不定積分換元法例題

1、【不定積分的第一類換元法】已知f(u)duF(u)C求g(x)dxf(x)'(x)dxf(x)d(x)f(u)duF(u)F(x)C【湊微分】C【做變換，令u【變量還原，u(x),再積分】(x)】【求不定積分g(x)dx的第一換元法的具體步驟如下：】(1) 變換被積函數(shù)的積分形式：g(x)dxf(x)'(x)dx(2) 湊微分：g(x)dxf(x)'(x)dxf(x)d(x)(3) 作變量代換u(x)得：g(x)dxf(x)'(x)dxf(x)d(x)f(u)du(4) 利用基本積分公式f(u)duF(u)C求出原函數(shù)：g(x)dxf(x)'(x)dxf

2、(x)d(x)f(u)duF(u)C(5) 將u(x)代入上面的結果，回到原來的積分變量x得：g(x)dxf(x)'(x)dxf(x)d(x)f(u)duF(u)CF(x)C【注】熟悉上述步驟后，也可以不引入中間變量u(x),省略(3)(4)步驟，這與復合函數(shù)的求導法則類似。(5x7)9d(5x7)11(5x5107)10C(5x7)1050【注】(5x7)'5,d(5x7)5dx,dx1gd(5x7)2、lnx,dxxInxdInx.1.lnxdxlnxx1 2(lnx)dInx12-(lnx)C1【汪】(lnx)'-xd(lnx)1dx,x1dxxd(lnx)dco

3、sx,sinx,sinxdxdcosx3(1)tanxdxdxcosxcosxcosxcosx3 【注】(2)4 【注】(1)【注】4(2)5 【注】(3)(1)(2)(1)cosx(cosx)'sinx,d(cosx)sinxdx,sinxdxd(cosx)cotxdxcosx,cosxdxdsinxnvsinxxsinxsinxdsinxln|sinx|Cln|sinx|Csinx(sinx)'cosx,d(sinx)cosxdx,cosxdxd(sinx)In|cosx|CIn|cosx|C-dxdx1d(ax)axaxaxd(ax)ln|ax|Cln|ax|Cax(ax

4、)'1,d(ax)dx,dxd(ax)-dxdx1-d(xa)xaxaxad(xa)ln|xa|Cln|xa|Cxa(xa)'1,d(xa)dx,dxd(xa)1成1dx11dxxa1-dxxa-dxxa22dxxa22dxxa2axa2a1.ln|xa|2aln|xa|C1ixln2ax矣Ca,secx(secxtanx),secxdxdxsecxtanxd(tanxsecx)d(tanxsecx)secxtanx1secxtanxcosxsecxdxdxcosx2cosdxxdsinx11121sinx2sinx1sinx1cscxdxcscx(cscxcotx),dxcs

5、cxcotxd(cotxcscx)2.一secxsecxtanx,dxsecxtanxIn|secxtanx|Ccosxdx2.cosx1.1.dsinxln2dsinx_2sinxsinx1C9n1sinxsinx11sinxC2一cscxcscxcotx,dxcscxcotxd(cscxcotx)In|cscxcotx|C(2)2,cscxdxcscx(cscxcotx)dxcscxcscxcotxdxcscxcotxcscxcotx(1)(2)(1)(2)(1)(2)10(1)10(2)11d(cotxcscx)cscxcotxd(cscxcotx)cscxcotxIn|cscxcotx

6、|1、1x2dxarcsinxC.,a22dx1x_3sindxx5xcosCarctanx=dx2xxarcsinCadx2xxdxdx2x_2sin5xcosxdxsinxdx_2sin5xcosdcosx5(1cosx)cos35sinxcosxdx322sinx(1sinx)dxxlnxdxxln2x75xdcosx(cosxcosx)dcosx8cosx86cos_3sindsin1dxlnxx1ln434xcosxcosxdxsinxcosdsinxdx/35(sinx2sinx1.dlnxlnx_1ln2dlnx2xdx-4-2-x2x22xdx-4c2x2x2xdx42x2x5

7、2xdxx42x251-arctan-a0)6xC1ln7、sinx)dsinx.-4sinx4一一6sinx3dInx1ln2InInxdlnxClnxdx22x22d(x221),2八2arctan(x1)(x1)dx2x42x25d(x21)4(x21)212、13、14、18、19、d(x21)2421sinx-dxsin、xx21-arctan(421)Cdxsin、xdx2x2sin一xdx2sinxdx2cosxCe2xdx1e2xd2x12e2xd2x2cos、xC3.sinxcosxdx(2x5)100,(2x5)100xsinix2dxlnxx、1lnxJlnxc15、12

8、16、dx17、xdxd(2x3sin(2x5)xcosxdx1005)dxi0i(2xsinx2xdx1.sin2.1lnxx11lnxdlnx.1lnx1Inxd(1Inx)3lnx)2arctanxx_1_21x23sinxdsinx3sinxdsinx(2x5)1005)101C1dxlnxlnx1d(1lnx)、1lnx12(1lnx)2Carctanxearctanxe1Tx7xdx_1_2、1x2d(1x2).1x2C112d(2x5)2(2x(2x5)101C202sinx2dInxdarctanxdx25)100d(2x5)dx21cosx2(1lnx)1dlnlnxarct

9、anxe_1_2.1x2darctanxarctanxeC2d(1x)21、22、23、24、25、sinx,dxcos3xdx12xxdxx2x2sinxdxcos3xlnd(x1)exdxex1dxxdx.2(1x)2dx(x/1、2/72(x2)(2)2arctansinxcosxa2sin32cosxdx,【分析】因為:22(asinx所以:22d(asinx.cos3xydex!12Inxln2xd(1x)112edInx2(1dln2xx)2d(x；)(12(x2)1x2C7C22bcosx)'dcosxexd(2sinxcosxdxsinxcosx2"7b22。

10、-a2sin22cosx)12(a22.272dx-asinxbcosx2(a231cos2xdcosx2cos2xCex)ln(2d(1x).(2)2(1x)2d(x1)(x1)2(27)2arctan2?C2xcosxb2cosx(sinx)2、b)sinxcosxdx222丁d(asinxbcosb)sinxcosxdx_2.2-asinx22bcosxx)1"2T2abd(a2sin2xb2cosx)1a2b22a2sin2xb2cosx.1x_arcsinC一22(a2.2.b)sinxcosx.22、x_bcosx)2、a2sin2xb2cos2xd(a2sin2、a2s

11、in2xb2cos2xC【不定積分的第二類換元法】已知f(t)dtF(t)C求g(x)dxg(t)d(t)g(t)'(t)dt【做變換，令x(t),再求微分】【求積分】f(t)dtF(t)C一、一一1_【變重還原，t(x)】_1-F(x)C【第二換元法例題】1、sin、x,dxxt2平dt2sint2tdt2sintdt變量還原2costC2cosxC1令1+jxtdx221Vxx(t1ft12dt21dt1t1tC1令'xt121.dx2廠dt廠2tdt變量還原2tln|1t|C2、xln|1、,x|tx1d(t1)212(t1)dt2"dt211dttttt變量還

12、原_2tln|t|C21>xln|1，x|Ct1xtd(t31)41(t31)2t4(t31)33t2dt4、5、6、12(t6t3)dt121dxx(1x)2arctant17dx1exxt2變量還原令exIntIn|t|In|1t|t7t412-t(1t)dt變量還原t(1t2)2arctan、xC1dlnt1tIn1dtt變量還原exIn123頑2tdtdtt(1t)xex1edtdtdx(1：x)；x令6xtxt61(1t2)t3dt6156t5dt(1t2)t3j21-ydtt26(tarctant)變量還原Ct6x6(xarctanVx)C【注】被積函數(shù)中出現(xiàn)了兩個根式m.n

13、k:*,時，可令Vxk為m,n的最小公倍數(shù)。dx7(1)1&2xt32，tt2tln|1t|變量還原636tx3(x2)217(2)t2ln|12|t1xx變量還原x1x,一tx2t2ln|tln|x1|ln|t21|C【注】被積函數(shù)中含有簡單根式氣axnaxb或cx時，可令這個簡單根式為t,即可消去根式。8(1)8(2)dxx8(1t7t5x2)t31inx(xinx)2變量還原令1txd1t1x-1tarctant令1txdx變量還原C2tint(1Jdt11in-tlnlnt)dtxinx【注】當被積函數(shù)中分母的次數(shù)較高時,9、1sinx,dxcosx)sinx(112-dtt2

14、5變量還原tan-令tanxt2x2arctantt217x7tan言1t25x5Mdt1t2t6t4t213x321tint可以試一試倒變換。1-2L21t2H)1t212in|tlxTn|tan|2in1t1八arctanCx2in1t/2dtfttintd(1tint)1tintd2arctant21t2-.2皂(11A)1t1t22dt1t2【注】對三角函數(shù)有理式的被積函數(shù)，可以用萬能公式變換，化為有理分式函數(shù)的積分問題。令xasint,|t|10(1)va2dxva2a2sin2tdasinta2cos2tdt.xtarcsin-adx令xasint,|t|2dasint.xtarc

15、sina2.2.asintdt變量還原Ct一-xarcsinaxcarcsinCa1cos2t,dt22(1cos2t)dtsin2t變量還原+.xtarcsna2aarcsin22xa10(2)-=,孑dx變量還原.xtarctana因為:所以:即:令xatant,|t|2datant.xarctanaa2a2tantseddtln|sedtant|xln|-a2ax|Cln|x,a2x21(x.a2x2)'2a2x2(x、a2x2)'dx2、a2x2dx2adx、a2x2x2dx(xa2x2)'dxdx2x2dasectln|xx2|C/、dx10(3).x2ase

16、C,0t2變量還原xasect因為:所以:即:xln|-aase(2tsectdtIn|secttant|22-xa1Cln|xa(xx2a2)'2、x2a2(x.x2a2)'dx2.x2x2a2dx-22ax2a2dx2a2一x=dx2a(xx2a2)'dxa2：,xa2dx1x'C升1x'C|c【注】當被積函數(shù)中出現(xiàn).a2x2,.a2x2,.x2a2因子時，可以用三角變換，化為三角函數(shù)的積分問題?！靖郊印俊緫妙}】已知生產(chǎn)x單位的某種產(chǎn)品，邊際單位成本是C'(x)(C也)'100，產(chǎn)量為1個單位時，成本為102,xx又知邊際收益為R'(x)120.1x，且R(0)0,求：(1)利潤函數(shù)L(x)；(2) 利潤最大時的產(chǎn)量；(3) 利潤最大時的平均價格?！窘獯稹?1)因為：C'(x)(必)驟xx所以：C(x)100xG,由如1)102得:C12,C(x