果兩個三點形的對應(yīng)邊的交點共線，則對應(yīng)頂點的連線共點。 4分 證明; 如圖三點形ABC與A1B1C1的三對應(yīng)邊交點L,M,N共線，證明對應(yīng)頂點連線共點,考慮三點形BLB1與CMC1則有對應(yīng)頂點連線共點N ，故對應(yīng)邊的交點A,A1,0共線OABCLMNB1A1C1高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案（B）一、 填空題：（每題3分共15分） 1、, 2、兩條直線確定一個交點，3、(2,-1,2) 4、 5、如果點的極線過點則點的極線也過點。二、 判斷題：（每題2分共10分） 1、錯，2，對， 3、錯， 4、對 ， 5、對三、解：過的直線方程為： 2分 直線與的交點為 4分 所以

11、 7分四、 證明：設(shè)平移變換的表達式為 T: 設(shè)任意兩個平移變換為： 仍為一個平移變換 4分 又對任意變換T: 也是一個平移變換 所以平移變換的集合關(guān)于變換的乘法構(gòu)成群。 8分五、 解：方程轉(zhuǎn)化為齊次坐標(biāo)形式： 2分 所以四直線共點。 6分 因為： 所以： 10分六、 證明：如圖ABCDPHEGRM考慮三點形與則平行，也平行所以與相交于無窮遠處。同理與與相交于無窮遠處。故共線。有的薩格定理，三點形對應(yīng)頂點連線共點。即相交于一點。 10分七、（1）因為點在二階曲線上，所以切線方程為： SP= 5分 （2） 因為直線1，4，1 在二級曲線上所以切點方程為 TL=(1,4,1) 10分八、證明：（1

12、）如果兩個三點形對應(yīng)頂點的連線交于一點，則對應(yīng)線的交點在一條線上。 3分 OABCLMNB1A1C1（2）如圖 因為共線，所以 同理 故有 即 同理 三式相加得 所以三點共線。 10分九、解： (1)點的極線為：SP=(1,2,1)9x1+2x2+4x3=0 5分 （2）設(shè)直線的極點為則有 解方程組可得極點 10分十、證明：如圖ABCDPE 為圓內(nèi)接正方形，為圓上任意點。因為所以為角的平分線。 同理可證明是角平分線。即是角的內(nèi)外角平分線。 所以直線構(gòu)成調(diào)和線束。 10分 高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案（C）一、 填空題：(每題3分共15分) 1、 2、（1，0，0），（0，1，0） 3、 4、-1，3 5、

13、二、判斷題：（每題2分共10分）1、 對 ， 2、錯， 3、對， 4、對， 5、錯三、解：變換化為齊次坐標(biāo)形式： 3分 將坐標(biāo)原點（0，1），無窮遠點（1，0）代入得對應(yīng)點分別為： （-1，3）和（2，1） 7分四、解：由題意得 設(shè) 則 3分 而 所以 整理得： 8分五、解：在直線上建立適當(dāng)坐標(biāo)系使的坐標(biāo)分別為 3分 則有 設(shè)變換為 將坐標(biāo)代入可求得 7分 非齊次形式為： 因方程 無實數(shù)解 所以變換是橢圓形。 10分六、證明：設(shè)兩直線為： 相似變換為： 將變換代入直線a的方程得： 5分 即 即兩直線的夾角是相似群的不變量 10分七、解：由特征方程： 4分 將 得 ,故上的點都是不變點時不變點列。 10分八、對任意一個內(nèi)接于非退化二階曲線的簡單六點形，它的三對對邊的交點在一條直線上。 證明： 如圖A1A2A3A4A