慣性張量介紹

1、轉(zhuǎn)動慣量創(chuàng)作：歐陽計時間：2021.02. 11轉(zhuǎn)動慣量，又稱慣性距、慣性矩（俗稱慣性力距、慣性力矩， 易與力矩混淆），通常以I表示，SI單位為kg * m2,可說是一 個物體對于旋轉(zhuǎn)運動的慣性。對于一個質(zhì)點,I二mr2,其中m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點和轉(zhuǎn)軸的垂 直距離。NZ=£ m棄對于一個有多個質(zhì)點的系統(tǒng)，O若該系統(tǒng)由剛體組成，可以用無限個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量和，即用 積分計算其轉(zhuǎn)動慣量。如果一個質(zhì)量為m的物件，以某條經(jīng)過A點的直線為軸，其轉(zhuǎn) 動慣量為厶。在空間取點&使得AB垂直于原本的軸。那么如 果以經(jīng)過3、平行于原本的軸的直線為軸，AB的距離為d,則 =Ia + md2o力距在直

2、線運動，F(xiàn) - mao在旋轉(zhuǎn)運動，則有t二I a ,其中t是力 矩，Q是角加速度。動能._ 1 2一般物件的動能是人=2mv o將速度V和質(zhì)量m,用轉(zhuǎn)動力學(xué) 的定義取代：得出簡化得K = 2/W o如果一個人坐在一張可轉(zhuǎn)動的椅子，雙手拿重物，張開雙 手，轉(zhuǎn)動椅子，然后突然將手縮到胸前，轉(zhuǎn)動的速度將突然增 加，因為轉(zhuǎn)動慣量減少了。慣性張量對于三維空間中任意一參考點Q與以此參考點為原點的直角座 標(biāo)系Qxyz ,個剛體的慣性張量I是厶c I 利 4J。(1)這里，對角元素人工、1列、&分別為對于x軸、y軸、z軸的慣 性矩。設(shè)定仗，爐勿為微小質(zhì)量由“對于點q的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地

3、用方程式定義為T 妲1 XX ,1 y2 + z2 dmT def 如=J1 x2 + z2 dm，(2)/w&翌i1 g2 + y2 dm而非對角元素，稱為慣性積，可以定義為導(dǎo)引圖A如圖A , 一個剛體對于質(zhì)心G與以點G為原點的直角座標(biāo)系 Gxyz的角動量L&定義為Lg = r x v dm 這里，r代表微小質(zhì)量力門在Gxyz座標(biāo)系的位置，v代表微小質(zhì) 量的速度。因為速度是角速度3叉積位置，所以，L& = / r x (a x I*) dm 計算x軸分量，相似地計算y軸與z軸分量，角動量為La = 3工y2 + z2 dm 氣xy dm _ 仏 / xz dm Lay

4、 =血xy dm + ujy / a;2 + z2 dm _ 込 / yz dmLqx I z dm ujy / yz dm + cdx x2 + y2 dm如果，我們用方程式（1）設(shè)定對于質(zhì)心G的慣性張量0,讓角 速度3為（山，%，S'J，那么，Lg = Ig *。（4） 平行軸定理平行軸定理能夠很簡易的，從對于一個以質(zhì)心為原點的座 標(biāo)系統(tǒng)的慣性張量，轉(zhuǎn)換至另外一個平行的座標(biāo)系統(tǒng)。假若已 知剛體對于質(zhì)心G的慣性張量Ig,而質(zhì)心G的位置是 仗，隊訂，則剛體對于原點0的慣性張量L依照平行軸定理， 可以表述為I血=1g,xx + m（y2 + *）,Iyy =】g洌+ m（無+ w ）,J

5、 = Ig 產(chǎn) + m（* +）， by =如=匕刊-mxyfI球=I旺=【g嚴(yán)一（6）G =隔=Ig 臚-m yzo證明：圖Ba）參考圖B,讓 0 y ： ”）、©匕R分別為微小質(zhì)量dm對質(zhì) 心G夕原點。的相對位置：y = yf + y, z = zf + z o依照方程式(2),G= y,2+z,2dmlxx = J所以，相似地，可以求得？旳、厶，的方程式。b）依照方程式（3）,I 刊=_ jxfyf dm= xy dm0j0因為 x = x' + t, y = y' + y f 所以相似地，可以求得對于點o的其他慣性積方程式。對于任意軸的慣性矩圖c參視圖c ,

6、任意一點， 是設(shè)定點0為直角座標(biāo)系的原點，點Q為三維空間里Q不等于0。思考一個剛體，對于OQ軸的慣性矩/ |可 x r|2 dm展開叉積,稍微加以編排,這里，P是微小質(zhì)量師離OQ軸的垂直距離，是沿著OQ軸 的單位向量，匕S刀是微小質(zhì)量由72的位置。一耳皿）2 + （闢 一 Tyxy2 dm.o特別注意，從方程式(2)、(3),這些積分項目，分別是剛體對于x軸、y軸、z軸的慣性矩與慣性積。因此， y-【QQ =耳丿工工+ 7/y/yy + 2葉罰書1巧+ 2丁工樂1 班+ 2?/回羯。如果已經(jīng)知道，剛體對于直角座標(biāo)系的三個座標(biāo)軸，X 軸、 軸、z軸的慣性矩。那么，對于OQ軸的慣性矩，可以用此方程

7、 式求得。主慣性矩因為慣性張量I是個實值的三維對稱矩陣，我們可以用對角線 化，將慣性積變?yōu)榱悖箲T性張量成為一個對角矩陣。所得 到的三個特征值必是實值；三個特征向量必定互相正交。我們I 3 =入 (8)或者，【直込入展開行列式，需要求解I列J NJ -J1W/'1 疔為 B 入?？梢缘玫揭粋€三次方程式。方程式的三個根入1、 入2、入3都是正的，實值的特征值。將特征值代入方程式(8),再 加上方向余弦方程式，+我們可以求到特征向量"1、©2、必3。這些特征向量都是剛體 的慣量主軸；而這些特征值則分別是剛體對于慣量主軸的主慣 性矩。假設(shè)x軸、y軸、z軸分別為一個剛體的慣

8、量主軸，這剛體的主 慣性矩分別為人、厶八厶，角速度是3。那么，角動量為 動能 剛體的動能K可以定義為人尹+訪V ",這里，©是剛體質(zhì)心的速度，是微小質(zhì)量相對于質(zhì)心的速 度。在方程式里，等號右邊第一個項目是剛體平移運動的動 能，第二個項目是剛體旋轉(zhuǎn)運動的動能X"。由于這旋轉(zhuǎn)運動是 繞著質(zhì)心轉(zhuǎn)動的，K? = * (cj x r) (cj x r) dm這里，a是微小質(zhì)量dm繞著質(zhì)心的角速度，r是dm對于質(zhì)心的1 f1Kf =3 r x(3 x r) dm = -lj L相對位置。因此， 2 J2 o或者，宀扣T"所以K = -7HV2 + -(IXX(JX2 + Izzz 2 + 2 如0嗎 + 2Ixx(Vg