小升初奧數(shù)難點(diǎn)之迎面相遇問(wèn)題

1、小升初奧數(shù)中有很多專(zhuān)題,我們需要把專(zhuān)題分類(lèi)清晰,腦海中有清晰的脈絡(luò) ,逐個(gè)梳理學(xué)習(xí)。這也是小學(xué)培養(yǎng)知識(shí)統(tǒng)合梳理能力的有效機(jī)會(huì)。雞兔同籠、抽屜原理、孫子定理等都是小學(xué)奧數(shù)常出現(xiàn)的專(zhuān)題,其中有一個(gè)問(wèn)題對(duì)中學(xué)學(xué)習(xí)很有幫助,那就是 :迎面相遇問(wèn)題 ,也是小升初奧數(shù)的難點(diǎn)之一,數(shù)學(xué)家教專(zhuān)題講解 :甲乙兩車(chē)往返于 AB 兩地 ,第一次距離 A 地 700 米處相遇 ,第二次距離 B400 米處相遇。求共有多少個(gè)迎面相遇點(diǎn) ?幾個(gè)背后追上點(diǎn) ?分析 :行程問(wèn)題多次相遇和追及都是加 2 全程的規(guī)律。但我開(kāi)始對(duì)這個(gè)題的分析是有小問(wèn)題的。就是相遇點(diǎn)不可以是起點(diǎn)或終點(diǎn)。此題我們先考慮全程。第一次兩人共走 1 個(gè)全程

2、。第二次共 3 個(gè)所以甲此時(shí)走了2100 米,單獨(dú)看甲是一個(gè)全程多400 米。全程就是 2100-400=1700米。三次是 3500 米離 A100 米 ,第四次是離起點(diǎn)1500 米,第五次 -500 米 ,第六次 900米 ,第七次 -1100 米 ,第 8 次 300 米 ,第九次是 1700 米。但是第九次是我們要思考的能在終點(diǎn)B 相遇嗎。此時(shí)甲走了7 個(gè)全程 ,乙走了10 個(gè)全程。此時(shí)所謂的相遇點(diǎn)實(shí)際上是追及點(diǎn)。他們同時(shí)到B 并且同時(shí)掉頭不是迎面相遇。所以端點(diǎn)是不能成為迎面相遇點(diǎn)的。因?yàn)榘匆?guī)律算既是相遇點(diǎn)也是追及點(diǎn)。第九次相遇點(diǎn)實(shí)際是規(guī)律的第十次為 -300 米。第十次為規(guī)律的第 1

3、1 次為 1100米 ,第 11 次為 -900 米,第 12 次為 500 米 ,第 13 次為 -1500 米,第 14 次為 -100 米,第 15 次為 1300 米,第 16 次為 -700 米。注意這里的正方向指的是出發(fā)向 B 距離 ,-指的是返回余下距離。絕對(duì)值相同的點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn) ,只是方向不同而已。第 17 次是 700 米。這里實(shí)際是每 16 次迎面相遇是一個(gè)周期 ,從分析可以看出迎面相遇點(diǎn)只有 8 個(gè)。接下來(lái)我們討論背后追上點(diǎn)。速度比 7:10,所以第一次追上一個(gè)全程相當(dāng)于 3份對(duì) 1 個(gè)全程為 1700/3,追及是沒(méi)有特殊情況的。第一次甲走 1700/3,第 n 次走17

4、00(2n-1/3,我們一次次枚舉得到第一次距離 1700/3,第二次是 1700 米,第三次是 -1700/3,第四次是 1700/3.絕對(duì)值相同時(shí)追及點(diǎn)也是一致的。所以追上點(diǎn)共2 個(gè)。我們通過(guò)此題發(fā)現(xiàn)相遇點(diǎn)共 8 個(gè)追上點(diǎn)共 2 個(gè)。并且沒(méi)有一個(gè)點(diǎn)既是相遇點(diǎn)也是追上點(diǎn)。通過(guò)這個(gè)題我們認(rèn)識(shí)到多次相遇的迎面加 2 全程對(duì)于相遇點(diǎn)不是起點(diǎn)或終點(diǎn)是正確的 ,但注意如果有相遇點(diǎn)是起點(diǎn)或終點(diǎn)就要跳過(guò)一次。追上這個(gè)基本規(guī)律仍然適用。筆者發(fā)現(xiàn)如果速度快的與速度慢的最簡(jiǎn)整數(shù)比是a:b,這背后追上點(diǎn)有 (a-b+1/2 取整那么多個(gè) ,迎面相遇點(diǎn)有 (a+b/2 取整那么多個(gè)。并且不存在既是迎面相遇點(diǎn)也是背后

5、追上點(diǎn)的點(diǎn)。若存在則 (2n-1a/(a+b與(2k-1a/a-b 對(duì) 2 倍全程同余數(shù)?；氐奖绢}就是(2n-1 10/17與 (2k_110/3 對(duì) 17 余數(shù)相同。不難知道此時(shí)只能是終點(diǎn) ,而終點(diǎn)是不能作為相遇點(diǎn)的。如果此題我們用行程規(guī)律辦就是 700(2n-1。就代數(shù)角度易知是相遇周期 17 并且如果 s,t 有 700(2s-1,700(2t-1對(duì) 3400 余數(shù)一樣必有 1400(s-t 是 3400 倍數(shù) ,約分后 7(s-t 是 17 的倍數(shù)。但 700(2n-1+700(2 (18-n-1=700 乘以 34.所以關(guān)于中間次數(shù)相遇點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)的只是正相遇和負(fù)相遇的區(qū)別。所以有 9

6、個(gè)相遇點(diǎn)。可是端點(diǎn)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。故只有8 個(gè)迎面相遇點(diǎn)。討論背后追上是1700(2n-1/3,容易知道周期是3,和相遇樣其它的點(diǎn)都有對(duì)稱(chēng)點(diǎn),所以追上點(diǎn)有 2 個(gè) ,終點(diǎn)無(wú)對(duì)應(yīng)點(diǎn)。我們注意為何要用這背后追上點(diǎn)有(a-b+1/2取整那么多個(gè) ,迎面相遇點(diǎn)有 (a+b/2取整那么多個(gè)。原因是當(dāng) a,b 都是奇數(shù)的時(shí)候相遇點(diǎn)不可能是端點(diǎn)。追上點(diǎn)也不能是端點(diǎn)。就是每個(gè)相遇點(diǎn)和追及點(diǎn)都有正負(fù)對(duì)應(yīng)。而上題的1700 和-1700 是不加區(qū)別的。只有在 1700 處追上 ,不存在相遇。由于時(shí)間倉(cāng)促,有些地方考慮不周請(qǐng)大家指點(diǎn)。2 小明和小紅兩人在長(zhǎng)100 米的直線跑道上來(lái)回跑步,做體能訓(xùn)練 ,小明的速度為 6

7、米/秒,小紅的速度為 4 米 /秒。他們同時(shí)從跑道兩端出發(fā) ,連續(xù)跑了 12 分鐘。在這段時(shí)間內(nèi) ,他們迎面相遇了多少次 ?按規(guī)律做是 7200 除以 100=72,按一般規(guī)律是 36 次,但注意到端點(diǎn)不能是相遇點(diǎn)。 60 (2n-1 為 100 的倍數(shù)要去掉。也就是3(2n-1 不能是 5 的倍數(shù)。每隔 5 個(gè)除去1 個(gè)第一個(gè)被除去的n 是3.然后是8,13,18,23,28,33共7 個(gè)。所以迎面相遇29 次。如果把4 米改為2 米。相遇和追上點(diǎn)都不是端點(diǎn)。相遇點(diǎn)有2 個(gè)就是75(2n-1除 ,200 余數(shù)按 75, 25,-25,-75.排列實(shí)際上是 2 個(gè) ,追上按 50(2n-1 就是在中點(diǎn)追上。所以不存在相遇點(diǎn)和追上點(diǎn)重合。如果最簡(jiǎn)整數(shù)比是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)就要考慮端點(diǎn)相遇的問(wèn)題。實(shí)際上相遇點(diǎn)是 (a+b 分點(diǎn) ,追上點(diǎn)是 (a-b 分點(diǎn)。 (a+b(a-b 是互質(zhì)的。只可能是起點(diǎn)或終點(diǎn)重合 ,當(dāng) a,b 為奇數(shù)時(shí)候和為偶數(shù) ,而相遇點(diǎn)式奇數(shù)分點(diǎn) ,端點(diǎn)都是偶數(shù)分點(diǎn)所以不可能。但一個(gè)奇一個(gè)偶數(shù)時(shí)