華南理工大學(xué)高數(shù)同步作業(yè)冊(含答案)

1、 作業(yè)11、填空題：1）的定義域為；2）的定義域為；3）設(shè)，則；4）的周期為；5）的反函數(shù)為。2、設(shè)對任意實數(shù)，均有，且，證明：。 證明：取則有。兩邊平方得3、判定下列函數(shù)的奇偶性1）解：因為 所以此函數(shù)為奇函數(shù)。2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以此函數(shù)為奇函數(shù)。4、設(shè)為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)增加，證明：在內(nèi)也點調(diào)增加。證明：對于任給的，且，我們有，因為在內(nèi)單調(diào)增加，所以。又因為為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，所以，即在內(nèi)也點調(diào)增加。5、設(shè)的定義域為，求函數(shù)的定義域。解：的定義域為，的定義域為當(dāng)時，即時， 的定義域為空集；當(dāng)時，即時，的定義域為6、設(shè)，求。解：作業(yè)2 1、觀察下列數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的

2、極限：1）2）3）2、用數(shù)列極限定義證明 1） 證明： 取，當(dāng)時，恒有 所以 2） 證明： ，無妨設(shè) 取，當(dāng)時，恒有所以。3、若，證明。并舉例說明：如果數(shù)列有極限，但數(shù)列未必有極限。證明：，因為，所以存在，當(dāng)時，恒有此時恒有所以。例：，但不存在。4、設(shè)數(shù)列有界，又，證明：。證明：因為有界，所以存在正數(shù)，對任給的有對任給的，由于，一定存在，當(dāng)時，恒有此時恒有（注意也可以取到任意下的正數(shù)）因此。5、設(shè)兩個數(shù)列有相同的極限，求證：若，則。證明：，因為，所以存在，當(dāng)時，恒有又因為，所以存在，當(dāng)時，恒有取，當(dāng)時（注意也可以取到任意下的正數(shù)）所以作業(yè)3 1、根據(jù)函數(shù)極限的定義證明： 1） 證明： 取，當(dāng)時

3、，恒有 所以 2） 證明： 無妨設(shè)，則有 取，當(dāng)時，恒有 所以2、設(shè)，研究在處的左極限、右極限及當(dāng)時的極限。解：1），當(dāng)時 取，當(dāng)時，恒有所以2），當(dāng)時 取，當(dāng)時，恒有所以3）因為，所以。3、證明：若及時，函數(shù)的極限都存在且都等于，則。證明：因為，所以存在，當(dāng)時，恒有又因為，所以存在，當(dāng)時，恒有取，則當(dāng)時，恒有所以。4、試給出時函數(shù)的局部有界性定理，并加以證明。解：如果，則存在和，當(dāng)時，恒有。 下面給予證明。 取，因為，所以一定存在，當(dāng)時，恒有 由上面兩式可知，命題結(jié)論得證。5、如果時，函數(shù)的極限存在。證明：的極限是唯一的。證明：既要證明：如果數(shù)是函數(shù)當(dāng)時的極限，則一定有。假設(shè)。無妨設(shè)，取。因

4、為，所以存在正數(shù)，當(dāng)時有又因為，因此存在正數(shù)，當(dāng)時有取，當(dāng)時有這是一個矛盾，從而證明成立。作業(yè)41、根據(jù)無窮小的定義證明： 1）當(dāng)時為無窮小 證明： 取，當(dāng)時，恒有 所以當(dāng)時為無窮小。 2）當(dāng)時為無窮小 證明： （由單位圓中的弧長>正弦線，可知 ，而）取，當(dāng)時，恒有所以當(dāng)時為無窮小2、根據(jù)無窮大的定義證明：當(dāng)時為無窮大。證明：對于任給的 取，當(dāng)時，恒有 所以當(dāng)時為無窮大。3、利用無窮小的性質(zhì)，說明當(dāng)時為無窮小。解：因為，利用性質(zhì)：有界量與無窮小的積還是無窮小，我們有當(dāng)時為無窮小。4、設(shè)時，（為有限數(shù)）。試證明下列各式： 1） 證明：對于任給，因為，所以存在，當(dāng)時， 恒有又因為，對于，一定

5、存在，當(dāng)時，恒有取，當(dāng)時 所以 2）證明：因為，所以只需證明類似1）中證明，可得為時的無窮大，由無窮大與無窮小的關(guān)系時，為無窮小，又因為，利用極限的性質(zhì)，是局部有界的，因此也是局部有界的。根據(jù)無窮小與有界量的積還是無窮小，所以。再利用極限與無窮小的關(guān)系有5、函數(shù)在區(qū)間是否有界？當(dāng)時，此函數(shù)是否為無窮大？為什么？證明：1）在區(qū)間無界。如果函數(shù)在區(qū)間上有界則存在正常數(shù)，使得對于任給的，都有 ，而我們只要取，則有，這是一個矛盾，所以函數(shù)在區(qū)間上無界。2）當(dāng)時，不是無窮大。如果，即對于任意的正數(shù)，都存在，當(dāng)時都有。而當(dāng)我們?nèi)r，則有這是一個矛盾，所以時，不是無窮大。作業(yè)51、求解：原式2、求解：原式3

6、、求解：原式4、求解：原式5、求解：因為，根據(jù)無窮小與有界量的積還是無窮小有 6、設(shè)，求的值。解：又因為，所以；另一方面所以。7、設(shè)當(dāng)時，。問 1）當(dāng)時，是否必為無窮大？ 解：不一定，例，但不是無窮大。 2）當(dāng)時，有無可能？ 解：有可能，例，但作業(yè)61、填空 1） 2） 3） 4）2、求下列極限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式3、用極限存在準(zhǔn)則證明：證明：因為，由夾逼準(zhǔn)則，有。4、求極限解：因為由夾逼準(zhǔn)則5、證明：數(shù)列的極限存在，并求出其極限。證明：用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明極限存在。設(shè)此數(shù)列為，則有 顯然，如果，則，由數(shù)學(xué)歸納法，有。又因為，此數(shù)列是單調(diào)增的，所以此數(shù)列極限存在，我們

7、設(shè)，則由可得，解得。作業(yè)71、求下列極限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式 4）解：原式5）解：原式2、當(dāng)時，確定下列無窮小關(guān)于的階數(shù) 1） 解：，所以，當(dāng)時，關(guān)于的階數(shù)為。 2） 解：，所以，當(dāng)時，關(guān)于的階數(shù)為。3、證明：若，且存在，則。證明： 由，我們有，且存在，所以 。作業(yè)81、求下列函數(shù)的間斷點，并指出其類型 1） 解：，有兩個間斷點，其中，是可去間斷點，當(dāng)時，令，則在處連續(xù)；是無窮間斷點。 2） 解：時此函數(shù)的跳躍間斷點。 3） 解：此函數(shù)有兩個間斷點。是無窮間斷點；因為，所以是跳躍間斷點。2、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判別其類型。解：，是此函數(shù)的間斷點，它們都是跳

8、躍間斷點。3、確定的值，使函數(shù)。解：當(dāng)時，函數(shù)都是連續(xù)的，所以我們主要考慮處的連續(xù)性。當(dāng)時，此函數(shù)處處連續(xù)。4、證明：若函數(shù)在點處連續(xù)且，則存在的某一個鄰域，當(dāng)時，。證明：因為函數(shù)在點處連續(xù)且，所以由極限的局部保號性，存在存在的某一個鄰域，當(dāng)時，。5、求下列極限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式 4） 解：原式 6、設(shè)：是定義在上的單調(diào)增函數(shù)，存在。證明：在點連續(xù)。證明：設(shè)，如果取，因為，所以存在，使得，當(dāng)時有當(dāng)時，有，這與是定義在上的單調(diào)增函數(shù)矛盾；如果取，因為，所以存在，使得，當(dāng)時有當(dāng)時，有，這與是定義在上的單調(diào)增函數(shù)矛盾。所以，即在點連續(xù)。7、證明：方程至少有一個正根，并且

9、不超過。證明：在閉區(qū)間上考慮函數(shù)，顯然在上連續(xù)；如果，就是滿足要求的根；如果，由零點定理，至少存在一點使得，就是滿足要求的根。8、設(shè)函數(shù)對于閉區(qū)間上任意兩點恒有，其中為正常數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得。證明：對于任取的，因為時，我們只要取，當(dāng)時一定有所以，所以在上連續(xù)。，因為時，我們只要取，當(dāng)時一定有所以在處右連續(xù)，同理可證在處左連續(xù)，所以在上連續(xù)，又因為，由零點定理，至少存在一點，使得。9、若在區(qū)間上連續(xù)，且存在，試證明是區(qū)間 上的有界函數(shù)。證明：因為存在，由極限的局部有界性，存在，當(dāng)時有，又由在區(qū)間上連續(xù)，所以在區(qū)間上連續(xù)，由最大值最小值定理，在區(qū)間上有界，即存在，對任給的有。取，對任

10、給的有所以是區(qū)間 上的有界函數(shù)。作業(yè)91、填空題 1）且，則； 2）設(shè)，則； 3）設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則，； 4）過定點且與曲線相切的直線方程為； 5），則，。2、按導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在點出的導(dǎo)數(shù)。 解： 3、設(shè)函數(shù)，其中在處連續(xù)，求。解：因為在處連續(xù)，所以上式。4、設(shè)在處連續(xù)，且，求曲線在點處的切線方程。解：因為在處連續(xù)，又因為 ，所以。 ，其中曲線在點處的切線方程為5、為使函數(shù)在點處可導(dǎo)，常數(shù)應(yīng)取何值。解：1）由在處連續(xù)有2）由在處可導(dǎo)有所以。6、證明函數(shù)在處連續(xù)，但不可導(dǎo)。證明：因為 所以，即在處連續(xù)；又因為，所以在處不可導(dǎo)。作業(yè)101、填空題 1）若函數(shù)，則； 2）設(shè)曲線與都通過點，且在點

11、處有公切線，則，； 3）若為可導(dǎo)函數(shù)，且，則，； 4）設(shè)，則； 5）曲線在橫坐標(biāo)處的切線方程為，法線方程為。2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1） 解： 2） 解： 3） 解： 4） 解： 5） 解： 6） 解：3、在下列各題中，設(shè)可導(dǎo)，求。 1） 解： 2） 解： 4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1） 解： 2） 解： 3） 解： 4） 解： 5） 解： 6） 解： 7） 解：5、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：1）當(dāng)時 2）當(dāng)時 ，因為， 所以在處不可導(dǎo)。6、設(shè)，已知，求解：令，則所以7、設(shè)互為反函數(shù)，可導(dǎo)，且，而求。解：令，當(dāng)時，作業(yè)111、填空題 1）設(shè)函數(shù)由方程確定，則 2）曲線上對應(yīng)于處的法線方程是 3）設(shè)，其中可

12、導(dǎo)，且，則 4）設(shè)，則 2、求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1） 解：方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得：。 2） 解：方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得：。 3、求橢圓在點處的切線方程和法線方程。 解：兩邊關(guān)于求導(dǎo)得： 。切線方程為：；法線方程：。4、已知曲線方程為，求此曲線在所對應(yīng)點處的切線方程。 解：兩邊關(guān)于求導(dǎo)得：當(dāng)時，所求切線方程為：5、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1） 解：方法一、 方法二、兩邊取對數(shù)得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得： 2） 解：兩邊取對數(shù)得： 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得：6、求下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1） 解： 2） 解：7、求三葉玫瑰線上對應(yīng)于點處的切線方程（直角坐標(biāo)形式）。 解：， 當(dāng)時， 切線方程為：。作業(yè)121、填空

13、題 1），在處，當(dāng)時，則應(yīng)有 2）設(shè)在處可微，則 3）設(shè)可微，且，則 2、將適合的函數(shù)填入下面括號內(nèi)使等式成立 1） 2） 3） 4） 5） 6）3、求下列函數(shù)的微分 1） 解： 2） 解： 3） 解： 4） 解：4、利用一階微分形式不變形，求微分 1）解： 2） 解：可化為，兩邊取對數(shù)得：5、設(shè)扇形的圓心角，半徑。如果不變，減少，問扇形的面積大約改變了多少？又如果不變，增加問扇形的面積大約改變了多少？解：扇形的面積為1） 當(dāng)不變時，此時面積大約改變了。2） 當(dāng)不變時， 此時面積大約改變了。 下面我們計算精確變化變動前扇形的面積 第一次變動后的面積 第二次變動后的面積作業(yè)131、填空題 1）設(shè)

14、，則 2）設(shè)， 3）設(shè)，則 4）設(shè)二階可導(dǎo)，且其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)均不為零，其反函數(shù)為，則 5）已知函數(shù)由方程確定，則2、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 1） 解：， 2） 解：， 3） 解：，3、求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的一般表達式 1） 解：， 2） 解： 4、求下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 1） 解：方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得： 2） 解：方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得：5、求下列參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 1） 解： 2） （其中存在且不為零） 解： 6、設(shè)且存在，是確定常數(shù)的值。解：由存在可得存在且在處連續(xù)。由連續(xù)性有所以。由存在我們有，而所以。當(dāng)時，當(dāng)時，。所以由存在我們有，而 所以。作業(yè)141、填空題 1）設(shè)

15、，則在區(qū)間內(nèi)方程有個實根；在區(qū)間內(nèi)有個實根。 2）函數(shù)在區(qū)間上的有限增量公式中的等于 3）在區(qū)間上，函數(shù)滿足羅爾中值定理中的 4）在區(qū)間上，函數(shù)滿足拉格朗日中值定理中的 5）在區(qū)間上，函數(shù)，及滿足柯西中值定理中的2、設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，證明：在上至少存在一點，使。 證明：在區(qū)間上考慮函數(shù)，由已知可得在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理在上至少存在一點，使得，而，所以3、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且。 試證：1）存在，使得； 2）對任意的實數(shù)，必存在，使得證明：1）在上考慮函數(shù)，由已知可得在上連續(xù)，且 ，由零點定理，存在，使得，即。 2）在上考慮函數(shù)，由已知可得在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，由

16、羅爾中值定理，必存在，有 即 4、設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且存在使。證明：在內(nèi)至少存在一點，使得。證明：對函數(shù)分別在區(qū)間和上利用拉格朗日中值定理，至少存在使得 在對函數(shù)在區(qū)間上利用拉格朗日中值定理，至少存在，使得。而，結(jié)論得證。5、證明下列等式或不等式 1） （其中） 證明：設(shè) 所以當(dāng)時，為一常數(shù)，而因此，當(dāng)時，2）當(dāng)時，證明：在區(qū)間上考慮函數(shù)，利用拉格朗日中值定理，至少存在使得，而，所以3）當(dāng)時，證明：在區(qū)間上考慮函數(shù)，利用拉格朗日中值定理，在區(qū)間中至少存在一點使得 即 又因為 所以 即 6、證明方程在有且僅有一個實根。證明：設(shè)，因為由零點定理，方程在至少有一個實根。如果存在都是方程的實根，且，

17、不失一般性，可設(shè)，則在區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件，因此，至少存在一點使得，而在實數(shù)范圍內(nèi)不存在這樣的，所以方程在僅有一個實根。作業(yè)151、求下列極限 1） 解：原式 2）解：原式3）解：原式4）解：原式 5）解：原式6）解：原式 7）解：原式2、已知有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，求極限解：3、設(shè)在處二階可導(dǎo)，求常數(shù)的值，使處可導(dǎo)，并求的值。解：可導(dǎo)一定連續(xù)，由連續(xù)性有，因此極限一定存在，所以（因為可導(dǎo)一定連續(xù)）4、設(shè)，是證明導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)。證明：當(dāng)時， 當(dāng)時， 作業(yè)161、寫出在處帶有拉格朗日余項的三階泰勒公式。解：2、寫出帶拉格朗日余項的階麥克勞林公式。解：3、寫出在處帶皮亞諾余項的階泰勒公式。解

18、：4、利用泰勒公式計算下列極限 1） 解：因為 原式 2） 解：因為 原式5、若在二階可導(dǎo)，且最小值。求證：在內(nèi)存在一點，使。證明：設(shè)在處取得最小值，則（費馬定理）。由泰勒公式，我們有，其中在之間，當(dāng)時，其中在之間，所以。作業(yè)171、填空題 1）設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)除兩點的導(dǎo)數(shù)為零外，其他各點的導(dǎo)數(shù)都為負值，則在上的最大值為。 2）設(shè)常數(shù)，函數(shù)在內(nèi)有零點個。 3）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是 4）設(shè)方程在區(qū)間上有唯一實根，則常數(shù)的取值范圍是。2、確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1） 解：+00+0此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為 2） 解：0+此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為3、求下列函

19、數(shù)的極值 1） 解： 當(dāng)時，；當(dāng)時，不存在。+不存在0+極大值極小值 當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為；當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為。2）解：，此函數(shù)不存在極值點。4、求下列函數(shù)的最大值、最小值 1） 解：，解此方程得 當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上最大值為，最小值為。 2） 解： 當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為。 3） 解：， 可能取得最值的點只有 當(dāng)或時，；當(dāng)時，當(dāng)時， 當(dāng)時，所以函數(shù)在的最大值為，最小值為。5、證明下列不等式 1）當(dāng)時， 證明：考慮函數(shù)，當(dāng)時，所以當(dāng) 時，是遞減函數(shù)，對于有 2）當(dāng)時，證明：考慮函數(shù)， 當(dāng)時，所以，當(dāng)時，即 3）當(dāng)，時，。 證明：設(shè)，當(dāng)時，

20、。 ，因為，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為。所以當(dāng)時有6、設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且。試證明：方程在內(nèi)有唯一的實根。 證明：1）唯一性。任取，對函數(shù)在區(qū)間上運用拉格朗日中值定理，至少存在一點使得 由于是任意取的，所以在上單調(diào)遞減。如果在內(nèi)有根也只能有唯一的實根。 2）存在性。只需找一點使得。無妨先取一點，對函數(shù)在區(qū)間上運用拉格朗日中值定理，至少存在一點使得 當(dāng)時，即時，有，根據(jù)零點定理，當(dāng)時，在上至少有一個實根。7、已知函數(shù)對一切滿足方程，若在某一點處取得極值，試問它是極大值還是極小值？并證明之。解：是極小值。由已知可得有二階導(dǎo)數(shù)。若在某一點處取得極值，則有，因為函數(shù)對一切滿足方程，所以（這是因為

21、時，；當(dāng)時，）。8、試求內(nèi)接于半徑為的球的最大體積圓柱體的高。 解：設(shè)此圓柱體的高為，體積為，則解得。所以，內(nèi)接于半徑為的球的最大體積圓柱體的高為。9、已知在點的鄰域內(nèi)有定義，且，證明：當(dāng)時，在處有極小值；當(dāng)時，在處有極大值。證明：1）當(dāng)時，因為，由極限的保號性，存在的一個去心鄰域內(nèi)有，所以，在處有極小值。2）當(dāng)時，因為，由極限的保號性，存在的一個去心鄰域內(nèi)有，所以，在處有極大值。作業(yè)181、填空題 1）若曲線的拐點為，則常數(shù)，。 2）曲線的漸近線方程為。 3）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線向上凸的取值范圍為。 4）曲線有個拐點。2、計算下列函數(shù)圖形的凹凸性及拐點 1） 解： 在區(qū)間函數(shù)下凸；在

22、區(qū)間函數(shù)上凸，點是拐點。 2） 解： 在區(qū)間函數(shù)上凸；在區(qū)間函數(shù)下凸；在區(qū)間函數(shù)上圖。點為拐點。3、證明下列不等式 1）證明：考慮函數(shù)，因為，當(dāng)時，此曲線是下凸的，所以，對任意的，及有 2）證明：考慮函數(shù)，因為，當(dāng)時，此曲線是下凸的，所以，對任意的，及有4、描繪向下列函數(shù)的圖像 1） 解：此函數(shù)定義域，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，并且不是周期函數(shù) 判定函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性 -0+-0+此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減。在區(qū)間上上凸；在區(qū)間上下凸。 求漸近線因為，所以此曲線有水平漸近線，鉛直漸近線作圖2）解：此函數(shù)定義域，是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù) 判定函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性 ， +0-0+-0+此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減。在區(qū)間上上凸；在區(qū)間上下凸。 求漸近線因為，所以此曲線有斜漸近線作圖5、設(shè)在點三階可導(dǎo)，求證：點是曲線的拐點。證明：無妨設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義由極限的保號性存在的去心鄰域內(nèi)有。當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以；根據(jù)拐點的定義，點是曲線的拐點。同理可證的情形。作業(yè)191、利用定積分的幾何意義，填寫下列定積分的值 1）。 2）。 3）。 4）。2、比較下列各組定積分的大?。ㄌ顚懖坏忍枺?1）； 2）； 3）。3、利用定積分定