高考數(shù)學(xué)專題：解析幾何新題型的解題技巧

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上解析幾何題型命題趨向：解析幾何例命題趨勢：1.注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關(guān)系，此類題大多都屬中、低檔題，以填空題的形式出現(xiàn)，每年必考2.考查直線與二次曲線的普通方程，屬容易題，對稱問題常以填空題出現(xiàn)3.考查圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和基本方法的題多以填空題的形式出現(xiàn)，有時會出現(xiàn)有一定靈活性和綜合性較強的題，如求軌跡，與向量結(jié)合，與求最值結(jié)合，屬中檔題考點透視一直線和圓的方程1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點

2、到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用5了解解析幾何的基本思想，了解坐標法6掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程二圓錐曲線方程1掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)2掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)3掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用考點1.求參數(shù)的值求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,構(gòu)造方程解之.例1若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為 考查意圖: 本題主要考查拋物線、橢圓的標準方程

3、和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì).解答過程：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，考點2. 求線段的長求線段的長也是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,找出點的坐標,利用距離公式解之.例2已知拋物線y-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于 考查意圖: 本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用.解：設(shè)直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，由弦長公式可求出例3如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_.考查意圖: 本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活

4、應(yīng)用.解答過程：由橢圓的方程知故填35.考點3. 曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點題型之一,其解法為充分利用:(1)橢圓的離心率e(0,1) (e越大則橢圓越扁);(2) 雙曲線的離心率e(1, ) (e越大則雙曲線開口越大).結(jié)合有關(guān)知識來解題.例4已知雙曲線的離心率為2，焦點是，則雙曲線方程為 考查意圖:本題主要考查雙曲線的標準方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念.解答過程： 所以小結(jié): 對雙曲線的標準方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念，要注意認真掌握.尤其對雙曲線的焦點位置和雙曲線標準方程中分母大小關(guān)系要認真體會.例5已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右

5、準線的距離之比等于 考查意圖: 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率e(1, ) 的有關(guān)知識的應(yīng)用能力.解答過程：依題意可知 考點4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考題中的熱點題型之一.其解法為轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或利用不等式求最大(小)值:特別是,一些題目還需要應(yīng)用曲線的幾何意義來解答.例6已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 .考查意圖: 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:設(shè)過點P(4,0)的直線為考點5 圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓

6、錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點內(nèi)容，要能夠熟練運用；常用的解題技巧要熟記于心.例7在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.（1）求圓C的方程；（2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.考查目的本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力解答過程 (1) 設(shè)圓C 的圓心為 (m, n) 則 解得 所求的圓的方程為 (2) 由已知可得 ，

7、橢圓的方程為 , 右焦點為 F( 4, 0) ; 假設(shè)存在Q點使,整理得 ， 代入 得: , 因此不存在符合題意的Q點.例8如圖,曲線G的方程為.以原點為圓心，以 為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于 A 與點B. 直線 AB 與 x 軸相交于點C.（）求點 A 的橫坐標 a 與點 C 的橫坐標c的關(guān)系式；（）設(shè)曲線G上點D的橫坐標為,求證：直線CD的斜率為定值. 考查目的本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標素中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關(guān)系，考查運算能力與思維能力，綜合分析問題的能力. 解答過程（I）由題意知，因為由于 （1）由點B（0

8、，t），C（c，0）的坐標知，直線BC的方程為又因點A在直線BC上，故有將（1）代入上式，得解得 .（II）因為，所以直線CD的斜率為，所以直線CD的斜率為定值.例9已知橢圓，AB是它的一條弦，是弦AB的中點，若以點為焦點，橢圓E的右準線為相應(yīng)準線的雙曲線C和直線AB交于點，若橢圓離心率e和雙曲線離心率之間滿足，求：（1）橢圓E的離心率；（2）雙曲線C的方程.解答過程：（1）設(shè)A、B坐標分別為， 則，二式相減得： ， 所以， 則；（2）橢圓E的右準線為，雙曲線的離心率， 設(shè)是雙曲線上任一點，則： ， 兩端平方且將代入得：或， 當時，雙曲線方程為：，不合題意，舍去； 當時，雙曲線方程為：，即為所

9、求.小結(jié)：（1）“點差法”是處理弦的中點與斜率問題的常用方法； （2）求解圓錐曲線時，若有焦點、準線，則通常會用到第二定義.考點6 利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題 利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計算.典型例題：例10雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線y=為C的一條漸近線.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）.當，且時，求Q點的坐標.考查意圖: 本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力,以及運用數(shù)形結(jié)合思想,方程和轉(zhuǎn)化的思想解決問題的能力.解答過程：（）設(shè)雙曲線方程為, 由

10、橢圓,求得兩焦點為，對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線 解得 ，雙曲線的方程為（）解法一：由題意知直線的斜率存在且不等于零.設(shè)的方程：，,則.,.在雙曲線上， .同理有：若則直線過頂點，不合題意.是二次方程的兩根.,，此時.所求的坐標為.解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，則.， 分的比為.由定比分點坐標公式得下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.， .， ，又， ,即.將代入得.，否則與漸近線平行.解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，,則,.同理.即.（*）又消去y得.當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，.由韋達定理有

11、： 代入（*）式得.所求Q點的坐標為.例11設(shè)動點P到點A(l，0)和B(1，0)的距離分別為d1和d2，APB2,且存在常數(shù)(01,使得d1d2 sin2（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；（2）過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點,試確定的范圍,使·0,其中點O為坐標原點考查目的本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力解答過程解法1：（1）在中，即，即（常數(shù)），點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線方程為：（2）設(shè)，當垂直于軸時，的方程為，在雙曲線上即，因為，所以當不垂直于軸時，設(shè)的方程為由得：，由

12、題意知：，所以，于是：因為，且在雙曲線右支上，所以由知，解法2：（1）同解法1（2）設(shè)，的中點為當時，因為，所以；當時，又所以；由得，由第二定義得所以于是由得因為，所以，又，解得：由知考點7 利用向量處理圓錐曲線中的最值問題 利用向量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)求最值的方法求最值，要比只利用解析幾何知識建立等量關(guān)系容易.例12設(shè)橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為，過點的直線交橢圓E于A、B兩點，且，求當?shù)拿娣e達到最大值時直線和橢圓E的方程.解答過程：因為橢圓的離心率為，故可設(shè)橢圓方程為，直線方程為，由得：，設(shè)，則又，故，即由得：，則，當，即時，面積取最大值，此時，即，

13、所以，直線方程為，橢圓方程為.小結(jié)：利用向量的數(shù)量積構(gòu)造等量關(guān)系要比利用圓錐曲線的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系容易.例13已知，且， 求的最大值和最小值.解答過程：設(shè)，因為，且，所以，動點P的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為6的橢圓，橢圓方程為，令，則，當時，取最大值，當時，取最小值.小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，可以將復(fù)雜的代數(shù)運算化為簡單的三角運算.考點8 利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題 解析幾何中求變量的范圍，一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題.例14已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點.（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直

14、線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.考查意圖:本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.解答過程：（I）圓過點O、F，圓心M在直線上.設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根.記中點則的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標的取值范圍為例15已知雙曲線C：，B是右頂點，F(xiàn)是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線，垂足為P，（1）求證：；（2）若與雙曲線C的左、右兩支分別相

15、交于點D,E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.解答過程：（1）因成等比數(shù)列，故，即，直線：，由，故：，則：，即；（或，即）（2）由，由得：（或由）小結(jié)：向量的數(shù)量積在構(gòu)造等量關(guān)系中的作用舉足輕重，而要運用數(shù)量積，必須先恰當?shù)厍蟪龈鱾€點的坐標.例16已知， （1）求點的軌跡C的方程； （2）若直線與曲線C交于A、B兩點，且， 試求m的取值范圍.解答過程：（1），因，故，即，故P點的軌跡方程為.（2）由得：，設(shè)，A、B的中點為則，即A、B的中點為，則線段AB的垂直平分線為：，將的坐標代入，化簡得：，則由得：，解之得或，又，所以，故m的取值范圍是.小結(jié)：求變量的范圍，要注意式子的隱含條件，否則會產(chǎn)生

16、增根現(xiàn)象.考點9 利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題 存在性問題，其一般解法是先假設(shè)命題存在，用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點的坐標，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成立.例17已知A,B,C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓的中心O，且，（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實數(shù)，使得？請說明理由；解答過程：（1）以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則，設(shè)橢圓方程為，不妨設(shè)C在x軸上方，由橢圓的對稱性，又，即為等腰直角三角形，由得：，代入橢圓方程得：，即，橢圓方程為；（2）假設(shè)總

17、存在實數(shù)，使得，即，由得，則，若設(shè)CP：，則CQ：，由，由得是方程的一個根，由韋達定理得：，以代k得，故，故，即總存在實數(shù)，使得.評注：此題考察了坐標系的建立、待定系數(shù)法、橢圓的對稱性、向量的垂直、向量的共線及探索性問題的處理方法等，是一道很好的綜合題.考點10 利用向量處理直線與圓錐曲線的關(guān)系問題 直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般情況下，是把直線的方程和曲線的方程組成方程組，進一步來判斷方程組的解的情況，但要注意判別式的使用和題設(shè)中變量的范圍.例18設(shè)G、M分別是的重心和外心，且， （1）求點C的軌跡方程； （2）是否存在直線m，使m過點并且與點C的軌跡交于P、Q兩點，且？若存在，求出直線m的

18、方程；若不存在，請說明理由.解答過程：（1）設(shè)，則， 因為，所以，則， 由M為的外心，則，即， 整理得：；（2）假設(shè)直線m存在，設(shè)方程為， 由得：， 設(shè)，則， ， 由得：， 即，解之得， 又點在橢圓的內(nèi)部，直線m過點， 故存在直線m，其方程為.小結(jié)：（1）解答存在性的探索問題，一般思路是先假設(shè)命題存在，再推出合理或不合理的結(jié)果，然后做出正確的判斷； （2）直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般最終都轉(zhuǎn)化成直線的方程和圓錐曲線的方程所組成的方程組的求解問題.專題訓(xùn)練1如果雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，那么雙曲線方程是 2已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么雙曲線的的漸近線方程為 3已知為橢圓的焦點

19、，M為橢圓上一點，垂直于x軸， 且，則橢圓的離心率為 4二次曲線，當時，該曲線的離心率e的取值范圍是 5直線m的方程為，雙曲線C的方程為，若直線m與雙曲線C的右支相交于不重合的兩點，則實數(shù)k的取值范圍是 6已知圓的方程為，若拋物線過點，且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點的軌跡方程為 7已知P是以、為焦點的橢圓上一點，若 ，則橢圓的離心率為 _ .8已知橢圓x2+2y2=12，A是x軸正方向上的一定點，若過點A，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，點A的坐標是_ .9P是橢圓上的點，是橢圓的左右焦點，設(shè)，則k的最大值與最小值之差是_ .10給出下列命題： 圓關(guān)于點對稱的圓的方程是；雙曲線右支上一點

20、P到左準線的距離為18，那么該點到右焦點的距離為；頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且經(jīng)過點的拋物線方程只能是；P、Q是橢圓上的兩個動點，O為原點，直線OP,OQ的斜率之積為，則等于定值20 .把你認為正確的命題的序號填在橫線上_ .11已知兩點，動點P在y軸上的射影為Q， （1）求動點P的軌跡E的方程； （2）設(shè)直線m過點A，斜率為k，當時，曲線E的上支上有且僅有一點C到直線m的距離為，試求k的值及此時點C的坐標.12如圖，是雙曲線C的兩焦點，直線是雙曲線C的右準線， 是雙曲線C的兩個頂點，點P是雙曲線C右支上異于的一動點，直線、交雙曲線C的右準線分別于M,N兩點，（1）求雙曲線C的方程；（2）求

21、證：是定值.13已知的面積為S，且，建立如圖所示坐標系，（1）若，求直線FQ的方程；（2）設(shè)，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓過點Q，求當取得最小值時的橢圓方程.14已知點，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；（2）過點作直線m與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點，使得為等邊三角形，求的值.15已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求 的取值范圍；16已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使成公差小于零的等差數(shù)列，（）點P的軌跡是什么曲線？（）若點P坐標為，為的夾角，求tan【參考答案】1,3,51提示，設(shè)雙曲線方程為，將點代入求出即可.2因為雙曲線的焦點在x軸上，故橢圓焦點為，雙曲線焦點為，由得，所以，雙曲線的漸近線為 .3設(shè)，則， .4.曲線為雙曲線，且，故選C；或用，來計算.5將兩方程組成方程組，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式組.6數(shù)形結(jié)合，利用梯形中位線和橢圓的定