線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)全面版資料

1、線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)全面版資料線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章行列式第一節(jié)：二階與三階行列式、a ii把表達(dá)式aii a22&12&21稱為a 21a 1?12所確定的二階行列式，并記作a 22aiia 21a 12ai2aiia21a22ai1 a22ai2a2i.結(jié)果為一個(gè)數(shù)。（課本 P1）同理，把表達(dá)式aiia22a33ai2a23a31ai3a2ia32aiia23a32ai2a2ia33a13a22a31,稱為由數(shù)a11ai2ai3ai1ai2ai3表&21a22a23所確定的三階行列式，記作a21a22a23a31a32a33a31a32a33ai1ai2ai3即a2

2、1a22a23=aiia22 a33ai2 a23a31a31a32a33ai3a2ia32aiia23a32ai2a2ia33ai3a22a31,二三階行列式的計(jì)算：對(duì)角線法則（課本P2，P3）注意：對(duì)角線法則只適用于二階及三階行列式的計(jì)算。利用行列式計(jì)算二元方程組和三元方程組:對(duì)二兀方程組aii Na2i X|ai2X2*22 X2diai2設(shè)D0D1a21 a22ai2則xDib2a22Da11ai2a21a22aii Xiai2X2對(duì)三兀方程組a2iXi822X2a31Xla32X2b2biai2ai1biDpb：a22a21b2aiiX2D2a21b2T.（課本P2）Dai1ai2a

3、21a22ai3X3bia23X3b2 ,a33X3b3ai1ai2ai3a21a22a23a31a32a33b1312313311b13133132D1b2322323,D2321b2323,D3321322匕2b3332333331b3333331332b3D1D2D3則x,X2,X3DDD。（課本上沒(méi)有）注意：以上規(guī)律還能推廣到n元線性方程組的求解上。第二節(jié)：全排列及其逆序數(shù)全排列：把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列（或排列）。n個(gè)不同的元素的所有排列的總數(shù)，通常用Pn （或An）表示。（課本 P5）逆序及逆序數(shù)：在一個(gè)排列中，如果兩個(gè)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)

4、大于后面的數(shù)，那么稱它們構(gòu)成一個(gè)逆序個(gè)排列中，逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。排列的奇偶性：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。（課本P5）計(jì)算排列逆序數(shù)的方法：方法一：分別計(jì)算出排在1,2，n 1,n前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出1,2，n 1,n這n個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù)。方法二：分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)。（課本上沒(méi)有）第三節(jié)：n階行列式的定義3113123213223n13n2定義：n階行列式D31 n32n3nn等于所有取自不同

5、行、不同列的n個(gè)元素的乘31R32P23npn的代數(shù)和，其中P1 p2pn是1, 2,，n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)的符號(hào)由其aii31231n逆序數(shù)決定。D32232nt 12 - n3113223nn33223nn也可簡(jiǎn)記為det 3ij ，其中3j為行列式（i, j 元）（課本P6）aii31231n根據(jù)定義，有D32132232nt P1P2 PnP132P23nPnP1P2 Pn3n13n23nn說(shuō)明:1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方 程組的需要而定義的；2、n階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和；3、n階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 n個(gè)元素的乘積；t4、

6、 a1pia2p/-anpn的符號(hào)為1 ，t的符號(hào)等于排列P2,. Pn的逆序數(shù)5、一階行列式a a不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆。推論1： 上，下三角行列式的值均等于其主對(duì)角線上各元素的乘積a1 na2nannt 12 n1a11 a22 anna11a22“ ann推論2：主對(duì)角行列式的值等于其對(duì)角線上各元的乘積，副對(duì)角行列式的值等于乘以其副對(duì)角線上各元的乘積。n n 11 F 1 2n (上述.推論證明課本P7例6）第四節(jié)：對(duì)換定義：在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換。（課本P8）定理1 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改

7、變奇偶性。推論 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。 （上述二定理證明課本 P8），其中定理2 n階行列式D det（qj的項(xiàng)可以寫(xiě)為（儼甌'）a%q1q2qn是行標(biāo)排列，p®2pn是列標(biāo)排列。（證明課本 P9）推論 設(shè)有n階行列式D det（a ），則D(1)tgq?q“)(1)t(qiq<-qn) “觀 Pn)(1)a1 Pia2p2anPn（行列式三種不同表示方法）推論 在全部n階排列中n 2，奇偶排列各占一半。證明 設(shè)在全部n階排列中有s個(gè)奇排列，t個(gè)偶排列，現(xiàn)來(lái)證 s t。將s個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則這s個(gè)奇排列全變成偶排

8、列，并且它們彼此不同，所以s t。若將t個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則這 t個(gè)偶排列，全變成奇排列，并且它們彼此不同，于是有t s。綜上有s=t。第五節(jié)：行列式的性質(zhì)D的轉(zhuǎn)置行列式。1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式中行與列具有同等地位，因此凡是對(duì)行成立的行列式的性質(zhì)的對(duì)列也成立。性質(zhì)說(shuō)明（證明課本P9)a11厲2 lia1na11BBLa21an1a21a22aa2nTa12a ba22an2: :,D: an1an2anna1 n La2nann，行列式DT稱為行列式定義 記D性質(zhì)2互換行列式的兩行 rirj或列 q 5，行列式變號(hào)。（證明課本P10）推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則

9、此行列式為零。性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k（rj k），等于用數(shù)k乘此行列式；推論1 D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面；推論2 D中某一行（列）所有元素為零，貝UD=0。性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零（證明課本P10）性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則a11a21a12a22(a1i2ia1i ) a2i)aa1n32nD:an1an2(aniani)3nnana12aiiamana12a1ia1na21a22a2ia2na21a22a2ia2nan1an2aniannan1an2 aniann性質(zhì)6把行列式

10、的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。（課本 P11）計(jì)算行列式常用方法：利用定義；利用運(yùn)算 ri krj把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。說(shuō)明 行列式中行與列具有同等的地位，行列式的6個(gè)性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成第六節(jié)行列式按行（列）展開(kāi)余子式 在n階行列式中，把元素 am所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的 n 1階行列式叫做元素aij的余子式，記作My。代數(shù)余子式記 Aj1 ' J M j，叫做元素ay的代數(shù)余子式。（課本P16）引理 一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除（i, j） （i,j）元外ay都為零，那

11、么這行列式等于aj與它的代數(shù)余子式的乘積，即D aijAj。（證明課本P16）a11a12a1 na21a22Fa2nan1 an2annaiiAii定理n階行列式D等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即ai 2Ai2* ' *ain An，(i 1,2,n)或DaijAija2 j A2 j1,2,，n)。（證明課本P17）擴(kuò)展范德蒙德（Vandermonde）行列式11 1X1X2Xn222X1X2Xnn 1n 1n 1X1X2Xnanj Anj，( jnDn(xi xj)的證i j 1a11a12am展開(kāi)定理推論n階行列式Da21a22a2n011an

12、2ann（列）對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和為零,即ai1 As1ai2 As2ainAsn0(is)或a1j At明見(jiàn)課本P18的任意一行（列）明課本P19）的各元素與另一行a2jA2tanjAt0 (j t)(證第七節(jié)克拉默法則0h Xa12X2nXnbi821X1a22 x2a2nXnb2如果線性方程組:的系數(shù)行列式不等于零,an1X1an2X2annXnbna21a22a2n0，那么該方程組有唯一解an1an2annDiXi , X2得的行列式。 注意D3Dn3 , ，Xn -其中Di是用非齊次項(xiàng)代替 D中第i列元素后所 DDP53,第二章）克拉默法則只適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形

13、。D2"D"（證明課本,X3定理4如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式 DM0則（1）一定有解，且解是唯一的。 逆否定理如果線性方程組（1）無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。aiiXiai2X2.ainX-0a2iXi822X2a2n X-0定理5若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D 0，則其次an1X1an2X2.annX-0線性方程組沒(méi)有非零解。（即解唯一，只有零解）逆否定理如齊次方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D必為零。（課本P25）第二章 矩陣第一節(jié)矩陣定義由mn個(gè)數(shù)ama11a12,ra1na21a22 ' pa2n稱為am1am2,ramnana12a

14、1nAa21a22a2nam1am1amnm 行 n 列矩陣i 1,2,m； j 1,2,n排成的m行n列的數(shù)表簡(jiǎn)稱m n矩陣，記作這m n個(gè)數(shù)稱為A勺元素,簡(jiǎn)稱為元。說(shuō)明元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。擴(kuò)展 幾種特殊的矩陣：方陣：行數(shù)與列數(shù)都等于 n的矩陣A。記作：An。行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣。也稱行（列）向量。同型矩陣：兩矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等。相等矩陣：AB同型，且對(duì)應(yīng)元素相等。記作： A= B零矩陣：元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同）對(duì)角陣：不在主對(duì)角線上的元素都是零。單位陣：主對(duì)角線上元素都是 1,其它元素都是 0，記作：En（不引起混淆時(shí)

15、，也 可表示為E ）（課本P29P31）注意 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算可求得 其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同。第二節(jié)矩陣的運(yùn)算矩陣的加法 設(shè)有兩個(gè)m n矩陣A aij和B b ，那么矩陣A與B的和記作a11b11ai2bi2a1 nbin*21b21 a22b22a2nb2nA B，規(guī)定為A Bam1bm1am2bm2amnKmn說(shuō)明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。（課本P33)矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律1 A B B A;2 A B CAB Canai2a1n3設(shè)矩陣Aay，記 A(a j ) m n*21a22a2n5A

16、稱為矩陣J mnh auam1二J am1amnA的負(fù)矩陣4 AA0, AB AB。（課本P33)數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣A的乘積記作A或A ,規(guī)定為耳1a a12a1 n數(shù)與矩陣A的乘積記作 A或 A,規(guī)定為AAa21a22a2nam1am1amn數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律（設(shè)A、B為m n矩陣，,為數(shù)）1AA ；2AAA ；3 A BAB。（課本P33)矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。矩陣與矩陣相乘設(shè) B (bj)是一個(gè)m s矩陣，B (by)是一個(gè)sn矩陣，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個(gè) m n矩陣 C G）, 其中Djaii 已2 八 £isaiibi jai2b?

17、jsaikbjk 1b2ji 1,2,m; j 1,2,n，并把此乘積記作 C AB注意1。 A與B能相乘的條件是： A的列數(shù)=B的行數(shù)。2。矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下， 的乘積可能是零矩陣。3。對(duì)于n階方陣A和矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律疋.ABBA，而且兩個(gè)非零矩陣B,若AB=BA,則稱 A與B是可交換的。AB CA BC ；ABA B A BABCAB AC, BC ABACAAm n En nEm m Am nAm n若A是n階方陣，則稱Ak為A的k次幕，即AkAAA，并且l .»AmAkAm k ,kAmAmkm,k為正整數(shù)。規(guī)定：A°= E注意矩陣不滿足交換律

18、,即 ABBAkk k,AB A B （但也有例外）（課本P36）純量陣矩陣 E稱為純量陣，作用是將圖形放大 倍。且有0(E)A A( E) A , A為n階方陣時(shí)，有(En)An A( En) 代，表明純量陣與任何同階方陣都是可交換的。(課本P36)轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作片122t14A，如A,at2545828轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)T T1 at a ；T tT2 ABAtBt ；TT3 AA ；TT T4 AB BA。（課本 P39）方陣的行列式 由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作 A或det A （記住這個(gè)符號(hào)）注意矩

19、陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n階矩陣是n2個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而 n階行列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù)。運(yùn)算性質(zhì)1 |at| |A ；2 | A n|A ；|ab| iaib| iBia |ba （課本 P40）對(duì)稱陣 設(shè)A為n階方陣，如果滿足 A=AT，即aij aji i, j 1,2,，n那么A稱為對(duì)稱 陣。說(shuō)明對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等，如果AtA則稱矩陣A為反對(duì)稱的。即反對(duì)稱矩陣 A= （aj）中的元素滿足 aij= aji, i, j=1, 2, n伴隨矩陣行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aj所構(gòu)成的如下矩陣A11A21An1人2a22An2A稱為矩陣

20、A的伴隨矩陣。A1nA-A2nAnn性質(zhì)AAA AAE（易忘知識(shí)點(diǎn)）（課本P41）共軛矩陣（略）（課本P42)總結(jié)（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。（2 ）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘，且矩陣相乘不滿足交換律。（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同。第三節(jié)逆矩陣定義 對(duì)于n階矩陣A,如果有一個(gè)n階矩陣B,使得AB= BA= E則說(shuō)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣。 A勺逆矩陣記作 A 1，即A1 B 。說(shuō)明1 A , B互為逆陣，A = B-12 只對(duì)方陣定義逆陣。3若A是可逆矩陣，則 A的逆矩陣是唯一的。定理1矩陣A可逆的充分必

21、要條件是 A 0，并且當(dāng)A可逆時(shí)，有A 11 A* (重要)'1(證明見(jiàn)課本 P43)奇異矩陣與非奇異矩陣 當(dāng)A 0時(shí)，A稱為奇異矩陣，當(dāng) |A 0時(shí)，A稱為非奇異矩陣。即A可逆A為非奇異矩陣A 0。推論 若AB E (或BA=E)，則B A 1 (證明見(jiàn)課本P43)(1) 先求|A|并判斷當(dāng)|A| 0時(shí)逆陣存在；求逆矩陣方法 (2)求A*；(3)求A* A 10|A|逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)11若A可逆,則A亦可逆,且A A1 1 12若A可逆,數(shù)0,則A可逆,且 A - A 13若A,B為同階方陣且均可逆,則AB亦可逆,且(AB)1 B 1A 1。(以上證明見(jiàn)課本P43)4若A可逆,則A亦

22、可逆，且 AT15若A可逆,則有|a 1 |a|。amxm為x的m次多項(xiàng)式，A為n階矩陣,方陣的多項(xiàng)式設(shè)(x) a0 a-|X a2x2記(A) a0E qA a2A2 amAm稱(A)為矩陣A的m次多項(xiàng)式。(課本P46)注意 矩陣A的任意兩個(gè)多項(xiàng)式 j(A)與f(A)可交換，即(A) f (A) f (A) (A)，矩陣A多項(xiàng)式可以像x的多項(xiàng)式一樣相乘或因式分解。矩陣多項(xiàng)式的計(jì)算(1)如果AP P 1,則AkP kP 1，則(A)a0E qA a2A2 amAmPa0EP 1 Pa1 P 1 Pa2 2P 1總結(jié) 逆矩陣的計(jì)算方法Pam mP 1 P ( )P 1 (重要)1待定系數(shù)法；2利

23、用公式A3初等變換法下一章介紹第四節(jié)矩陣分塊法矩陣分塊將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。分塊的目的是為了簡(jiǎn)化運(yùn)算。分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則加法A與B同型，且A、B的分塊方法相同，則A與B的和定義為對(duì)應(yīng)子塊相加。數(shù)乘A(Aj) °A11轉(zhuǎn)置設(shè)AA1A12A13，則 ATA；°A21A22A23A；乘法首先AB有意義，其次A的列的分法與B的行的分法相同。設(shè)A為m l矩陣，B為I n矩陣,分塊成BxB2AA,A2,A (即列向量組),B.（即行向量組）C1rCsrBn其中AA2,At的列數(shù)分別等于B“，B2j,

24、Btj的行數(shù),那么 AB :Cs1t其中 CijAkBkji 1,S；j 1,r。k 1結(jié)論 分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似。分塊對(duì)角陣（準(zhǔn)對(duì)角矩陣）設(shè)A為n階矩陣，若 A的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣,A1且非零子塊都是方陣，即A氏，其中A i 12s都是方陣，則有:1) IA |A|A2|As|。Al2）若每個(gè) A 0,則A可逆，且有AA21 11 1A可逆A 可逆 i 1,2,s 且 Adiag A,A2,，As( diag( A）表示對(duì)角陣A）（課本 P50） 有用的結(jié)論設(shè)AtA O,則A O （證明見(jiàn)課本P51例17）線性方程組的分塊表示記 A (

25、a“ xa1 X1812X2a1 nXnbia21 xa 22X2a2nXnb2am1 X1am2X2amn XnbnX1bia11a12 -a1 nb1X2bb2,Ba21a22-a2nb2JXnbmam1am2amnbm線性方程組5b稱為常數(shù)向量,x稱為未知數(shù)向量,其中A為系數(shù)矩陣,B稱為增廣矩陣。增廣矩陣可以分塊表示為：B(A,b )或 B(a1,a2,.,an,b)第三章矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié)矩陣的初等變換初等行變換1對(duì)調(diào)兩行，記作（斤rj）。2以數(shù)k 0乘以某一行的所有元素，記作（ri k）。3把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去，記作（ri巾）。初等列變換：把初

26、等行變換中的行變?yōu)榱?，即為初等列變換，所用記號(hào)是把“r”換成a ”c 。擴(kuò)展矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換，初等變換的逆變換仍為初等變換 且類型相同。矩陣等價(jià)如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 B,就稱矩陣A與B等價(jià)。等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)（1）反身性 AA（2）對(duì)稱性若AB，則BA;（3）傳遞性 若 A B,B C,則 A C0 （課本P59）行階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零，每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非 零行的行數(shù)階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，也是非 零行的第一個(gè)非零元。行最簡(jiǎn)形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在

27、的列的其他元素都為0.標(biāo)準(zhǔn)型：對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換，可以變換為形如ErO的矩陣,m n稱為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是所有與矩陣A等價(jià)的矩陣中形狀最簡(jiǎn)單的矩陣。初等變換的性質(zhì)設(shè)A與B為m x n矩陣，那么r(1)A - B存在m階可逆矩陣P,使PAc(2)A B存在n階可逆矩陣Q,使AQ(3)AB 存在m階可逆矩陣P,及n階可逆矩陣Q,使PAQ B;初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣。初等矩陣的性質(zhì)設(shè)A是一個(gè)mxn矩陣，則(1) 對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的 m階初等矩陣;r即AB存在m階可逆矩陣P,使PA B;(2) 對(duì) A施行一次初等列變換，

28、相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的 n階初等矩陣；即AB 存在n階可逆矩陣Q,使AQ B；(3) AB存在m階可逆矩陣P,及n階可逆矩陣Q,使PAQ B;(4) 方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等方陣PR,R,使ARP2 P。(5) A可逆的充分必要條件是 AE。(課本P61P63)初等變換的應(yīng)用(1)求逆矩陣:(A| E)初等行變換E | A 1或A初等列變換EE。A 1(2 )求 A-1b :A(代B) (E,P),即(A|B)行1E |A B ,則 P=A-1Bo 或A初等列變換BEBA1 .第二節(jié)矩陣的秩矩陣的秩任何矩陣An n，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形矩陣中非

29、零行的行數(shù)是唯一確定的。(非零行的行數(shù)即為矩陣的秩)矩陣的秩在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D,且所有r + 1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式。數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A).規(guī)定零矩陣的秩，R(0)=0.說(shuō)明1. 矩陣 Amxn,貝U R(A) < min,n;2. R(A) = R(At);3. R(A) >的充分必要條件是至少有一個(gè)r階子式不為零；4. R(A)峯的充分必要條件是所有r + 1階子式都為零.滿秩和滿秩矩陣矩陣A aj mn，若R(A) m，稱A為行滿秩矩陣；若R(A) n，稱A為列滿秩矩陣；若A為n階方陣,且R(A) n,

30、則稱A為滿秩矩陣。若n階方陣A滿秩，即R(A) nA 0;A 1必存在；A為非奇異陣；A必能化為單位陣En ,即A En .矩陣秩的求法定理1矩陣A經(jīng)過(guò)有限次行例)初等變換后其秩不變。即若AB,貝y R(A)=R(B)。矩陣Am X n，經(jīng)過(guò)有限次初等行變換可變?yōu)樾须A梯形，則非零行的行數(shù)就是A的秩。(證明課本P67)推論若P、Q可逆，則R(PAQ) R(A)(課本P67)矩陣秩的性質(zhì)總結(jié)(1) 0 R(Amn) minm,n R(At) R(A)若A B,則R A R B 若P、Q可逆，則R(PAQ) R(A)(5) max R(A), R(B) R(代 B) R(A) R(B)特別當(dāng)B b為

31、非零列向量時(shí)，有 R(A) R(代b) R(A) 1.(6) R(A B) R(A) R(B)(7) R(AB) min R(A), R(B).(8) 若 AmnBnl O,則 R(A) R(B) n.(9) 設(shè)AB=O，若A為列滿秩矩陣，則B=O (矩陣乘法的消去率)。(課本P71)第三節(jié)線性方程組的解a1 Xa2 x?amXnb1線性方程組a?1 xa?2 X2a2nXnb2 H l a b dam1x1am2x2am nib的。如果有解，則稱其為相容的否則稱為不相容定理2 n元齊次線性方程組 Ax=0(1) R(A) = n Ax=0有唯一解，零解(2) R(A) < n Ax=0

32、 有非零解.定理3 n元非齊次線性方程組 Ax b(1) 無(wú)解的充分必要條件是R(A) R(A,b)(2) 有唯一解的充分必要條件是R(A) R(A,b) n(3) 有無(wú)限多接的充分必要條件是 R(A) R(代b) n (證明課本P71)基礎(chǔ)解系齊次線性方程組Ax0的通解具有形式xq 1c2 2 (ci, C2為任意常數(shù))，稱通解式x c1 1 c2 2 c1,c2為任意常數(shù) 中向量1, 2構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。線性方程組的解法齊次線性方程組：將系數(shù)矩陣A化成行階梯形矩陣，判斷是否有非零解若有非零解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫(xiě)出其解；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有的向量個(gè)數(shù)為n - R(A)

33、，齊次線性方程組的通解可以表成基礎(chǔ)解系的線性組合”。非齊次線性方程組：將增廣矩陣E=(A,b)化成行階梯形矩陣，判斷其是否有解若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，寫(xiě)出其解；在元對(duì)應(yīng)的未知量為非自由的。非齊次線性方程組解的通解具有形式x c1 1 c2 2(c1, c為任意常數(shù))，不帶參數(shù)部分*是非齊次方程組的一個(gè)解；帶參數(shù)部分c, 1 C2 2的兩個(gè)向量構(gòu)成對(duì)應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系。定理矩陣方程AX= B有解的充分必要條件是R(A)= R(A,B)定理設(shè)AB C,則R(C) minR(A), R(B)第四章 向量組的線性相關(guān)性第一節(jié)向量組及其線性組合n維向量n個(gè)數(shù)ai,a2,-an組成的一個(gè)有序數(shù)組（ai

34、,a2, pn）稱為一個(gè)n維向量，記為aia°（列向量形式）或（a a2,，an）（行向量形式），其中第i個(gè)數(shù)ai稱為向量的第i個(gè)分量。說(shuō)明1. 列向量即為列矩陣，行向量即為行矩陣2. 行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則3.進(jìn)行運(yùn)算；仃向量和列向量總被看作是兩個(gè)不冋的向量；當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是仃向量還是列向 量時(shí)，都當(dāng)作列向量。行向量可看作是列向量的轉(zhuǎn)置。零向量0=（0,0,0（維數(shù)不同，零向量不同）負(fù)向量(ai,a?,，an)T。向量相等、rTT設(shè)旦，,a.) ,(db,g),若ai bj 1,2，,n則向量運(yùn)算規(guī)律:（ ） （ ） 0 （0是零向量，不是數(shù)零） （）01 （）（） （

35、） （ ） （ ）滿足以上8條性質(zhì)的向量加法、數(shù)乘兩種運(yùn)算 ，稱為線性運(yùn)算。 向量與矩陣的關(guān)系向量組若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組。an312a1j31n設(shè)矩陣 A=（aij）mx n有n個(gè) m維列向量，即A321322a2j32nam13m23mj3mn向量組a,a2,an稱為矩陣A的列向量組。同理，也可說(shuō)1矩陣A有m個(gè)行向量組組成。m個(gè)n維列向量所組成的向量組1, 2，；m構(gòu)成一個(gè)n m矩陣A （ 1, 2，m）m個(gè)n維行向量所組成的向量組1T, 2tmT,構(gòu)成一個(gè)mn矩陣BT1T2另外，線性方程組的解也可以用一個(gè)向量來(lái)描述；線性方程組的解集合（通解）可以用

36、一個(gè)向量組來(lái)描述。向量，向量組，矩陣與方程組的關(guān)系向量方程方程組：a21.X-Ia22X2a2m:xmb25an1an2anmbn可簡(jiǎn)寫(xiě)作1X12屜i卜+Yn八nxbi向量方程方程組矩陣形式Axb(1,2,m)X2b2Xnbn線性組合給定向量組 A： 1, 2,，m和向量b，如果存在一組數(shù)1, 2,，m使b 1 12 2m m，則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱 b向量能由向量組A線性表示。定義 給定向量組A： 1, 2,，m，對(duì)于任一組實(shí)數(shù)ki，k2,km，向量ki 1 k2 2km m稱為向量組的一個(gè)線性組合。人，k?，,km稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。定理1向量b能由向量組 A： 1, 2,，m線性表示的充分必要條件是矩陣A (a,a2,am)的秩等于矩陣 B (a!,a2,，am,