第5講高斯光束

1、(1)(2)0(3)EHtHEutE 22HEEuutt 對對2式求旋度：式求旋度：2EEE 且由且由3式：式：10EEEEE 在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即0222(4)EuEt 綜合上三式可以得到綜合上三式可以得到假設折射率假設折射率n的空間變化很小，即的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為：滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為：0( , , , )Re( , , )i tE x y z tE x y z e代入代入(4)式式220022( )0( )( )Ek r Ek rur波動方程波動方程也稱亥

2、姆也稱亥姆霍茲方程霍茲方程22( )( )( ) 1rk ruri當當 代表吸收介質(zhì)，代表吸收介質(zhì)， 代表增益介質(zhì)代表增益介質(zhì)00上式表示復數(shù)波數(shù)上式表示復數(shù)波數(shù).220022( )0( )( )Ek r Ek rur波動方程波動方程也稱亥姆也稱亥姆霍茲方程霍茲方程我們考慮波數(shù)表示形式為我們考慮波數(shù)表示形式為222002( )k rkk k r其中其中k0、k2都可以是復數(shù)，這個表達式可以理解為波數(shù)與位置都可以是復數(shù)，這個表達式可以理解為波數(shù)與位置r和介質(zhì)的特和介質(zhì)的特性性k2都有關系。都有關系。由波數(shù)的定義：由波數(shù)的定義： 可以得到可以得到n(r)的表達式：的表達式：2( )( )k rn

3、r222200200( )( )1222kn rk rkk k rkrk的情況的情況該表達式就是類透鏡介質(zhì)該表達式就是類透鏡介質(zhì)的折射率表達式，證明我的折射率表達式，證明我們考慮的們考慮的k(r)表達式代表表達式代表的正是在類透鏡介質(zhì)中的的正是在類透鏡介質(zhì)中的情況。情況。2222000011222kkkrnrkk級數(shù)級數(shù)展開展開22rxy2222222221rzrrrz 2( , , )ikzEx y z e( , , )x y z2, kk 22220ikkkr20exp( )2 ( )kEi p zrq z為什么取這種形式？這是對波動方程進行長期研究得到為什么取這種形式？這是對波動方程進行

4、長期研究得到的解，既滿足方程，又有明確的、能夠被實驗證實的物的解，既滿足方程，又有明確的、能夠被實驗證實的物理意義。理意義。2222221220( )( )( )kkrik rkpkk rq zq zq z2220110( )( )( )( )krq zq zkip zrq z 項系數(shù)項系數(shù)222EuEt 22220ikkkr( , , )x y z20exp( )2 ( )kEi p zrq z22110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 2110qq1( )( )( )S zq zS z222( )0SS SSSS0S Sazb1( )aq zazb0bqzzqa0ii

5、pqzq 10ln 1zpiCq 22110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 20exp( )2 ( )kEi p zrq z10ln 1zpiCq 0bqzzqa2000expln 1(1)2()zKEiirqqz2000expln 1(1)2()zKEiirqqz2002,qik 122220002222222200001expln 1exptan1 (/)expexp2()1 (/)21 (/)zziizkrrikrqzzzz 2222200220022200211200200( )11( )11( )tantanzzzzzR zzzzzzzzzz 將上述參數(shù)帶入到

6、光場的表達式，將上述參數(shù)帶入到光場的表達式，整理可以得到整理可以得到光場的表達式：光場的表達式：200020222002( , , )( , , )exp( )( )2 ( )1exp( )( )( )2 ( )expexp( )( )( )2 ( )ikzE x y zx y z ekrEi kzzizq zikEi kzzrzzR zrkrEi kzzzzR z2222200220022200211200200( )11( )11( )tantanzzzzzR zzzzzzzzzz 22002(,)expexp( )( )( )2( )Ex y zrkrEikzzzzR z該式所表示的是該

7、式所表示的是均勻介質(zhì)中波動方程的一個解，稱為基本高斯光束解均勻介質(zhì)中波動方程的一個解，稱為基本高斯光束解，其橫向依賴關系其橫向依賴關系只包含只包含r，而與方位角無關，而與方位角無關。那些與方位角相關的分布是。那些與方位角相關的分布是高階高斯光束解。高階高斯光束解。上面最后一個表達式中的兩項，上面最后一個表達式中的兩項，前一項是振幅項，后一項是相位項前一項是振幅項，后一項是相位項。為什么是這個解？還有其他解嗎？為什么是這個解？還有其他解嗎？221( ; ,)exp22xf x Johann Carl Friedrich Gauss (17771855) 2002exp( )( )rEEzz200

8、2exp( )( )rEEzz( )rz由由 的的定義定義可以得到：可以得到：即即光束半徑隨光束半徑隨傳輸距離的變化規(guī)律為傳輸距離的變化規(guī)律為雙曲線雙曲線，在，在z=0z=0時有時有最小值最小值 ，這個位置被稱為高斯光束的束腰位置。，這個位置被稱為高斯光束的束腰位置。( ) z222200( )1zzz022002( , , )expexp( )( )( )2 ( )E x y zrkrEi kzzzzR z相位移22120( , , )( )tan2 ( )2 ( )krrzx y zkzzk zR zR z總相位移 22120( , , )( )tan2 ( )2 ( )krrzx y z

9、kzzk zR zR z22;2xykzkzRR ( )R z z ( )R zz0zz 0( )2R zz0zz 0( )2z200/z f2022( )exprI rI202( )exprA rA22002200( )221 exp( )2I rrdrdPTPI rrdrd z 00( )limzzzz22222002200200( )11zzzzz 00( )limzzzz022222211zrrrr22222222(1)02222(1)0dxdxxxdxdxdydxxyrdydy022( , , )ikzxyEx y z e22mnxxHyyH( , , )x y z0,022222(

10、 , , )22( )( )( )()exp(1) ( )( )2 ( )ml mnxyEx y zEHHzzzxyk xyikzmnzzR z012233( )1( )2( )42( )812HxH xxHxxHxxxTEM0TEM1TEM2厄米Hm(x)222xyFeHm(x)FIH2m(x)F222110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk20exp( )2 ( )kEi p zrq z2exp(1)2 ( )kriq z200qi 211(2)( )( )( )iq zR zz222exp( )2 ( )rkrizR z22022220cossin( )sincoskkkqzzkkkq zkkkqzzkkk202020222000cossinsincoskkkzzkkkABCDkkkzzkkk00( )AqBq zCqD22110( )( )( )( )kq zq zkip zq z 2222200220