高等數(shù)學 同濟二版上冊課后答案

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流高等數(shù)學 同濟二版上冊課后答案.精品文檔.第一章1-4節(jié)1、計算下列極限7）分析：本題分子分母同時趨近于0，根據(jù)表達式的形式，考慮利用約分將趨于0的項約去。解：原式9）分析：本題分子分母同時趨于0，但不能約分，利用復(fù)合函數(shù)求極限，通過變量替換進行求解解一：令。解二：利用三角函數(shù)的和差化積，以及等價替換11）(應(yīng)該為4)13）本題利用了分子有理化2、計算下列極限1）解：因為，無窮小與有界函數(shù)之積仍然為無窮小，所以原式=02）3）第一章1-5節(jié)1、計算下列極限2）解法2：原式5）解法2：原式7）分析：本題利用了變量替換和等價替換9）分析：時，。利

2、用10）2、計算下列極限1）3）6）7）8）3、利用夾逼準則證明：1）證明：令，（或）則，且，根據(jù)夾逼準則，2）證明：令，（或）則，且，根據(jù)夾逼準則，3）證明：令，則。因為 ，所以，因而。4）證明：，所以（B）1、計算下列極限：1）2）3）4）5）6）7）8）3、要使，其中的常數(shù)應(yīng)取何值？解：，則.1-65、利用等價無窮小的代換性質(zhì)，計算下列極限1）2）3）4）5）6）7）8）（B）2、設(shè)，如果時，是無窮小量，則與應(yīng)如何選擇？解：根據(jù)題意，因此。3、計算下列極限1）2) 3) 4) 5) 7) 8) 9) 1-8A-1、證明方程至少有一根在1與2之間。證明：，而上是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)零點存在定理，

3、在之間存在零點，即方程至少有一根在1與2之間。A-2、設(shè)，證明方程至少有一正根，并且它不超過。證明：令，則若，則為方程的一個根。否則，根據(jù)零點存在定理，至少有一根位于。命題成立。A-3、證明方程有且只有一個小于1的正根。證明：令，則，根據(jù)零點存在定理，在至少存在一個根。另一方面，令，所以為上的嚴格單調(diào)增加的函數(shù)，因此原方程有且只有一個小于1的正根。A-4、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，證明方程在上至少存在一根。證明：令，則，因為，所以，若，則0和1均為原方程的根。否則，根據(jù)零點存在定理，原方程在上至少有一根。證明完畢。A-5、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且它的值域也是，證明至少存在一點，使。證明：令，則。若或，則命

4、題成立。否則，根據(jù)零點存在定理，命題依然成立。B-3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，。證明，至少存在一點，使得證一：令，因為在上連續(xù)，則在上連續(xù)。令在和處分別取得上的最大值和最小值，因為所以。若或，則命題成立。否則，根據(jù)零點存在定理，至少存在一點，使，故原命題依然成立。證二：令在上的最大和最小值為和，根據(jù)介值定理，至少存在一點，使得。第二章2-1B-3、設(shè)，討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解：，顯然在處連續(xù)。又，因此在處可導(dǎo)。B-4、函數(shù)，所以連續(xù)，所以可導(dǎo)B-5、設(shè)存在，且，求解：。B-6、設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，求。極限存在的充要條件是，。B-7、函數(shù)在第一類間斷處能否同時存在左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。解：因為。若左導(dǎo)數(shù)存在，

5、則，即。同理左導(dǎo)數(shù)存在，則，即?？梢娫诘谝活愰g斷處左、右導(dǎo)數(shù)不可能同時存在，否則連續(xù)，與已知條件矛盾。B-8、設(shè)，其中在處連續(xù)，求。解：2-2A-3、1）解：A-3、3）解：A-3、4）解： A-3、5）解：A-3、7）解：A-3、8）解：A-4、1)解：A-4、2)解：A-4、3)解：A-4、4)解：A-4、5)解：A-4、6)解：A-4、7)解：A-4、8)解：A-8、1)解：，A-8、2)解：，A-8、3)解：，A-8、4)解：，A-8、5)解：，A-8、6)解：A-8、7)解：，A-8、8)解：，B-2、1），2），B-3、設(shè)，令，求。解：令，注：本題關(guān)鍵是把看成，的復(fù)合函數(shù)。B-4、

6、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求解：對于不熟悉的同學來說，本題最好先將函數(shù)進行復(fù)合，然后進行求導(dǎo)。另解：令，。則，B-5、設(shè)且，求解：令，則所以，即第二章第三節(jié)1、求下列各方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1）解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：，解得2）解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：，解得3）解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：，解得4）解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：，解得5）解：方程兩邊取對數(shù)得：。再在兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：，解得6）解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：。解得：2、求曲線在點處的切線方程和法線方程。解：曲線方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：。解得：。所以曲線在點處的切線方程的斜率為，法線方程的斜率為?？傻们芯€方程為：，即法線方程為：，即3、求下列參數(shù)方程所確

7、定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1）解：2）解：3）解：4）解：4、已知，求時的值。解：5、利用對數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1）解：兩邊取對數(shù)得：。再在兩邊對求導(dǎo)得：2）解：兩邊取對數(shù)得：。再在兩邊對求導(dǎo)得：3）；解：兩邊取對數(shù)得：。再在兩邊對求導(dǎo)得：4）解：兩邊取對數(shù)得：。再在兩邊對求導(dǎo)得：6、設(shè)一球狀雪球正在融化，其體積以的速率減少，問當直徑為時，直徑減少的速率為多少？解：令雪球的半徑和體積分別為，則。依題目意，又有，故，時，（）。7、一氣球離開觀察員處離地上升，上升速率為。當氣球高度為時，觀察員視線的仰角增加率是多少？解：令氣球高度為時仰角為，則，當氣球高度為時，觀察員視線的仰角增加率8、溶液從深為，

8、頂直徑為的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為的圓柱形筒中，開始時漏斗中盛滿了溶液，已知當溶液在漏斗中深為時，其表面下降的速率為，問此時圓柱形溶液表面上升的速率為多少？解： 令溶液在漏斗中深為時，表面下降的速率為，液面半徑為，圓柱形下降速度為，根據(jù)體積平衡，流出液體與流入液體體積相等，故。而，所以：B部分1、設(shè)，求解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：。在原方程中代入得，。將和代入導(dǎo)數(shù)方程得：，解得。2、設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，試求導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：。在原方程中代入得，。將和代入導(dǎo)數(shù)方程得：，3、設(shè)，且當時，求和。解：依題意，令，則，即4、設(shè)為橢圓外的一點，過點作橢圓的切線，求該切線的方程。解：橢圓方程兩

9、邊對求導(dǎo)數(shù)得：，。令為該切線與橢圓的交點，則切線的斜率為：，另一方面為該切線與橢圓的交點，則。聯(lián)立這兩個方程：，得：，。得，所以切線方程為：或。5、設(shè)，求（本題為參數(shù)所決定的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)結(jié)合的一個題目）解：，所以。第二章第四節(jié)A-6、求下列函數(shù)的微分1），2），3），4），5），6），7），8），B-1、求下列函數(shù)的微分：1），2），3），4）解：令，兩邊取對數(shù)得：，兩邊再取導(dǎo)數(shù)得：，所以，即。B-2、計算下列各量的近似值：1）2)3)4)因為，所以5)3、說明在充分小時，有近似公式解：令，微分公式成立：，所以利用這一公式，4、已知測量球的直徑D時，有的誤差。試問用計算球的體積時，

10、相對誤差有多少？解：由相對誤差公式，體積的相對誤差為5、利用微分計算當由變到時函數(shù)的增量的近似值（弧度）解：，由微分公式得：6、第三章3-11、對函數(shù)在上驗證羅爾定理。解： 在上連續(xù)，且在可導(dǎo)，又，所以滿足羅爾定理。， ，。2、試證明：函數(shù)在任何區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理所求得的點總是該區(qū)間的中點。證明一：在任意區(qū)間上連續(xù)，且在上連續(xù)，所以，使解得：。證明二：，所以，命題成立。3、證明：方程在內(nèi)不可能有兩個不同的根。證明（用反證法）：假設(shè)在內(nèi)有兩個不同的根，令，根據(jù)羅爾定理，使，而這一方程在上無解，證明完畢。說明：這里沒有嚴格驗證羅爾定理。4、設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明：在內(nèi)至少有

11、點，使得。證明：因為在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，所以在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由羅爾定理，使。同理，使。同樣因為在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，在在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，所以，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，根據(jù)羅爾定理，使。5、已知函數(shù)，不求的導(dǎo)數(shù)，討論方程的實根并指出它們所在的區(qū)間。解：是多項式函數(shù)，所以在上連續(xù)并可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)為3次多項式。另一方面，根據(jù)羅爾定理，使。同理，使；，使。因為為3次多項式，所以不存在其它根。6、證明：在上，恒成立。證明：，所以。另外，所以。7、下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的條件？若滿足，則在該開區(qū)間內(nèi)求，使。1），解：，顯然在處導(dǎo)數(shù)不存在，所以不滿足羅爾定理。2），解：顯然在處無意義，所

12、以在上不連續(xù)，所以不滿足羅爾定理。3），解：顯然在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，所以滿足羅爾定理。在上，使。4），解：，兩者不相等，所以不滿足羅爾定理。5），解：因為時，所以，因而在上連續(xù)。又不存在，所以在上不可導(dǎo)，所以不滿足羅爾定理。8、應(yīng)用拉格郎日中值定理證明下列不等式：1）證明：時命題顯然成立。若，令，則在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，使，所以，。2）證明：令，若，則在上連續(xù)，在可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，使。因為且所以。而當時，在上連續(xù)，在可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，使，且，所以。證畢。3）證明：令，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，由拉格郎日中值定理，使。所以有，4）證明：令，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，由拉

13、格郎日中值定理，使，所以。因為，所以，因而。9、下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足柯西中值定理的條件？若是，則寫出結(jié)論并求。1），解：，因此不滿足柯西中值定理條件。2），解：，在上和均不為零，因此滿足柯西中值定理條件。，因為，解得。3），解：，在上和均不為零，因此滿足柯西中值定理條件。，解得。10、求下列未定式的極限：1）2）3）這里利用了。因為時，故。4）5）6）7) 8) 9) 另解：10）11）12）13）14）15）16）17) 18) 11、驗證存在，但不能用洛必達法則求出。解：而中，不存在，故不存在，所以該極限不能用洛必達法則求出。第三章第二節(jié)3、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1）解：的定義域為，

14、在此區(qū)間上連續(xù)而且可導(dǎo)。，令，解得（舍去），。在上，所以在而在上單調(diào)下降；在上，所以在而在上單調(diào)增加。2）解：的定義域為，在此區(qū)間上連續(xù)而且可導(dǎo)。，令，解得，。在上，所以在而在上單調(diào)增加；在上，所以在而在上單調(diào)下降；在上，所以在而在上單調(diào)增加。3）解：時，無意義，所以的定義域為。，（），所以在處連續(xù)。當時，所以在而在上單調(diào)增加。而當時，令，得。當時，所以在和上單調(diào)下降。當時，所以在而在上單調(diào)增加。4、求下列函數(shù)的最大值和最小值。1）解：在上連續(xù)，令，得，。，。所以最大值為，最小值為。2）解一：令，再令，可得，。，令，得。，。所以最大值為，最小值為。解二：將寫成分段函數(shù)，再行求解。3）解：，令得

15、，。的定義域為，在、處不可導(dǎo)。，。所以最大值為，最小值為。5、證明：只有一個實根證明：令，顯然。又，令，得。當時，所以在上為單調(diào)下降的函數(shù)；又時，即在上為單調(diào)增加的函數(shù)，所以為的唯一零點，即只有一個實根。6、要做一個帶蓋的長方形盒子，其容積為，其底邊成，問此盒子各邊長為多少時，所用材料最?。幢砻娣e最小）。解：令兩條底邊、及高的長度分別為、，則，。長方體盒子表面積，令，得。所以此盒子各邊長分別為：時，所用材料最省。7、求一個內(nèi)接于半圓的矩形邊長，使該矩形的周長為最大(已知圓的半徑為)解：令該矩形垂直于圓直徑的邊長為，則另一邊長為，矩形周長為，令，得。矩形的一邊長為，另一邊長為時周長最大。8、一

16、艘停泊在海中的軍艦，離海岸（垂直距離），離海岸上的兵營，今欲從艦上送信到兵營，已知送信的人步行速度是，劃船的速度是，問送信的人應(yīng)在何處上岸，才能使信在最短的時間內(nèi)到達兵營（假定海岸線是直的）解：令送信人在離兵營處上岸時間最短，過軍艦向海岸線作垂線，垂足到兵營的距離為，軍艦到上岸處的距離為，送信的人花的總時間為：，令，得。即送信人在離兵營處所花時間最短。9、求點到曲線的最短距離。解：令點到曲線的點之間的距離最短，則，得，令，得，。B部分1、試問為何值時，函數(shù)在取得極值。解： ，若在處取極值，則有，解得：。又，所以時，在處取極大值。2、試證明：如果函數(shù)滿足條件，那么這函數(shù)沒有極值。證明：若，則無解

17、，所以原函數(shù)沒有極值。3、證明下列不等式：1）當時，證明：令，則，當時，在上單調(diào)下降，所以時，所以。而時，在上單調(diào)增加，故，所以。2）當時，。證明：當時，令，所以，因而，故有4、求函數(shù)在上的最大值和最小值。解：，令，得，在處不可導(dǎo)， ，。所以最大值為，最小值為。5、證明：當時，證明：令，當時，原不等式等價于。令，則，且時，即是上的單調(diào)下降函數(shù)，所以時，即，從而原不等式成立。第三章第三節(jié)3、確定下列曲線的凸性和拐點1）解：令，得，。令，得,。列表如下：20+0+00+極小拐點極大拐點2）解：令，得。令，得，。0+0+0拐點極小拐點3）解：，令，得。當時，；時，所以在上是向上凸的，在上是向上凹的；

18、為拐點。習題4-1（A）3、利用基本積分公式求下列不定積分（2）（3）（6）（8）4、求下列不定積分（1）（2）（4）（7）5、（1）設(shè)曲線上點處的切線斜率為，并且曲線經(jīng)過點，求該曲線的方程。解：令該曲線為，即為的一個原函數(shù)。，所以，其中為某一實數(shù)。又曲線經(jīng)過點，代入曲線函數(shù)得：，解得，所以。習題4-1（B）1、計算下列不定積分（1）（2）（3）（4）習題4-2A部分1、設(shè)是的原函數(shù)，試求下列各式的積分（1）（2）（3）（4）3、求下列不定積分1）2）3）4）5）6）7）8）9）10）11）12）13）14）15）16）17）18）B部分1、求下列不定積分1）2）3）4）5）6）7）9）10）

19、11）12）所以原式另解：B部分1、求下列不定積分1）另解：1）3）4）5）6）7）9）12）所以原式另解：2、求下列不定積分1）5）7）8）習題4-31、2、3、4、5、6、7、8、原式=9、原式10、11、12、13、14、15、16、所以B部分1、 求下列不定積分1）2）3）解2：4）、5）所以6）7）8）2、 設(shè)的一個原函數(shù)，且連續(xù)，求解：3、 求其中連續(xù)。解：5-2A3、利用微積分基本公式求下列定積分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）解：，所以（11）解：原式（12）（13），其中。解：（14），其中。解：4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）解：【直接利用公式：】（

20、2）解一：原函數(shù)可視為與的復(fù)合函數(shù)，從而解二：直接利用公式（3）解一：原函數(shù)可視為與的復(fù)合函數(shù)，從而解二：直接利用公式（4）解：習題5-2（B）1. 計算下列定積分（1）解：（2）解：所以（3）解：（4）解：（5）（為正整數(shù)）解：（6）解：所以：（7）解：（8）解： （9）解：（10）解：2. 計算下列極限：（1）解：（2）解：3. 設(shè)上連續(xù)，可導(dǎo)， 證明：證明：，由復(fù)合， ，同理。因此。4、計算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）解：（2）解：5、設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在上的表達式。解：當時，；當時，；當時，所以。6、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，非負并且單調(diào)增加，證明：函數(shù)在上單調(diào)增加。證明：因為在區(qū)間非負且單調(diào)增加，當時

21、，成立，因此，故在上單調(diào)增加。7、設(shè)是周期為T，并且在上連續(xù)的函數(shù)，證明定積分是與無關(guān)的常數(shù)。證明：根據(jù)定積分性質(zhì)中積分域的可加性，。令，則，時，；時，。從而。所以，顯然是與無關(guān)的常數(shù)。習題5-3（A）1、 計算下列定積分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解：（11）解：（12）解：2、 計算下列定積分（1）解：令，時；時。從而（2）解：令,，時；時。從而（3）解：令,，時；時。從而（4）解：令,，時；時。從而（5）解：令,，時；時。從而（6）解一：這是圓心在原點，半徑為的圓的面積，其值為。解二：令,，時；時。從而3、 證明：如果

22、在上連續(xù)，那么（1）當為偶函數(shù)時，；（2）當為奇函數(shù)時，。證明：令,，時；時。從而（1）當為偶函數(shù)時，（2）當為奇函數(shù)時，4、 利用被積函數(shù)的奇偶性，計算下列積分：（1）解：說明：為半徑為的圓面積。（2）解：為奇函數(shù)，所以。（3）解：（4）解：5、 計算下列定積分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：，所以。（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：，解得。所以（10）解：（11）解：（12）解：因為，所以習題5-3（B）1、 計算下列定積分（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：2、 計算下列定積分（1）解：令，時，時。從而（2）解

23、：（3）解：（4）解：令，。時，時。從而（5）解一：令，。時，時。從而解二：（6）解：令，。時，時。從而（7），其中。解：（8），其中。解：令，時，時。從而3、 計算下列定積分：（1）解：所以，從而故（2）解：令，則，時，時。從而（3）解：（4）解：所以（5）解：令，則，時，時。從而令，則，時，時。從而（6）解：令，則，時，時。從而所以4、 利用公式計算下列定積分：（1）解：（2）解：（3）解：所以5、 證明證明：令，從而6、 利用公式計算下列定積分（1）解：（2）解：7、 利用計算定積分解：8、 證明證明：令，則，時，時。從而9、 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明：證明：令，則，時，時。從而10、 設(shè)函

24、數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算：解：11、 設(shè)函數(shù)的原函數(shù)為，試計算。解：習題5-4（A）判斷下列各題中廣義積分的收斂性，并對收斂的廣義積分，計算出廣義積分值：1、解：，故收斂。2、解：，收斂。3、解：，發(fā)散。4、解：，收斂。5、解： ，收斂。6、解：，發(fā)散。7、解：，發(fā)散。8、解：，收斂。9、解：不存在，幫發(fā)散。10、解：，收斂。11、解：，故收斂。12、解：，故收斂。13、解：，發(fā)散。14、解：，收斂。習題5-4（B）1、 計算廣義積分。解：，其中2、 計算廣義積分。解：3、 討論廣義積分的收斂性，并計算收斂的廣義積分值。解：所以，時，；當時當時所以時發(fā)散，時收斂。4、 討論廣義積分的收斂性，并對收斂的廣義積分計算出廣義積分值。解：顯然時這是一般的定積分。當時 當時，。當時所以時議積分收斂，其值為；當時，廣義積分發(fā)散。5、 討論廣義積分討論廣義積分的收斂性，并計算收斂的廣義積分值解：所以，時，；當時當時所以時發(fā)散，時收斂。6、 設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)，按照下列給出的條件，判斷廣義積分是否收斂，并說明原因：（1）與都收斂；（2）收斂，發(fā)散；（3）與都發(fā)散。解：（1）若與都收斂，則存在，故收斂。（2）若收斂，發(fā)散，則，存在，而不存在，故必發(fā)散。（3）若與都發(fā)散，則有可能收斂，也有可能發(fā)散。例如