菲涅耳公式折反射定律精選

1、Chapter 1理論基礎(chǔ)1.1介質(zhì)中的 Maxwell equations 及物質(zhì)方程VErBtrD微分形式171-1二=0ere傳導(dǎo)電流密度J的單位為安培/米2(A/m 2)，自由電荷密度的單位為庫侖/米2(C/m2)。同時(shí)有電磁場對材料介質(zhì)作用的關(guān)系式，即物質(zhì)方程(或稱本構(gòu)方程)rvvrD=EoEPrrrrB=Ho(HM)rvJ=E(1-2)麥克斯韋方程組及物質(zhì)方程描寫了整個(gè)電磁場空間及全時(shí)間過程中電磁場的分布及變化情 況。因此，所有關(guān)于電磁波的產(chǎn)生及傳播問題，均可歸結(jié)到在給定的初始條件和邊界條件下求解麥克斯韋方程組的問題， 這也正是用以解決光波在各種介質(zhì)、各種邊界條件下傳播問題的關(guān)鍵及

2、核心。1.2積分形式及邊界條件v v v v由于兩介質(zhì)分界面上在某些情況下場矢量E、D、B、H發(fā)生躍變，因此這些量的導(dǎo)數(shù)Maxwell equations ,而必須由其積分往往不連續(xù)。這時(shí)不能在界面上直接應(yīng)用微分形式的 形式出發(fā)導(dǎo)出界面上的邊界條件。d v u sBgdS dt sdtQv usDBSv r丹v r積分形式?_H gdlv u dsDgdS u uv nv(E2vE1) ovvvun(H2H1)得邊界條件為vvvV n(D2D1)vrvn(B2B1) o（1-4）式（1-4）的具體解釋依次如下（ 具體過程詳見光學(xué)電磁理論P(yáng)20）：（1）電場強(qiáng)度矢量 苜的切向分量連續(xù)，n為界面的

3、法向分量。irurv（2）為界面上的面?zhèn)鲗?dǎo)電流的線密度。當(dāng)界面上無傳導(dǎo)電流時(shí)，=0，此時(shí)H的切向分量連續(xù)。比如在絕緣介質(zhì)表面無自由電荷和傳導(dǎo)電流。（3）為界面上的自由電荷面密度。r（4）磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量 B的法向分量在界面上連續(xù)。Chapter 2電磁波在分層介質(zhì)中的傳播2.1反射定律和折射定律光由一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)時(shí)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射。現(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、明、各向同性介質(zhì)，分界面為無窮大的平面，入社、反射和折射光均為平面光波，其電場表 達(dá)式為入射波EiEoi expi( itKg)rrr r反射波ErEor expi( rtkrCT)rrr r折射波EtEot expi( /kt

4、 ct)rrrr rEiErEoi expi( it ki r)rrr rEtEotexpi( tt kt r)界面兩側(cè)的總電場為:Eor expi( rt kr r)E.由電場的邊界條件nr r(E2 ejo，有r rr rr Xexpi ( rtr rn Eoi expi( jtkir)nEorkr r)欲使上式對任意的時(shí)間t和界面上r均成立，則必然有：irtEot expi ( tt kt r)(1-5)r r rki r kr r kt r（ 1-6）可見，時(shí)間頻率 3是入射電磁波或光波的固有特性，它不因媒質(zhì)而異，也不會(huì)因折射或反 射而變化。rr（krki）r0rrr（1-7）（ktk

5、i）r0由于r可以在界面內(nèi)選取不同方向，上式實(shí)際上意味著矢量（kr ki）和（K kJ均與界rr r r r面的法線n平行，由此可以推知，K、kr、kt與n共面，該平面稱為 入射面。由此可得出結(jié)論：反射波和折射波均在入射面內(nèi)。上式是矢量形式的折、反射定律。將上式寫成標(biāo)量形式，并約掉共同的位置量，可得kjCos（ i） krcos（r） kt cos（t）（ 1-8）2 2 2又由于 kim /c, krn 1 /c， kt n2 /c,得ir （反射角等于入射角）（1-9）n1 sin）n2sin t（折射定律）2.2菲涅耳公式折、反射定律給出了反射波、折射波和入射波傳播方向之間的關(guān)系。而反射

6、波、 射波在振幅和位相之間的定量關(guān)系由Fresnel公式來描述。電場E是矢量，可將其分解為一對正交的電場分量，一個(gè)振動(dòng)方向垂直于入射面，稱為折射波和入s分量，另外一個(gè)振動(dòng)方向在（或者說平行于）入射面，稱為分量。首先研究入射波僅含s分量和僅含p 分量這兩種特殊情況。當(dāng)兩種分量同時(shí)存在時(shí), 則只要分別先計(jì)算由單個(gè)分量成分的折射、 即可得到結(jié)果。（1 ）單獨(dú)存在s分量的情形首先規(guī)定：電場和磁場的s分量垂直于紙面， 向外為正，向內(nèi)為負(fù)。n (E2 E1) 0另外由式（1-5）、（ 1-6），可得E0is E0 rsE0ts(2-1)在界面上磁場的切向分量連續(xù):3 /在界面上電場切向分量連續(xù)：rrn （

7、h2h1）ori rr注意HkE,如圖所示。所以同理有H oip cos iH 0rp cos rH Otp cos t（2-2）r r非磁性各向同性介質(zhì)中 E、H的數(shù)值之間的關(guān)系:, Bn lHE00Cr rE H那么式（2-1）整理為ni Eois cos inlEOrs cos r匕 Eots cos t(2-3)聯(lián)立式（2-1）（ 2-3）可得rsEo rsE0isn 1cos i n2cos tn 1cos i n2cos ttsEOts2 m cos in 1cos i n2 cos t單獨(dú)存在p分量的情形(2)綜上所述，S波及P波的反射系數(shù)和透射系數(shù)的表達(dá)式為:E0isrsE0r

8、sn 1 cos in2cos trsin(it)E0isn 1 cos in2cos tr ssin(it)rPE0rpn2cos i cos trptan( it)Eoipn2 cos ini cos ttan( it)tsEots2ri cos its2cosiSin tE0isn cos in2cos tsin( it)tpE0tp2n1 cos itp2cos iSin tE0ipn2 cos iq cos tsin( it )cos( i t)上面左邊的式子就是著名的Fresnel公式。利用折射定律，F(xiàn)resnel公式還可以寫成右邊的形式。2.3反射波和透射波的性質(zhì)2.3.1n1n

9、2 的情況這種情形即由 光密媒質(zhì) 入射到光疏媒質(zhì) 的情形。 由折射定律可知，90所對應(yīng)的入射角稱為全反射臨界角，用c表示。即sin因此分i c和ic兩種情況來討論。(1 )當(dāng)此時(shí)t的情形完全相同。90，可以直接用Fresnel公式來討論反射波和折射波的性質(zhì)，分析方法和n1n2還是nin2的情形，布儒斯特定律都成立。ts和tp均大于1，且隨著i的增大而增大，但是這不意味著透射率 T大于1以及T必然隨i 的增大而增大。n2 cos t n1 cos i|ts|Tpn2 cos tn1 cos i|tp |2(2 )當(dāng)因?yàn)槿瓷渑R界角滿足sin cn2n。由該式可見，當(dāng)in1c時(shí)，會(huì)出現(xiàn)sinn2的

10、現(xiàn)象，這顯然是不合理的。此時(shí)折射定律msin i Hsin t不再成立。但是為了能夠?qū)⒎颇接糜谌瓷涞那闆r，在形式上仍然要利用關(guān)系式sinsin j。 n2由于t在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在，可以將有關(guān)參量擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。 應(yīng)將cos t寫成如下的虛數(shù)形式：cos t 寸 1 sin2 t i1 ijpsin i)2 1而i始終是實(shí)參量，為此有關(guān)cos 2取虛數(shù)的物理意義及其取正號(hào)的原因，留在后面說明。將上式代入菲涅耳公式,得到復(fù)反射系數(shù)2 2cos i i , sin i n2 2cos i i . sin i n|%|exp(i rs)222n cos i11 sinin222n cos ii

11、. sininl%|exp(i J并且有1%1 1%1 1tanrs2n2 tanrp式中，n nz/m，是二介質(zhì)的相對折射率；|%| |%|為反射光與入射光的s分量、p分、量光場振幅大小之比。rs、 rp為全反射時(shí)，反射光中的s分量、p分量光場相對入射光的相位變化。由上式可見，發(fā)生全反射時(shí)，反射光強(qiáng)等于入射光強(qiáng)， 而反射光的相位變化較復(fù) 雜。他們之間的相位差由下式?jīng)Q定：rsrp2arcta n廠.22cos i、sin i n；2sin i因此，在n定的情況下，適當(dāng)?shù)乜刂迫肷浣?，即可改變相位差，從而改變反射光的偏振?態(tài)。比如菲涅耳棱鏡的原理。當(dāng)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，并在界面上發(fā)生全反射

12、時(shí)， 投射光強(qiáng)為零。這就有一個(gè)問題:此時(shí)在光疏介質(zhì)中有無光場呢？當(dāng)把ts、tp的Fresnel公式推廣到復(fù)數(shù)域進(jìn)行計(jì)算，將會(huì)發(fā)現(xiàn) ts、tp都不等于零，亦即光疏媒 質(zhì)內(nèi)有折射光波。在發(fā)生全反射時(shí)，光波場將透入到第二個(gè)介質(zhì)很薄的一層 (約為光波波長) 范圍內(nèi)，這個(gè)波叫倏逝波。現(xiàn)假設(shè)介質(zhì)界面為 xOy平面，入射面為xOz平面，則在一般情況下可將透射波場表示為r rr r rEtEotexp i(ttktgr) Etexp i( ttxsint ktzcosJ上式可改寫為EEtexp i(ttktxsin t ikz (%inJ2 1) n2EtE0texp ktz (“sin J2 1exp i(

13、 tt Kxsin i)V n2n2這是一個(gè)沿著z方向振幅衰減，沿著界面 x方向傳播的非均勻波，也就是全反射的倏逝波。由此可以說明前面討論的正確性：只有cos t取虛數(shù)形式，并且取正號(hào)，才可以得到客觀上存在的倏逝波。倏逝波在入射波剛剛達(dá)到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波電磁場外，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿著界面處傳播，不進(jìn)入第二媒質(zhì)內(nèi)部。因而全反射時(shí)Rs=1、ts0和Rp=1、tpM0并不違反能量守恒定律。具體性質(zhì)參看物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)P382.4 Stocks倒逆關(guān)系Stokes reversible relation可以導(dǎo)出不同介質(zhì)兩側(cè)折射系數(shù)、反射系數(shù)的關(guān)系。如上左圖所示，假設(shè)入射光束的振幅為A,相應(yīng)反射光束與折射光束為Ar, At。再設(shè)一束振幅為Ar的光束逆向傳播（上右圖中監(jiān)色光束Ar）相應(yīng)反射和折射分別是Arr、Art;再設(shè)一At），相應(yīng)反射和