數(shù)列總結(jié)、等差數(shù)列、等比數(shù)列、求通項(xiàng)方法總結(jié)、求和方法總結(jié)

1、1 數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項(xiàng)。記作an,在數(shù)列第一個位置的項(xiàng)叫第 1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第2項(xiàng)，序號為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作 an ；，簡記作 :an ?。二個位置的叫第數(shù)列的一般形式:例:數(shù)列教案a1 , a2 , a3 , an，判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;2010年各省參加高考的考生人數(shù)。(2) 通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)和n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,1111：1,丄,丄,

2、丄-2 3 4 5an = n ( n 7, nN .),an = 1 ( n N . )on數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的通項(xiàng)公式是說明： ：an 表示數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項(xiàng)，a. = f n表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；f-1 n = 2k1(k Z); 同一個數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，an = (T)n='fl, n = 2k 不是每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1, 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3 )數(shù)列的函數(shù)特征和圖象表示：序號：123456項(xiàng)：456789從函數(shù)觀點(diǎn)n從1開始依次取值時通常用an來代替f n，其圖象是一群孤立點(diǎn)。上面每一項(xiàng)序號和這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看

3、成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射?？?，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N .(或它的有限子集)的函數(shù) f(n)當(dāng)自變量對應(yīng)的一系列函數(shù)值 f (1), f (2), f (3),f (n),例：畫出數(shù)列an =2n 1的圖像(4)數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)和項(xiàng)之間的 大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,Si(n = 1)Sn - Sn(n > 2)(3) 1, 0, 1, 0, 1

4、, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an的關(guān)系：an例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn =2n2 3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式練習(xí)1 根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：(1)1,3,5, 7；(2)22-132 -12 24 -15 -12345(3)111 1。1*22*33*44*5(4)9,99,999, 9999(5) 7, 77, 777, 7777,8, 88, 888, 8888(7)1 , 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9分析：(7):將已知數(shù)列變?yōu)?+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, 9

5、+0，?？傻脭?shù)列的通項(xiàng)公式為a.1 (-1)n2 數(shù)列：an ?中，已知3n(1)寫出 a1,32 , a3 ,an 1， an2 ；2（2）79 是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？33. （2003京春理14，文15）在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結(jié)果和相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如 下表觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi)。303540455055SO65收堀壓朮錦柱110115130偌1301筠 （14S舒張尿水跟桂707375788083【）B84、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng):根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式5.觀察下列各圖，并閱讀下面

6、的文字，像這樣.10條直線相交，交點(diǎn)的個數(shù)最多是（）,其通項(xiàng)公式A. 40個 B . 45個 C .它0個 D 55個()等差數(shù)列1、等差數(shù)列定義: 這個數(shù)列般地，如果一個數(shù)列從 U,這個常數(shù)叫做an - n4 =d（n -2）或 a. 1 -a. = d（n -1）。例:條等直數(shù)列相an =2"一1，an條直線相2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an =1,最多有I）d3;2項(xiàng)起，每一項(xiàng)和它的前一項(xiàng)的 數(shù)列的公差，公差通常用字母于同一個常數(shù)，那么 用遞推公式表示為4條直線相交，最多有 6說明個交點(diǎn)差數(shù)列（通?？煞Q為 A個交點(diǎn)列）的單調(diào)性：d 0為遞增數(shù)歹個交點(diǎn)=0為常數(shù)列，d 0為遞減 數(shù)列

7、。例：1.已知等差數(shù)列：an沖，a7 a9 =16, a 1，貝V a等于（）A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首項(xiàng)a1 =1，公差d = 3的等差數(shù)列，如果 a 2005，則序號n等于(A) 667( B) 668(C) 669(D) 6703.等差數(shù)列an =2n-1，6=-2n 1，則a.為bn為（填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）3、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果a , A , b成等差數(shù)列，那么 A叫做a和b的等差中項(xiàng)。其中a + ba , A , b 成等差數(shù)列：=A即：2an .1 = an - an 2( 2an = an_m - an -m )2例：1.

8、(06全國I )設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，右 ai + a? * 83 = 15 , aia?a3 = 80 ,則 ai a a =()A. 120 B . 105C. 90 D . 752. 設(shè)數(shù)列an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為 12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是()A. 1B.2C.4D.84、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1) 在等差數(shù)列Can?中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；(2) 在等差數(shù)列Can?中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；(3) 在等差數(shù)列 阮中， 對任意 m , n EN+, an=am+( n m)d , d= (mH n);n m(4) 在等差數(shù)

9、列 Gn 1 中，若 m , n , p , q N .且 m n p q，則 am - aap aq ；5、 等差數(shù)列的前n和的求和公式：Sn二 一=na1)d =n2 (a1 - d) n。2 2 2 2(Sn =An2 Bn (代B為常數(shù))=& 是等差數(shù)列)遞推公式：sn =色 色122 =an，m)n2 2例：1.如果等差數(shù)列 gn 中，a3a4a5= 12，那么a1a2. -a7=(A) 14( B) 21( C) 28( D) 352. (2009湖南卷文)設(shè)sn是等差數(shù)列 曲 的前n項(xiàng)和，已知a2 =3 , a6 = 11，則S7等于()A. 13 B. 35C. 49D

10、. 633. (2009全國卷i理)設(shè)等差數(shù)列Can!的前n項(xiàng)和為Sn,若S9 = 72 ,則a2 a4 a9 =4. (2010重慶文)(2)在等差數(shù)列anf中，a1 a 10，則a5的值為()(A) 5(B) 6(C) 8(D) 105. 若一個等差數(shù)列前 3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390,則這個數(shù)列有()A.13 項(xiàng)B.12 項(xiàng)C.11 項(xiàng)D.10 項(xiàng)6. 已知等差數(shù)列：an 的前n項(xiàng)和為Sn，若S12二21,貝ya2a5a8an二7. (2009全國卷n理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若a§ = 5氏則色=S58. (98全國)已知數(shù)列 bn是等差數(shù)

11、列，b1=1, d+b2+4。=100.(I)求數(shù)列 bn的通項(xiàng)bn；9. 已知On f數(shù)列是等差數(shù)列，a10 =10，其前10項(xiàng)的和S10二70，則其公差d等于()2A. -一3B -一 C.310. （2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列12D.33 *的前n項(xiàng)和為Sn,若a6 = Q =12,則an11.（00全國）設(shè)an為等差數(shù)列,$為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S7= 7 , S5= 75, Tn為數(shù)列 Sn n的前n項(xiàng)和，求Tn。12.等差數(shù)列an啲前n項(xiàng)和記為Sn ,已知ai0 30, a?。= 50求通項(xiàng)an;若Sn =242，求n13.在等差數(shù)列an中，（1）已知 S8=48,S2 =1

12、68,求印和 d ； （2）已知 a6=10,S5=5,求 a8和 S8 ； 已知 a3 - a15 =40,求S|76.對于一個等差數(shù)列：（1 ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n嘰則S偶 S奇二nd ;務(wù)-S禺a(chǎn)n.an 1（2 ）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n 1項(xiàng)，則S奇一S偶二an = a中；S奇nS 禺n -17.對和一個等差數(shù)列，Sn , S2nSn , S3n ' S2n仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為（）A.130B.170C.210D.2602. 一個等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前2 n項(xiàng)的和為60，則前3 n項(xiàng)的和為。3已知

13、等差數(shù)列 an /的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10,則前110項(xiàng)和為4.設(shè)Sn為等差數(shù)列 a '的前n項(xiàng)和，S4二14, S10 - S7二30,則S9 =5. （06全國II ）設(shè)S是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S6= 1 ,則魚=3S12A. B. 1103&判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法: 定義法：an 1 -an =d（常數(shù)）（a 是等差數(shù)列 中項(xiàng)法：2an an an -2（n N'是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法：an二kn b（k, b為常數(shù)）= 玄是等差數(shù)列 前n項(xiàng)和公式法：&二An2 Bn （A, B為常數(shù)）=玄是等差數(shù)列已知數(shù)列an滿足an

14、-an=2，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an二2n 5，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷已知一個數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn=2n24，則數(shù)列an為（)A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷已知一個數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn=2n2，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷已知一個數(shù)列an滿足 an .2-2an 1 an 0，則數(shù)列an為（)A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D

15、.無法判斷2.例：1.3.4.5.N ")6.數(shù)列 an 餐滿足 a1 =8, a4 = 2,且 an .2 - 2an 勺 an = 0( n 求數(shù)列：an 1的通項(xiàng)公式；27. （01天津理，2）設(shè)S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且$=n，則an是（）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列9.數(shù)列最值（1） 6 0， d ：0時，Sn有最大值；4 :： 0，d 0時，Sn有最小值;2（2） Sn最值的求法：若已知 Sn， Sn的最值可求二次函數(shù) Sn = anbn的最值;可用二次函數(shù)最值的求法（nN .）；或者求

16、出:a/f中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即:卄+an - 0an - 0右已知an，則Sn最值時n的值（n N .）可如下確定或an+<0Un卅蘭 0例：1.等差數(shù)列：an：沖，a! 0, S9=S!2，則前項(xiàng)的和最大。2. 設(shè)等差數(shù)列 式的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3 =12， S12-0， S13 :0 求出公差d的范圍， 指出S1，S2/，S12中哪一個值最大，并說明理由。3. （02上海）設(shè) an （n N）是等差數(shù)列，S是其前n項(xiàng)的和，且 Sv S，S6= S> S，則下列結(jié)論 錯誤的是（）A.dv 0B.a7= 0C.S9>S5D.&和 Sz均為 Sn 的最大值!4 .已

17、知數(shù)列an 的通項(xiàng) 匕二98（ n E N *），則數(shù)列taj的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是 n - V995.已知an是等差數(shù)列，其中a - 31，公差d = -8。（1）數(shù)列an從哪一項(xiàng)開始小于0?（2）求數(shù)列an前n項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng) n的值.6.已知an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中ai 0 ,公差d :： 0 ,若Si。= 0 ,求數(shù)列a.前n項(xiàng)和的最大值.7.在等差數(shù)列an中，ai=25 , S17二S9，求Sn的最大值.利用an = '(n =1)求通項(xiàng).I& 一 5 丄(n 亠2)21. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn二n 1 . (1)試寫出數(shù)列的前 5項(xiàng)；(2

18、)數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？( 3)你能 寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式嗎？2. 已知數(shù)列 a 的前n項(xiàng)和Sn = n2 -4n 1,則23. (2005湖北卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S=2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；4. 已知數(shù)列 a 中，a1 =3,前 n 和 Sn J(n 1)( an 1) -12 求證：數(shù)列a 是等差數(shù)列 求數(shù)列3n 的通項(xiàng)公式5. (2010安徽文)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn二n2，則a8的值為()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比數(shù)列1. 等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起.,每一項(xiàng)和它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù).，那么這個數(shù)列就叫做 等比數(shù)列，這個常數(shù)

19、叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q = 0)，即：an ,: an二q(q = 0)。1.遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式遞推關(guān)系：a* 1 = a*q通項(xiàng)公式：an =a1 qnJ推廣：an 二am qz1. 在等比數(shù)列an /中，aj = 4, q = 2，則an =2. 在等比數(shù)列an中，a7=12,q=逅，則a19 =.3. (07重慶文)在等比數(shù)列an中，a2 = 8, a64,則公比q為()(A) 2( B) 3(C) 4( D) 84在等比數(shù)列：an 中，a2 = -2 , a5 = 54，則 a8=5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1 =3，前三項(xiàng)和為21,則a3 a4 a

20、 ()A 33 B 72 C 84 D 1892.等比中項(xiàng)：若三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則稱b為a與c的等比中項(xiàng)，且為b=：，；ac,注：b2 =ac是成等比數(shù)列的必要而不充分條件例：1. 2 .3和2 一 ,3的等比中項(xiàng)為（）(A)1(B)-1(C)-1(D)22.（ 2009重慶卷文）a/是公差不為o的等差數(shù)列,6=2且6,a3,a6成等比數(shù)列，則a/的前n項(xiàng)和Sn=（）B.n2 3nC.-24D.n2n3. 等比數(shù)列的基本性質(zhì),(其中 m, n, p,q N )(1)q,貝y am an =ap aq(2)n -man2qam，an =an_man -m(nN )(3)©n

21、為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列(4)£n 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列二 Bn ?是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列例:1.在等比數(shù)列注1 中，a1和印。是方程2x2 +5x + 1 = 0的兩個根，則a4內(nèi)=（）1(C)S1(D)22.在等比數(shù)列an '，已知 a =5, a9a10 =100，則 a18 =3.在等比數(shù)列：an 中，a1 a33, 8384 =32, a. a. 1求an若 Tn =Iga1Iga?gan,求Tn4.等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，且a§a6玄4玄7 =18，貝V log3a1 Togsa?丨1( logs 4。=()5.12 B . 1

22、0 C . 8（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列D . 2+log 3 5an滿足 an 0,n= 1,2,川 且a5，a2n=2 5占3）貝廿當(dāng)n -1 時,A. n(2n-1)B.(n 1)C.D.(n-1)2log2 a1 Iog2 a3 丨 1( log 24. 前n項(xiàng)和公式na2A.(8n -1)(q =1)Sn =戶!（1 qn）a! _anq（q = 1）1q 一 1 -q例：1.已知等比數(shù)列an的首相a! =5，公比q = 2，則其前n項(xiàng)和Sn二2. 已知等比數(shù)列an的首相a1 =5，公比q ，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n趨近和無窮大時，其前n項(xiàng)和例：1. （2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 an的前n

23、項(xiàng)和為Sn，若S3 =3 ,則n3. 設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，已a(bǔ)2 = 6, 6a1 a 30，求an和Sn4. (2006 年北京卷)設(shè) f (n2 24 27 21| - 23n 10(n N)，則 f (n)等于()B.扌1")C . 2(8n31) D . |(8n -1)5. （1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為S,若S + $= 2$,求數(shù)列的公比q；6設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為S，若S+1,Sn, S+2成等差數(shù)列，貝U q的值為 .5.若數(shù)列 乩：是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN*，那么Q , S2k -Sk, S3k-S2k

24、成等比數(shù)列如下圖所示:S3kSkS2k SkS3kS2kS9SA. 2 B.73 C.83D.32. 一個等比數(shù)列前 n項(xiàng)的和為48,前2 n項(xiàng)的和為60,則前3n項(xiàng)的和為（）A. 83 B . 108 C . 75 D . 633. 已知數(shù)列：an 是等比數(shù)列，且 Sm =10, S2m =30,則Ssm二6. 等比數(shù)列的判定法（1） 定義法：旦口二q （常數(shù)）=$n 1為等比數(shù)列；an（2） 中項(xiàng)法：an ； =an an 2 （an =0）= 3為等比數(shù)列；（3） 通項(xiàng)公式法：an = k qn （k, q為常數(shù)）= 玄？為等比數(shù)列；（4） 前n項(xiàng)和法：Sn =k（1 -qn） （k,q

25、為常數(shù)）= 匚為等比數(shù)列。二k-kqn （k,q為常數(shù)）='an 為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an =2n，則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷22. 已知數(shù)列an滿足an 1an an 2（an = 0），則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3. 已知一個數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn = 2 - 2n 1，則數(shù)列a.為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷S（n=1）7.利用an1'求通項(xiàng).0 - 11. 已知數(shù)列a.滿足印=2,且務(wù)卅+

26、5沃2小+2=3（務(wù)+5漢2n +2） （ n乏）,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;n 丄（n X 2）例：1. （2005北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且ai=1, an dn=1, 2,3,，求 a2 * *,as, a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2. （2005山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=5,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn半=Sn+ n +5（n N ），證明數(shù)列an 1是等比數(shù)列.求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）.公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列an滿足：a3 = 7, a5 a7 = 26 ,求an ；2.已知數(shù)列an滿足a1 =2,an-an=1（ n_ 1），求數(shù)列a“的

27、通項(xiàng)公式；3.數(shù)列aj滿足a1 =8, a4=2,且2a.卅+ a. = 0 （ n 訊），求數(shù)列taj的通項(xiàng)公式;AA4. 已知數(shù)列an滿足a1 = 2,=2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；an 出 an1 15. 設(shè)數(shù)列an滿足a0且1，求an的通項(xiàng)公式1 - an411 - an6. 已知數(shù)列an滿足an 1二上旦匚® =1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an +2112.數(shù)列已知數(shù)列CaJ滿足ai© =4務(wù)二1(n 1).則數(shù)列CaJ的通項(xiàng)公式=(2)累加法1、累加法 適用于：an1=an f(n)a? - a*i = f (1)川 III若 an1 an = f(n) (n _2)，

28、則an 1 - an = f(n)n兩邊分別相加得 anj.-a =7 f(n)k1例：1.已知數(shù)列an滿足印=,2an 1=an1喬二，求數(shù)列山的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列an滿足an 1二an 2n T, a 1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列an滿足an1= an 23n1，a 3，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。4. 設(shè)數(shù)列an滿足a1 =2，an 1 - an =3 -22nJ，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式(3) 累乘法適用于：anf (n)an若仏二f( n)，則亞二 f(1)，圭二 f(2),| 川(，也二 f(n)ana1a2an兩邊分別相乘得，an 1-印 a1n丨丨f(k)k :例：1.

29、已知數(shù)列a*滿足an1 = 2(n 1)5n an，3 =3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列*an f滿足a1， an1an，求an。3n +13n _13. 已知 a1 =3， an 1a* (n-1)，求 。3n +2(4)待定系數(shù)法適用于an1 =qan f(n)解題基本步驟：1、確定f(n)2、設(shè)等比數(shù)列 Gnlf(n)?,公比為3、 列出關(guān)系式 an d f (n 1) =，2an，2 f (n)4、 比較系數(shù)求, '25、 解得數(shù)列fanf n)的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列 'an / 的通項(xiàng)公式例：1.已知數(shù)列an中，ai =1,a2anj 1(n _ 2)，求數(shù)

30、列CaJ的通項(xiàng)公式。2. ( 2006，重慶，文,14)在數(shù)列fan ?中，若印=1,an 1 =2an 3(n _ 1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an =3. ( 2006.福建理22.本小題滿分14分)已知數(shù)列fan?滿足a1 =1,an 1 = 2an 1(nN ).求數(shù)列：an / 的通項(xiàng)公式；4已知數(shù)列an滿足an 2an - 3 5n, a6，求數(shù)列:a?的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1 x 5n 2(an x 5n)5.已知數(shù)列an滿足an 3an 5 2n 4，a1，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1 ' x 2n 1 y =3(an x 2n y)j i511*6已知數(shù)列 a

31、坤，a1, an 1an (一)n ，求an63227. 已知數(shù)列an滿足an 2an 3n 4n 5, a1,求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。2 2解：設(shè) an 1 x(n 1) y(n 1) z 二 2(an xnyn z)8. 已知數(shù)列an滿足an 2an - 4 3nJ，a1，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式。遞推公式為an 2二pan 1 ' qan (其中p，q均為常數(shù))。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an .2 一 san 1 = t(an 1 -san)s+t = p其中s，t滿足丿P.st = q9.已知數(shù)列an滿足an 2 =5an .1 -6an,ai = -1,a2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(

32、5)遞推公式中既有Sn分析：把已知關(guān)系通過an二'"二1轉(zhuǎn)化為數(shù)列:a/f或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求n|Sn-Sn,n2n n解。11. (2005北京卷)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S，且ai=1,an 1Sn, n=1,2,3, ，求a2,as,a43的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2. (2005山東卷)已知數(shù)列 7 an / 的首項(xiàng)4=5,前n項(xiàng)和為Sn，且Snn = Sn + n+5(n N*)，證明數(shù)列an 仁是等比數(shù)列.3已知數(shù)列an 中，a3,前 n 和 Sn =丄(nT)(anT)-12 求證：數(shù)列是等差數(shù)列 求數(shù)列：an 的通項(xiàng)公式14.已知數(shù)列an的

33、各項(xiàng)均為正數(shù)，且前 n項(xiàng)和Sn滿足Sn，1)(an 2)，且a2,a4,a9成等比數(shù)列,6求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(6) 根據(jù)條件找n 1和n項(xiàng)關(guān)系15例1.已知數(shù)列an中，a1 =1,an1二C -丄，若C =5,01an _2，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式2. (2009全國卷I理)在數(shù)列an 中1 n +1a1 =1,an1=(1 二)an 丁bnan(I )設(shè)n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式an2(7) 倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例：1.已知數(shù)列an滿足an -I = 細(xì)，a = 1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an +2(8) 對無窮遞推數(shù)列消項(xiàng)得到第n，1和n項(xiàng)的關(guān)系例：1. (20

34、04年全國I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列 an滿足ai =1, an =ai 2a2 3an，(n -1歸*二(n _ 2)，求an的通項(xiàng)公式。2.設(shè)數(shù)列 an'滿足 a-i - 3a2 32a33n'an =n , a N .求數(shù)列 an 的通項(xiàng);3(8)、迭代法例：1已知數(shù)列an滿足an “ =a；(n 1)2", a5，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n彳=a；(n 1)2"，所以_ 3n 2n _ r 3(n)2n-|3n 2n _ 32 (n)n 2(n2 an an 1 an _2= an _2=a3(n_2) 2 n 33_32(n J)

35、n2(n(n 衛(wèi)33(n .2)( n 二)n2(n3 (n2 (n 1 二 a. J_3n：k23川“(n _2) (,n)n 21#如傘2 +2 半衛(wèi)-ain( n J)3n -n! 2n(n山3n n ! 22又a- =5，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a. =53 n!2。(9) 、變性轉(zhuǎn)化法1、對數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例：已知數(shù)列an滿足an 1 = 2 3n a；，a 7，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an i = 2 3na：, a- = 7，所以 an0，an 10 o 兩邊取常用對數(shù)得lg an彳=5lg an nlg3 lg 22、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系1 &g

36、t;例：已知數(shù)列an滿足an 1(1 4a ,V 24%), a- = 1，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：令bn.f，則十亍行1) 數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。n(nT)d2n ajq =1)& =« C(1-qn)l 1-q(q = 1)公比含字母時一定要討論（理）無窮遞縮等比數(shù)列時，S二ai1 -q例：1.已知等差數(shù)列an滿足ai =1, a2 =3，求前n項(xiàng)和Sn2.等差數(shù)列an中，ai=1,a3+a5=14,其前 n 項(xiàng)和 S=100,則 n=()A 9 B . 10 C . 11 D . 123. 已知等比數(shù)列an滿足印=1, a2 =3，求前n項(xiàng)和S

37、n4. 設(shè) f(n)= 2 24 27 210 |23n 10(n N)，則f (n)等于()2n2n12n32n4A(8 -1) B. y(8-1) C. -(8-1) D.(8-1)2錯位相減法求和：如：Sn :等差，'bn 等比,求a1b1 a2b2亠-anbn的和例：1 .求和 Sn =1 2x 3x2 | nxn -123n2.求和：Sn = _ . p .飛 一n a aaa3.設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=1, a3b21,asb-13（I）求an, bn的通項(xiàng)公式；（n）求數(shù)列 （A J色的前n項(xiàng)和Sn .3.裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩

38、項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見拆項(xiàng):n(n 1) n n 1(2n - 1)(2n1)_ 2(2n -1 2n 1n(n 2)2 n n 2n(n 1)(n2)2 n(n 1)(n 1)(n2)n n!二(n 1)!-n!(n 1)! n! (n 1)!cm=cn例：1.數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,右an2.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an二的前n項(xiàng)和數(shù)列Sn 是等差數(shù)列，數(shù)列1 ，則Ss等于（n(n 1)301，求前n項(xiàng)的和;n(n 1)3.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an ：-，求前n項(xiàng)的和.Jn + Jn +14.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n -1111an = J，設(shè)Tn丄1丄，求Tn.2a1 ，a3a2 ，a4an 6羊1 15 .求 1 -1+2 1£+3 1£+3+46 .已知a .0, a =1,數(shù)列；an 是首項(xiàng)為a,1 * ,(n 三 N )。1 2 3：；川n公