高考數(shù)學(xué)選擇題神奇巧解專題43頁

1、神奇巧解高考數(shù)學(xué)選擇題專題前 言高考數(shù)學(xué)選擇題，知識覆蓋面寬，概括性強，小巧靈活，有一定深度與綜合性，而且分值大，能否迅速、準(zhǔn)確地解答出來，成為全卷得分的關(guān)鍵。選擇題的解答思路不外乎兩條：一是直接法，即從題干出發(fā)，探求結(jié)果，這類選擇題通常用來考核考生最起碼的基礎(chǔ)知識和基本技能，這一般適用于題號在前16的題目；二是間接法，即從選項出發(fā)，或者將題干與選項聯(lián)合考察而得到結(jié)果。因為選擇題有備選項，又無須寫出解答過程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果，這就是間接法。這類選擇題通常用來考核考生的思維品質(zhì)，包括思維的廣闊性和深刻性、獨立性和批判性 、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性 、靈活性和敏捷性 以及創(chuàng)

2、造性；同直接法相比，間接法所需要的時間可能是直接法的幾分之一甚至幾十分之一，是節(jié)約解題時間的重要手段。然而，有相當(dāng)一部分考生對于用間接手段解題并不放心，認(rèn)為這樣做“不可靠”，以至于在用間接法做過以后又用直接法再做一遍予以驗證；甚至有思想不解放的，認(rèn)為這樣做“不道德”，而不明白這其實正是高考命題者的真實意圖所在，高考正是利用選擇題作為甄別不同層次思維能力的考生的一種重要手段。解選擇題常見的方法包括數(shù)形結(jié)合、特值代驗、邏輯排除、逐一驗證、等價轉(zhuǎn)化、巧用定義、直覺判斷、趨勢判斷、估計判斷、退化判斷、直接解答、現(xiàn)場操作，等等?？忌鷳?yīng)該有意識地積累一些經(jīng)典題型，分門別類，經(jīng)常玩味，以提高自己在這方面的能

3、力。下面主要就間接法分別舉例說明之，并配備足夠的對應(yīng)練習(xí)題，每題至少提供有一種解法。例題與題組一、數(shù)形結(jié)合畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的信息更直觀地呈現(xiàn)，從而大大降低思維難度，是解決數(shù)學(xué)問題的有力策略，這種方法使用得非常之多?！纠}】、（07江蘇6）設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，則有（ ）。A、 B、 C、 D【解析】、當(dāng)時，的圖象關(guān)于直線對稱，則圖象如圖所示。這個圖象是個示意圖，事實上，就算畫出的圖象代替它也可以。由圖知，符合要求的選項是B，【練習(xí)1】、若P（2，-1）為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：畫出圓和過點P的直線，再看

4、四條直線的斜率，即可知選A）【練習(xí)2】、（07遼寧）已知變量、滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：把看作可行域內(nèi)的點與原點所在直線的斜率，不難求得答案 ，選A。）【練習(xí)3】、曲線與直線有兩個公共點時，的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：事實上不難看出，曲線方程的圖象為，表示以（1，0）為圓心，2為半徑的上半圓，如圖。直線過定點（2，4），那么斜率的范圍就清楚了，選D）【練習(xí)4】、函數(shù)在區(qū)間A上是增函數(shù)，則區(qū)間A是（ ）A、 B、 C、 D、 （提示：作出該函數(shù)的圖象如右，知應(yīng)該選B）【練習(xí)5】、曲線與直線有兩個交點，則的取值范圍是（ ）A、或 B、C、或

5、 D、（提示：作出曲線的圖象如右，因為直線與其有兩個交點，則或，選A）【練習(xí)6】、（06湖南理8）設(shè)函數(shù)，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：數(shù)形結(jié)合，先畫出的圖象。當(dāng)時，圖象如左；當(dāng)時圖象如右。由圖象知，當(dāng)時函數(shù)在上遞增，同時的解集為的真子集，選C）【練習(xí)7】、（06湖南理10）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：數(shù)形結(jié)合，先畫出圓的圖形。圓方程化為，由題意知，圓心到直線的距離應(yīng)該滿足，在已知圓中畫一個半徑為的同心圓，則過原點的直線與小圓有公共點，選B。）【練習(xí)8】、（07浙江文10）若非零向量a，

6、b滿足|a-b|=| b |，則（ ）A、|2b| | a-2b | B、|2b| | a-2b |C、|2a| | 2a-b | D、|2a| | 2a-b |（提示：關(guān)鍵是要畫出向量a，b的關(guān)系圖，為此先把條件進行等價轉(zhuǎn)換。|a-b|=| b |a-b|2=| b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·（a-2b）=0 a（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，|2b|為邊長構(gòu)成直角三角形，|2b|為斜邊，如上圖，|2b| | a-2b |，選A。另外也可以這樣解：先構(gòu)造等腰OAB，使OB=AB，再構(gòu)造ROAC，如下圖，因為OCAC，所以

7、選A。）【練習(xí)9】、方程cosx=lgx的實根的個數(shù)是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4（提示：在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)cosx與lgx的圖象，如圖，由兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)為3，知應(yīng)選C）【練習(xí)10】、(06江蘇7)若A、B、C為三個集合，則一定有（ ）A、 B、 C、 D、（提示：若，則成立，排除C、D選項，作出Venn圖，可知A成立）【練習(xí)11】、(07天津理7)在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且。若在區(qū)間1，2上是減函數(shù)，則（ ）A、在區(qū)間-2，-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增函數(shù)B、在區(qū)間-2，-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)C、在區(qū)間-2，-1上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4上是增

8、函數(shù)D、在區(qū)間-2，-1上是減函數(shù)，在區(qū)間3，4上是減函數(shù)（提示：數(shù)形結(jié)合法，是抽象函數(shù)，因此畫出其簡單圖象即可得出結(jié)論，如下左圖知選B）【練習(xí)12】、（07山東文11改編）方程的解的取值區(qū)間是（ ）A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）（提示：數(shù)形結(jié)合，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，則立刻知選B，如上右圖）二、特值代驗包括選取符合題意的特殊數(shù)值、特殊位置和特殊圖形，代入或者比照選項來確定答案。這種方法叫做特值代驗法，是一種使用頻率很高的方法。【例題】、（93年全國高考）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（ ）A、12 B、10 C、8 D、【解析】、思路一（小題大做）

9、：由條件有從而，所以原式=，選B。思路二（小題小做）：由知原式=，選B。思路三（小題巧做）：因為答案唯一，故取一個滿足條件的特殊數(shù)列即可，選B?！揪毩?xí)1】、（07江西文8）若，則下列命題中正確的是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：取驗證即可，選B）【練習(xí)2】、（06北京理7）設(shè)，則（ ）A、 B、 C、 D、（提示：思路一：f（n）是以2為首項，8為公比的等比數(shù)列的前項的和，所以，選D。這屬于直接法。思路2：令，則，對照選項，只有D成立。）【練習(xí)3】、（06全國1理9）設(shè)平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3滿足| bi|=2| ai |，且ai順時針

10、旋轉(zhuǎn)以后與bi同向，其中i=1、2、3則（ ）A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0（提示：因為a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3構(gòu)成封閉三角形，不妨設(shè)其為正三角形，則bi實際上是將三角形順時針旋轉(zhuǎn)后再將其各邊延長2倍，仍為封閉三角形，故選D。）【練習(xí)4】、若，則的圖象是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：抓住特殊點2，所以對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，圖象往左移動一個單位得，必過原點，選A）【練習(xí)5】、若函數(shù)是偶函數(shù)，則的對稱軸是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：因為若函數(shù)是偶函數(shù)，作一個特殊函數(shù)，則變?yōu)?，即知的對稱軸是，選C）

11、【練習(xí)6】、已知數(shù)列an的通項公式為an=2n-1，其前n和為Sn，那么Cn1S1+ Cn2S2+ CnnSn=（ ）A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n（提示：愚蠢的解法是：先根據(jù)通項公式an=2n-1求得和的公式Sn，再代入式子Cn1S1+ Cn2S2+ CnnSn，再利用二項式展開式的逆用裂項求和得解，有些書上就是這么做的！其實這既然是小題，就應(yīng)該按照小題的解思路來求做：令n=2，代入式子，再對照選項，選B）【練習(xí)7】、（06遼寧理10）直線與曲線（）的公共點的個數(shù)是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4（提示：取，原方程變?yōu)?，這是兩個橢圓，與直線有4個公共

12、點，選D）【練習(xí)8】、如圖左，若D、E、F分別是三棱錐S-ABC的側(cè)棱SA、SB、SC上的點，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面DEF截三棱錐S-ABC所得的上下兩部分的體積之比為（ ）A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25（提示：特殊化處理，不妨設(shè)三棱錐S-ABC是棱長為3的正三棱錐，K是FC的中點，分別表示上下兩部分的體積則，選C）【練習(xí)9】、ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則的取值是（ ）A、-1 B、1 C、-2 D、2（提示：特殊化處理，不妨設(shè)ABC為直角三角形，則圓心O在斜邊中點處，此時有，選B。）【練習(xí)10】、雙曲線方程為，則

13、的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、或（提示：在選項中選一些特殊值例如代入驗證即可，選D）三、篩選判斷包括逐一驗證法將選項逐一代入條件中進行驗證，或者邏輯排除法，即通過對四個選項之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系進行排除與確定?！纠}】、設(shè)集合A和B都屬于正整數(shù)集，映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，則在映射f下，像20的原像是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5【解析】、經(jīng)逐一驗證，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，選C。【練習(xí)1】、（06安徽理6）將函數(shù)的圖象按向量a=平移以后的圖象如圖所示，則平移以后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：若選A或B，則周期

14、為，與圖象所示周期不符；若選D，則與 “按向量a=平移” 不符，選C。此題屬于容易題）【練習(xí)2】、（06重慶理9）如圖，單位圓中的長度為，表示與弦AB所圍成的弓形的面的2倍，則函數(shù)的圖象是（ ）22222222A、 B、 C、 D、（提示：解法1 設(shè)，則，則S弓形=S扇形- SAOB=，當(dāng)時，則，其圖象位于下方；當(dāng)時，其圖象位于上方。所以只有選D。這種方法屬于小題大作。解法2 結(jié)合直覺法逐一驗證。顯然，面積不是弧長的一次函數(shù)，排除A；當(dāng)從很小的值逐漸增大時，的增長不會太快，排除B；只要則必然有面積，排除C，選D。事實上，直覺好的學(xué)生完全可以直接選D）【練習(xí)3】、（06天津文8）若橢圓的中心點為

15、E（-1，0），它的一個焦點為F（-3，0），相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是，則這個橢圓的方程是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：橢圓中心為（-1，0），排除A、C，橢圓相當(dāng)于向左平移了1個單位長度，故c=2，選D）【練習(xí)4】、不等式的解集是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：如果直接解，差不多相當(dāng)于一道大題！取，代入原不等式，成立，排除B、C；取，排除D，選A）【練習(xí)5】、（06江西理12）某地一年內(nèi)的氣溫Q（t）（）與時間t（月份）之間的關(guān)系如右圖，已知該年的平均氣溫為10。令C（t）表示時間段0，t的平均氣溫，C（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系如下圖，則正確的應(yīng)該是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：

16、由圖可以發(fā)現(xiàn)，t=6時，C（t）=0，排除C；t=12時，C（t）=10，排除D；t6時的某一段氣溫超過10，排除B，選A。）【練習(xí)6】、集合與集合之間的關(guān)系是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：C、D是矛盾對立關(guān)系，必有一真，所以A、B均假； 表示全體奇數(shù)，也表示奇數(shù)，故且B假，只有C真，選C。此法扣住了概念之間矛盾對立的邏輯關(guān)系。當(dāng)然，此題用現(xiàn)場操作法來解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后觀察兩個集合的關(guān)系就知道答案了。）【練習(xí)7】、當(dāng)時，恒成立，則的一個可能的值是（ ）A、5 B、 C、 D、（提示：若選項A正確，則B、C、D也正確；若選項B正確

17、，則C、D也正確；若選項C正確，則D也正確。選D）【練習(xí)8】、（01廣東河南10）對于拋物線上任意一點Q，點P（a，0）都滿足，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：用邏輯排除法。畫出草圖，知a0符合條件，則排除C、D；又取，則P是焦點，記點Q到準(zhǔn)線的距離為d，則由拋物線定義知道，此時ad|PQ|,即表明符合條件，排除A，選B。另外，很多資料上解此題是用的直接法，照錄如下，供“不放心”的讀者比較設(shè)點Q的坐標(biāo)為，由，得，整理得， ，即恒成立，而的最小值是2，選B）【練習(xí)9】、（07全國卷理12）函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：“標(biāo)準(zhǔn)”答案是用直接法通過求導(dǎo)數(shù)

18、解不等式組，再結(jié)合圖象解得的，選A。建議你用代入驗證法進行篩選：因為函數(shù)是連續(xù)的，選項里面的各個端點值其實是可以取到的，由，顯然直接排除D，在A、B、C中只要計算兩個即可，因為B中代入會出現(xiàn)，所以最好只算A、C、現(xiàn)在就驗算A，有，符合，選A）四、等價轉(zhuǎn)化解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，能夠轉(zhuǎn)化下去就能夠解下去。至于怎樣轉(zhuǎn)化，要通過必要的訓(xùn)練，達到見識足、技能熟的境界。在解有關(guān)排列組合的應(yīng)用問題中這一點顯得尤其重要。【例題】、（05遼寧12）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】問題等價于對函數(shù)圖象上任一點都滿足，只能選A?！揪毩?xí)

19、1】、設(shè)，且sin3+ cos3，則的取值范圍是（ ）A、-，0） B、 C、（-1，0） D、（-，0）（提示：因為sin3+ cos3=（sin+ cos）（sin2- sincos+ cos2），而sin2- sincos+ cos20恒成立，故sin3+ cos3t0,選A。另解：由sin3+ cos3 知非銳角，而我們知道只有為銳角或者直角時，所以排除B、C、D，選A）【練習(xí)2】、是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則的最大值是（ ）A、4 B、5 C、1 D、2（提示：設(shè)動點P的坐標(biāo)是，由是橢圓的左、右焦點得，則，選D。這里利用橢圓的參數(shù)方程把問題等價轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題。

20、特別提醒：下列“簡捷”解法是掉進了命題人的“陷阱”的）【練習(xí)3】、若，則（ ）。 A、 B、 C、 D、（提示：利用換底公式等價轉(zhuǎn)化。，選B）【練習(xí)4】、且，則（ ）A、 B、 C、 D、（提示：此題條件較多，又以符號語言出現(xiàn)，令人眼花繚亂。對策之一是“符號語言圖形化”，如圖 ，用線段代表立馬知道選C。當(dāng)然這也屬于數(shù)形結(jié)合方法。對策之二是“抽象語言具體化”， 分別用數(shù)字1，4，2，3代表容易知道選C。也許你認(rèn)為對策一的轉(zhuǎn)化并不等價，是的，但是作為選擇題，可以事先把條件“”收嚴(yán)一些變?yōu)椤啊?。【練?xí)5】、已知若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示： 化簡得，在上遞增，

21、而在上單調(diào)遞增，又選B）【練習(xí)6】、把10個相同的小球放入編號為1，2，3的三個不同盒子中，使盒子里球的個數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：首先在編號為1，2，3的三個盒子中分別放入0，1，2個小球，則余下的7個球只要用隔板法分成3 堆即可，有種，選B；如果你認(rèn)為難以想到在三個盒子中分別放入只0，1，2個小球，而更容易想到在三個盒子中分別放入只1，2，3個小球，那也好辦：你將余下的4個球加上虛擬的（或曰借來的）3個小球，在排成一列的7球6空中插入2塊隔板，也與本問題等價。）【練習(xí)7】、方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ）A、24 B、 72 C、144 D、16

22、5（提示：問題等價于把12個相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3塊隔板即可，答案為，選D）【練習(xí)8】、從1，2，3，10中每次取出3個互不相鄰的數(shù)，共有的取法數(shù)是（ ）A、35 B、56 C、84 D、120（提示：逆向思維，問題可以等價地看作是將取出的三個數(shù)再插入余下的7個數(shù)的8個空中，那么問題轉(zhuǎn)化為求從8個空位中任意選3個的方法數(shù)，為，選B）【練習(xí)9】、（理科）已知，則= （ ）A、4 B、-5 C、-4 D、5（提示：逆向思維，分母（）一定是存在于分子的一個因式，那么一定有，必然有，且，選B）【練習(xí)10】、異面直線所成的角為，過空間一點O的直線與所成的角等于，則這樣的直

23、線有（ ）條A、1 B、2 C、3 D、4（提示：把異面直線平移到過點O的位置，記他們所確定的平面為，則問題等價于過點O有多少條直線與所成的角等于，如圖，恰有3條，選C）【練習(xí)11】、不等式的解集為，那么不等式的解集為（ ）A、 B、 C、 D、（提示：把不等式化為，其結(jié)構(gòu)與原不等式相同，則只須令，得，選A）五、巧用定義定義是知識的生長點，因此回歸定義是解決問題的一種重要策略?！纠}】、某銷售公司完善管理機制以后，其銷售額每季度平均比上季度增長7%，那么經(jīng)過季度增長到原來的倍，則函數(shù)的圖象大致是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】、由題設(shè)知，這是一個遞增的指數(shù)函數(shù)，其中，所以選D。【練習(xí)1】、

24、已知對于任意，都有，且，則是（ ）A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C、奇函數(shù)且偶函數(shù) D、非奇且非偶函數(shù)（提示：令，則由得；又令，代入條件式可得，因此是偶函數(shù)，選B）【練習(xí)2】、點M為圓P內(nèi)不同于圓心的定點，過點M作圓Q與圓P相切，則圓心Q的軌跡是（ ）A、圓 B、橢圓 C、圓或線段 D、線段（提示：設(shè)P的半徑為R，P、M為兩定點，那么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常數(shù)，由橢圓定義知圓心Q的軌跡是橢圓，選B）【練習(xí)3】、若橢圓內(nèi)有一點P（1，-1），F(xiàn)為右焦點，橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|最小，則點M為（ ）A、 B、 C、 D、（提示：在橢圓中，則，設(shè)點M到右準(zhǔn)線的距離為|M

25、N|，則由橢圓的第二定義知，從而，這樣，過點P作右準(zhǔn)線的垂直射線與橢圓的交點即為所求M點，知易M，故選A）【練習(xí)4】、設(shè)是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任意一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A、2，3 B、（1，3 C、 D、（提示：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等于號，又，得，選B）【練習(xí)5】、已知P為拋物線上任一動點，記點P到軸的距離為，對于給定點A（4，5），|PA|+d的最小值是（ ）A、4 B、 C、 D、（提示：比P到準(zhǔn)線的距離（即|PF|）少1，|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A點在拋物線外， |PA|+d的最小值為|AF|-1=，選D）【練習(xí)6】、函數(shù)

26、的反函數(shù)，則的圖象（ ）。 A、關(guān)于點(2, 3)對稱 B、關(guān)于點(-2, -3)對稱 C、關(guān)于直線y=3對稱 D、關(guān)于直線x = -2對稱（提示：注意到的圖象是雙曲線，其對稱中心的橫坐標(biāo)是-3，由反函數(shù)的定義，知圖象的對稱中心的縱坐標(biāo)是-3，只能選B）【練習(xí)7】、已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，那么是的（ ）條件。 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要（提示：由條件以及函數(shù)單調(diào)性的定義，有，而這個過程并不可逆，因此選A）【練習(xí)8】、點P是以為焦點的橢圓上的一點，過焦點作的外角平分線的垂線，垂足為M，則點M的軌跡是（ ）A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線（提示：如圖，易知，

27、M是的中點，OM是的中位線，由橢圓的定義知，=定值，定值（橢圓的長半軸長a），選A）【練習(xí)9】、在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的是雙曲線，則的取值范圍是（）A、（0，1） B、（ 1，） C、（0，5） D、（5，）（提示：方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2可變形為，即得，這表示雙曲線上一點到定點（0，-1）與定直線的距離之比為常數(shù)，又由，得到，選C。若用特值代驗，右邊展開式含有項，你無法判斷）六、直覺判斷數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守概念和邏輯規(guī)則，而直覺思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)，大大

28、節(jié)約思考時間。邏輯思維在數(shù)學(xué)思維中始終占據(jù)著主導(dǎo)地位，而直覺思維又是思維中最活躍、最積極、最具有創(chuàng)造性的成分。兩者具有辨證互補的關(guān)系。因此，作為選拔人才的高考命題人，很自然要考慮對直覺思維的考查?！纠}】、已知，則的值為（ ）A、 B、或 C、 D、【解析】、由題目中出現(xiàn)的數(shù)字3、4、5是勾股數(shù)以及的范圍，直接意識到，從而得到，選C 。【練習(xí)1】、如圖，已知一個正三角形內(nèi)接于一個邊長為的正三角形中，問取什么值時，內(nèi)接正三角形的面積最?。?）A、 B、 C、 D、（提示：顯然小三角形的邊長等于大三角形的邊長之半時面積最小，選A。）【練習(xí)2】、（課本題改編）測量某個零件直徑的尺寸，得到10個數(shù)據(jù)：

29、如果用作為該零件直徑的近似值，當(dāng)取什么值時，最??？（ ）A、，因為第一次測量最可靠 B、，因為最后一次測量最可靠C、，因為這兩次測量最可靠 D、（提示：若直覺好，直接選D。若直覺欠好，可以用退化策略，取兩個數(shù)嘗試便可以得到答案了。）【練習(xí)3】、若，則（ ）A、-1 B、1 C、0 D、（提示：直覺法，系數(shù)取絕對值以后，其和會相當(dāng)大，選D。或者退化判斷法將7次改為1次；還有一個絕妙的主意：干脆把問題轉(zhuǎn)化為:已知，求，這與原問題完全等價，此時令得解。）【練習(xí)4】、已知a、b是不相等的兩個正數(shù)，如果設(shè)，那么數(shù)值最大的一個是（ ）A、 B、 C、 D、與a、b的值有關(guān)。（提示：顯然p、q、r都趨向于正

30、無窮大，無法比較大小，選D。要注意，這里似乎是考核均值不等式，其實根本不具備條件缺乏定值條件?。揪毩?xí)5】、（98高考）向高為H的水瓶中注水，注滿為止。如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如下列左圖，那么水瓶的形狀是（ ）。OA B C D（提示：抓住特殊位置進行直覺思維，可以取OH的中點，當(dāng)高H為一半時，其體積過半，只有B符合，選B）【練習(xí)6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自不同的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖，盛滿酒好他們約定：先各自飲杯中酒的一半。設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為則它們的大小關(guān)系正確的是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：

31、選A）【練習(xí)7】、（01年高考）過點A（1，-1）、B（-1，1）且圓心在直線上的圓的方程是（ ）A、 B、C、 D、（提示：顯然只有點（1，1）在直線上，選C）【練習(xí)8】、（97全國理科）函數(shù)的最小正周期是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：因為總有，所以函數(shù)的周期只與有關(guān)，這里，所以選B）【練習(xí)9】、（97年高考）不等式組的解集是（ ）A、 B、C、 D、（提示：直接解肯定是錯誤的策略；四個選項左端都是0，只有右端的值不同，在這四個值中會是哪一個呢？它必定是方程的根！，代入驗證：2不是，3不是， 2.5也不是，所以選C）【練習(xí)10】、ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）A、

32、B、 C、1 D、（提示：本題選自某一著名的數(shù)學(xué)期刊，作者提供了下列 “標(biāo)準(zhǔn)”解法，特抄錄如下供讀者比較：設(shè)y=cosAcosBcosC，則2y=cos（A+B）+ cos（A-B） cosC，cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，構(gòu)造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，則cosC是一元二次方程的根，由cosC是實數(shù)知：= cos2（A-B）-8y0，即8ycos2（A-B）1，故應(yīng)選B。這就是“經(jīng)典”的小題大作！事實上，由于三個角A、B、C的地位完全平等，直覺告訴我們：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A(yù)=B=C=60即得答案B，這就是直覺法的威力，這也正是命題

33、人的意圖所在。）【練習(xí)11】、（07浙江文8）甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即以先贏2局者為勝，根據(jù)以往經(jīng)驗，每局比賽中甲獲勝的概率為0.6，則本次比賽中甲獲勝的概率為（ ）A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648（提示：先看“標(biāo)準(zhǔn)”解法甲獲勝分兩種情況：甲：乙=2：0，其概率為0.6×0.6=0.36，甲：乙=2：1，其概率為，所以甲獲勝的概率為0.36+0.288=0.648，選D?，F(xiàn)在再用直覺法來解：因為這種比賽沒有平局，2人獲勝的概率之和為1，而甲獲勝的概率比乙大，應(yīng)該超過0.5，只有選D。）【練習(xí)12】、，則（ ）A、1 B、2 C、-

34、1 D、-2（提示：顯然，選B）七、趨勢判斷趨勢判斷法，包括極限判斷法，連同估值法，大致可以歸于直覺判斷法一類。具體來講，顧名思義，趨勢判斷法的要義是根據(jù)變化趨勢來發(fā)現(xiàn)結(jié)果，要求化靜為動，在運動中尋找規(guī)律，因此是一種較高層次的思維方法?！纠}】、（06年全國卷，11）用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的5根細木棍圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為多少？A、8 cm2 B、6 cm2 C、3 cm2 D、20 cm2【解析】、此三角形的周長是定值20，當(dāng)其高或底趨向于零時其形狀趨向于一條直線，其面積趨向于零，可知，只有當(dāng)三角形的形狀趨向于最“飽滿”時

35、也就是形狀接近于正三角形時面積最大，故三邊長應(yīng)該為7、7、6，因此易知最大面積為cm2，選B。）【練習(xí)1】、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：進行極限分析，當(dāng)頂點無限趨近于底面正多邊形的中心時，相鄰兩側(cè)面所成二面角，且；當(dāng)錐體且底面正多邊形相對固定不變時，正n棱錐形狀趨近于正n棱柱，且選A）【練習(xí)2】、設(shè)四面體四個面的面積分別為它們的最大值為S，記，則一定滿足（ ）A、 B、 C、 D、（提示：進行極限分析，當(dāng)某一頂點A無限趨近于對面時，S=S對面，不妨設(shè)S=S1，則S2+S3+S4那么，選項中只有A符合，選A。當(dāng)然，我們也可以進行特殊化

36、處理：當(dāng)四面體四個面的面積相等時，憑直覺知道選A）【練習(xí)3】、正四棱錐的相鄰兩側(cè)面所成二面角的平面角為，側(cè)面與底面 所成角為，則的值是（ ）A、1 B、 C、0 D、-1（提示：進行極限分析，當(dāng)四棱錐的高無限增大時，那么，選D）【練習(xí)4】、在ABC中，角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，若c-a等于AC邊上的高，那么的值是（ ）A、1 B、 C、 D、-1(提示：進行極限分析，時，點，此時高，那么，所以，選A。）【練習(xí)5】、若則（ ）A、 B、 C、 D、（提示：進行極限分析，當(dāng)時，；當(dāng)時，從而，選A）【練習(xí)6】、雙曲線的左焦點為F，點P為左支下半支異于頂點的任意一點，則直線PF的斜率的變化

37、范圍是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：進行極限分析，當(dāng)P時，PF的斜率；當(dāng)時，斜率不存在，即或；當(dāng)P在無窮遠處時，PF的斜率。選C。）【練習(xí)7】、（06遼寧文11）與方程的曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為（ ）A、 B、C、 D、（提示：用趨勢判斷法：顯然已知曲線方程可以化為，是個增函數(shù)。再令那么那么根據(jù)反函數(shù)的定義，在正確選項中當(dāng)時應(yīng)該有只有A符合。當(dāng)然也可以用定義法解決，直接求出反函數(shù)與選項比較之。）【練習(xí)8】、若，則對任意實數(shù)n，（ ）A、1 B、區(qū)間（0，1） C、 D、不能確定（提示：用估值法，由條件完全可以估計到中必定有一個的值是1，另一個等于0，則選A。另外，當(dāng)n=1，2時，答案

38、也是1）【練習(xí)9】、已知，且，則之間的大小關(guān)系是（ ）A、 B、 C、 D、與c的值有關(guān)（提示：此題解法較多，如分子有理化法，代值驗證法，單調(diào)性法，但是用趨勢判斷法也不錯：當(dāng)時，；當(dāng)時，可見函數(shù)遞減，選B）八、估值判斷有些問題，屬于比較大小或者確定位置的問題，我們只要對數(shù)值進行估算，或者對位置進行估計，就可以避免因為精確計算和嚴(yán)格推演而浪費時間。【例題】、已知是方程的根，是方程的根，則（ ）A、6 B、3 C、2 D、1【解析】、我們首先可以用圖象法來解：如圖，在同一坐標(biāo)系中作出四個函數(shù)，的圖象，設(shè)與的圖象交于點A，其橫坐標(biāo)為；與的圖象交于點C，其橫坐標(biāo)為；與的圖象交于點B，其橫坐標(biāo)為。因為與

39、為反函數(shù)，點A與點B關(guān)于直線對稱，所以2×=3，選B。 此屬于數(shù)形結(jié)合法，也算不錯，但非最好?，F(xiàn)在用估計法來解它：因為是方程的根，所以是方程的根，所以所以選B?！揪毩?xí)1】、用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）A、24個 B、30個 C、40個 D、60個（ 提示：如果用直接法可以分兩步：先排個位，在兩個偶數(shù)中任取一個有種方法；第二步在剩下的4個數(shù)字中任取兩個排在十位與百位有種，由乘法原理，共有=24個，選B。用估計法：五個數(shù)字可以組成個三位數(shù)，其中偶數(shù)不到一半，選B。）【練習(xí)2】、農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分組成，2003年某地農(nóng)民人均

40、收入為3150元，其中工資性收入為1800元，其它收入1350元。預(yù)計該地區(qū)農(nóng)民自2004年起工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（ ）元A、（4200，4400） B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000）（提示：由條件知該地區(qū)農(nóng)民工資性收入自2004年起構(gòu)成以的等比數(shù)列，所以2008年工資性收入為元；其它收入構(gòu)成以1350為首項，公差為160的等差數(shù)列，所以所以2008年其它收入為1350+160×5=2150元，所以2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入約為2340+2150=4

41、490元，選B。）【練習(xí)3】、已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：用估計法，設(shè)球半徑R，ABC外接圓半徑為 ，則S球=，選D）【練習(xí)4】、如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，EFAB，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為（ ）A、 B、5 C、6 D、（提示：該多面體的體積比較難求，可連接BE、CF，問題轉(zhuǎn)化為四棱錐E-ABCD與三棱錐E-BCF的體積之和，而=6，所以只能選D）【練習(xí)5】、在直角坐標(biāo)平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），點C在直線上，若

42、ACB ，則點C的縱坐標(biāo)的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、（提示：如圖，M、N在直線上，且AMB=ANB=，要使ACB ，點C應(yīng)該在M、N之間，故點C的縱坐標(biāo)應(yīng)該屬于某一開區(qū)間，而點C的縱坐標(biāo)是可以為負值的，選D）【練習(xí)6】、已知三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面所成二面角都是，底面三角形三邊長分別是7、8、9，則此三棱錐的側(cè)面面積為（ ）A、 B、 C、 D、（提示：你可以先求出的面積為，再利用射影面積公式求出側(cè)面面積為；你也可以先求出的面積為，之后求出P在底面的射影到個側(cè)面的距離，都是三棱錐P-ABC的高的一半，再利用等體積法求得結(jié)果，但好象都不如用估值法：假設(shè)底面三角形三邊長都是8，則面積

43、為，這個面積當(dāng)然比原來大了一點點，再利用射影面積公式求出側(cè)面面積為，四個選項中只有與之最接近，選B）【練習(xí)7】、（07海南、寧夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中個射箭20次，三人測試成績?nèi)缦卤砑椎某煽儹h(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664分別表示三名運動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（ ）A、 B、 C、 D、（提示：固然可以用直接法算出答案來，標(biāo)準(zhǔn)答案正是這樣做的，但是顯然時間會花得多。你可以用估計法：他們的期望值相同，離開期望值比較近的數(shù)據(jù)越多，則方差等價于標(biāo)準(zhǔn)差會越??！所以選B。這當(dāng)然也可以看作是直覺法）【練習(xí)8】、

44、（07全國理 12）設(shè)F為拋物線的焦點，A、B、C為該拋物線上的三點，若，則等于（ ）A、9 B、6 C、4 D、3（提示：很明顯（直覺）三點A、B、C在該拋物線上的圖形完全可能如右邊所示（數(shù)形結(jié)合），可以估計（估值法）到，稍大于（通徑，長為4），選B。當(dāng)然也可以用定義法：由可知，由拋物線定義有，所以=6）【練習(xí)9】、（07福建理12）如圖，三行三列的方陣中有9個數(shù)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：用估值法，至少有兩個數(shù)位于同行或同列的反面是三個數(shù)既不同行也不同列，這種情況僅有6種，在總共種取法數(shù)中所占比例很小，選D）【練習(xí)10】（07湖

45、北理9）連續(xù)投擲兩次骰子的點數(shù)為，記向量b=（m，n）與向量a=（1，-1）的夾角為，則的概率是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：用估值法，畫個草圖，立刻發(fā)現(xiàn)在范圍內(nèi)（含在OB上）的向量b的個數(shù)超過一半些許，選C，完全沒有必要計算）【練習(xí)11】（05年四川）若，則（ ）A、 B、 C、 D、（提示：注意到，可知不能夠用單調(diào)性法去判斷。問題等價于的時候比較a、b、c的大小，lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg5=0.6990， a=0.1505，b=0.1590， c=0.1398，選B。當(dāng)然，直接用作差比較法也是可以的。）九、直接解答并不是所有的選擇題都要用間接法求解，一般來講，

46、高考卷的前5、6道選擇題本身就屬于容易題，用直接法求解往往更容易；另外，有些選擇題也許沒有間接解答的方法，你別無選擇；或者雖然存在間接解法，但你一下子找不到，那么就必須果斷地用直接解答的方法，以免欲速不達。當(dāng)然要記得一個原則，用直接法也要盡可能的優(yōu)化你的思路，力爭小題不大作。【例題】、（07重慶文12）已知以為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ ）A、 B、 C、 D、【解析】、設(shè)長軸長為，則橢圓方程為，與直線方程聯(lián)立消去得，由條件知，即，得（舍），（舍），選C 。【練習(xí)1】、函數(shù)的部分圖象如右，則=（ ）A、0 B、 C、2+ D、2-（提示：直接法。由圖知，A=2，由圖象

47、關(guān)于點（4，0）以及直線對稱知：，由2009=251×8+1知，=0+=，選B）【練習(xí)3】、正方體中，E為棱AB的中點，則二面角C- -B的正切值為（ ）A、 B、 C、 D、2（提示：用直接法。取的中點F，連接AF、CF、CE。過點B做A1E的延長線的垂線于M，連接CM，由CB面ABB1A1，得CMAE，所以就是二面角C-A1E-B的平面角，現(xiàn)在設(shè)CB=2，則，在RtCMB中，選B）【練習(xí)4】、設(shè)是橢圓的兩個焦點，以為圓心，且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點為M，若直線與圓相切，則該橢圓的離心率是（ ）A、 B、 C、 D、（提示：用直接法。由已知可得，又，又直線與圓相切，即，解得，

48、選B）【練習(xí)5】、函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則在-4，4上的單調(diào)性是（ ）A、增函數(shù) B、 在-4，0上是增函數(shù)， 0，4上是減函數(shù)C、減函數(shù) D、 在-4，0上是減函數(shù)， 0，4上是增函數(shù)（提示：的圖象關(guān)于原點成中心對稱，為奇函數(shù)，易知上，遞減，選B）【練習(xí)6】、，則=（ ）A、-3 B、3 C、2 D、-2（提示：令得，令可得，選A）【練習(xí)7】、（06重慶文10）若，則（ ）A、 B、 C、 D、（提示：，；同理，（舍）或，所以選B）【練習(xí)8】、（06全國理8）拋物線上的點到直線的距離的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、3（提示：設(shè)直線與相切，則聯(lián)立方程知，令，有，兩平行線之間的距離

49、，選A）【練習(xí)9】、（06山東理8）設(shè)則p是q的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件（提示：分別解出p：或；q：或或，則顯然p是q的充分不必要條件，選A。另外，建議解出p以后不要再解q，以p中的特殊值代入即可作出判斷）【練習(xí)10】、（廣東05理10）已知數(shù)列滿足，若，則=（ ）A、 B、3 C、4 D、5（提示：由條件有，累加得，代入得，兩邊同取極限得，即，選B）十、現(xiàn)場操作又叫做原始操作法，有別于直接法，一 是指通過現(xiàn)場可以利用的實物如三角板、鉛筆、紙張、手指等進行操作或者利用紙上模型進行演算演繹得到答案的方法；二是指根據(jù)題目提供的規(guī)則演算最初的

50、幾個步驟，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出答案的方法?！纠}】、（據(jù)93年全國高考題改編）如圖ABCD是正方形，E是AB的中點，將DAE和CBE分別沿虛線DE和CE折起，使AE和BE重合于P，則面PCD和面ECD所成的二面角為（ ）度。A、 15 B、30 C、 45 D、60【解析】、你當(dāng)然可以用三垂線定理來解，但不如現(xiàn)場操作更快：用正方形紙片折疊出三棱錐E-PCD，不難看出PE面PCD，設(shè)二面角大小為，則由射影面積公式有，選B?！揪毩?xí)1】已知，則的值（ ）A、必為奇數(shù) B、必為偶數(shù) C、與的奇偶性相反 D、與的奇偶性相同（提示：原始操作：令n=1、2，再結(jié)合邏輯排除法，知選A；也可以展開看）【練習(xí)2】如果的定義域為R， ，且，則=（ ）A、