空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系基礎(chǔ)

1、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系【考綱要求】（1）理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；（2）了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；（3）能運(yùn)用公理、定理和已經(jīng)獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題?！局R網(wǎng)絡(luò)】空間點(diǎn)線面位置關(guān)系三個(gè)公理、三個(gè)推論平面平行直線異面直線相交直線公理4及等角定理異面直線所成的角異面直線間的距離直線在平面內(nèi)直線與平面平行直線與平面相交空間兩條直線概念垂直斜交空間直線與平面空間兩個(gè)平面兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交三垂線定理直線與平面所成的角【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平面的基本性質(zhì)1、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用（1）公理1：可用來證明點(diǎn)在平面內(nèi)或直線在平面內(nèi)；（2）公理2：可用來確定一個(gè)平面，為平

2、面化作準(zhǔn)備或用來證明點(diǎn)線共面；（3）公理3：可用來確定兩個(gè)平面的交線，或證明三點(diǎn)共線，三線共點(diǎn)。2、平行公理主要用來證明空間中線線平行。3、公理2的推論：（1）經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；（2）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；（3）經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。4、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面（1）點(diǎn)共線問題證明空間點(diǎn)共線問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上。（2）線共點(diǎn)問題證明空間三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上。要點(diǎn)詮釋：證明點(diǎn)線共面的常用方法納入平面法：先

3、確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合?？键c(diǎn)二、直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類（2）異面直線所成的角定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.范圍：要點(diǎn)詮釋：證明兩直線為異面直線的方法：1、定義法（不易操作）2、反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面。此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到。3、客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一

4、點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖：考點(diǎn)三、直線和平面、兩個(gè)平面的位置關(guān)系1、直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a 在平面內(nèi)直線a與平面相交直線a與平面平行公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號表示圖形表示2、兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行0兩平面相交斜交有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上垂直有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上考點(diǎn)四、平行公理、等角定理平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（但垂直于同一條直線的兩直線的位置關(guān)系可能平行，可能相交，也可能異面）空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。要點(diǎn)詮釋：（1）以空間幾何體為載

5、體，考查邏輯推理能力；（2）通過判斷位置關(guān)系，考查空間想象能力；（3）應(yīng)用公理、定理證明點(diǎn)共線、線共面等問題；（4）多以選擇、填空的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中。【典型例題】類型一、異面直線的判定例1如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)。問：（1）AM和CN是否是異面直線？說明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？說明理由。【解析】（1）不是異面直線。理由：連接MN、A1C1、AC。M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MN/ A1C1，又A1A CC1，A1ACC1為平行四邊形。A1C1/AC，得到MN/AC，A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故

6、AM和CN不是異面直線。（2）是異面直線。證明如下：ABCD-A1B1C1D1是正方體，B、C、C1、D1不共面。假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，與ABCD-A1B1C1D1是正方體矛盾。假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線?！军c(diǎn)評】（1）易證MN/AC，AM與CN不異面。（2）由圖易判斷D1B和CC1是異面直線，證明時(shí)常用反證法。舉一反三：【變式】已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱和棱上的點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形【證明】由可以證得所以 又可以由正方體的性質(zhì)證明所以四邊形是平行四邊形類型二、平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用例2如圖，四邊

7、形ABEF和ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=900，BCAD，BEFA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)。（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？【解析】（1）（2）方法一：方法二：如圖，延長FE，DC分別與AB交于點(diǎn)M，BEAF，B為MA中點(diǎn)。BCAD，B為中點(diǎn)，M與重合，即FE與DC交于點(diǎn)M（），C、D、F、E四點(diǎn)共面。【點(diǎn)評】（1）G、H為中點(diǎn)GHAD，又BCAD GHBC；（2）方法一：證明D點(diǎn)在EF、GJ確定的平面內(nèi)。方法二：延長FE、DC分別與AB交于M，可證M與 重合，從而FE與DC相交。類型三、異面直線所成的角例3空間四邊形ABCD中

8、，AB=CD且AB與CD所成的角為300，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小。【答案】取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG/AB，GF/CD，且由AB=CD知EG=FG，GEF（或它的補(bǔ)角）為EF與AB所成的角，（或它的補(bǔ)角）為與所成的角。與CD所成的角為300，=300或1500。由EG=FG知EFG為等腰三角形，當(dāng)=300時(shí)，GEF=750；當(dāng)=1500時(shí)，GEF=150。故EF與AB所成的角為150或750?！窘馕觥恳驟F與AB所成的角，可經(jīng)過某一點(diǎn)作兩條直線的平行線，考慮到E、F為中點(diǎn)，故可過E或F作AB的平行線。取AC的中點(diǎn)，平移AB、CD，使已知角和所求的角

9、在一個(gè)三角形中求解?！军c(diǎn)評】（1）求異面直線所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)位置，使其相交。平移直線的方法有：直接平移中位線平移補(bǔ)形平移；（2）求異面直線所成角的步驟：作：通過作平行線，得到相交直線；證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；求：通過解三角形，求出該角。類型四、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面問題例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于O，AC、BD交于點(diǎn)M求證：點(diǎn)C1、O、M共線CODABMB1C1D1A1【證明】A1ACC1確定平面A1CA1C面A1CO面A1COA1C面BC1D直線A1CO O面BC1DO在面A1C與平面BC1D的交線C1M上C1、O、M共線舉一反三：【變式】如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若