[推薦學(xué)習(xí)]高中數(shù)學(xué)第一章解三角形.正弦定理和余弦定理..余弦定理課堂探究學(xué)案新人教B必

1、生活的色彩就是學(xué)習(xí)1.1.2余弦定理課堂探究一、三角形中的四類根本問題剖析：解三角形的問題可以分為以下四類：(1)三角形的兩邊和其中一邊的對角，解三角形此種情況的根本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角，再用正弦定理求出第三邊，注意判斷解的個數(shù)(2)三角形的兩角和任一邊，解三角形此種情況的根本解法是假設(shè)所給邊是角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求第三邊假設(shè)所給邊不是角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊(3)兩邊和它們的夾角，解三角形此種情況的根本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定

2、理或余弦定理求另一角，最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個角(4)三角形的三邊，解三角形此種情況的根本解法是先用余弦定理求出一個角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個角，最后用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角二、教材中的“？在ABC中，令c，b，a，你能通過計算|a|2a·a證明余弦定理嗎？剖析：如下圖，|a|2a·aa2·()·()2·2|cos Ab2c22bccos A，即a2b2c22bccos A同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C知識拓展：除了向量法和幾何法來證明余弦定理外，我們還可以用坐標(biāo)法或正弦定理來解決(1)

3、(坐標(biāo)法)如下圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(0，0)，B(ccos A，csin A)，C(b，0)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得a=|BC|=，a2=c2cos2A-2bccos A+b2+c2sin2A，即a2=b2+c2-2bccos A同理可得b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C(2)(用正弦定理證明)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，b2c22bccos A4R2(sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A)4R2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos(BC)

4、4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C)4R2sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B)2sin B sin Ccos Bcos C4R2(sin2Bcos2C2sin Bsin Ccos Bcos Csin2Ccos2B)4R2sin2(BC)4R2sin2Aa2同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C題型一用余弦定理解三角形【例1】 在ABC中：(1)a1，b1，C120°，求c；(2)a3，b4，c，求最大角；(3)abc12，求A，B，C分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中

5、，大邊對大角；(3)可設(shè)三邊為x，x，2x解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcos C12122×1×1×3，c(2)顯然C最大cos C，C120°(3)由于abc12，可設(shè)ax，bx，c2x由余弦定理，得cos A，A30°同理cos B，cos C0，B60°，C90°反思：(1)本例為余弦定理的最根本應(yīng)用，要在此根底上熟練地掌握余弦定理的結(jié)構(gòu)特征(2)對于第(3)小題，根據(jù)條件，設(shè)出三邊長，由余弦定理求出A，進(jìn)而求出其余兩角另外也可由邊長關(guān)系，判斷出C為直角，再求角題型二判斷三角形的形狀【例2】 在ABC中，

6、(abc)(bca)3bc，且sin A2sin B·cos C，試確定ABC的形狀分析：利用余弦定理先求出A60°，再根據(jù)三角變換公式求得BC解：(abc)(bca)3bc，a2b2c2bc而a2b2c22bccos A，2cos A1cos AA60°又sin Asin(BC)sin Bcos Ccos B sin C，sin A2sin B·cos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0，BC又BC120°，ABC60°故ABC為等邊三角形反思：(1)判斷三角形的形狀是看該三角形是否為某特殊的三角形(

7、如銳角、直角、鈍角、等腰、等邊三角形等)(2)對于給出條件是邊角關(guān)系混合在一起的問題，一般地，應(yīng)運(yùn)用正弦定理和余弦定理，要么統(tǒng)一為邊的關(guān)系，要么統(tǒng)一為角的關(guān)系再利用三角形的有關(guān)知識、三角恒等變形方法、代數(shù)恒等變形方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡，從而得出結(jié)論(3)常見結(jié)論：設(shè)a，b，c分別是ABC的角A，B，C的對邊，假設(shè)a2b2c2，那么C90°；假設(shè)a2b2>c2，那么C<90°；假設(shè)a2b2<c2，那么C>90°；假設(shè)sin 2Asin 2B，那么AB或AB題型三三角形的面積公式的應(yīng)用【例3】 在ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，且求：(

8、1)B的大??；(2)假設(shè)b，ac4，求ABC的面積分析：先由余弦定理求出B，再結(jié)合條件列方程求出ac，利用面積公式求出ABC的面積解：(1)，整理，得a2c2b2ac，cos B，從而B120°(2)由(1)得a2c2ac13又ac4，a2c22ac16由，得ac3，SABCacsin B×3×sin 120°反思：求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉(zhuǎn)化為求兩邊及夾角的正弦問題，要注意方程思想在解題中的應(yīng)用題型四正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】 (2021·課標(biāo)全國高考，理17)如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為A

9、BC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90°(1)假設(shè)PB，求PA；(2)假設(shè)APB150°，求tanPBA分析：(1)在PBA中，利用余弦定理求得PA；(2)在PBA中，再利用正弦定理列出與PBA和APB有關(guān)的方程即可解：(1)由得PBC60°，所以PBA30°在PBA中，由余弦定理得PA232××cos 30°故PA(2)設(shè)PBA，由得PBsin 在PBA中，由正弦定理得，化簡得cos 4sin 所以tan ，即tanPBA反思：正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用關(guān)鍵要明確的邊和角及所求，正弦定理尤其在邊角轉(zhuǎn)化方面功能顯著余弦定理的使用要注意選

10、擇好“第三邊，這樣才能列出有效的方程，再者要熟練掌握三角變換公式，這在解三角形中經(jīng)常用到題型五易錯辨析【例5】 在銳角ABC中，b1，c2，那么a的取值范圍是()A1<a<3 B1<a< C<a< D不確定錯解：由三角形的性質(zhì)，知cb<a，得a>1又A為銳角，從而cos A>0，得0<a<所以1<a<應(yīng)選B錯因分析：上述解法無視了三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，即ABC180°，cos A>0只能推出A為銳角，而不能推出ABC一定為銳角三角形，因?yàn)锳BC180°，所以當(dāng)ABC為銳角三角形時，不僅cos A>0，還必須滿足cos B>0，cos C>0正解：由三角形的性質(zhì)，知cb<a，得a>1又由cos A>0，得0<a<由cos B>0，得aR由cos C>0，得a>綜上，知<a<答案：C【例6】 在ABC中，a2，b2，C15°，求A錯解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C482×2×2×84，所以c又由正弦定理，得sin A因?yàn)?°<A<180