數(shù)學(xué)分析第13章

1、.第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 一致收斂性 2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì). 1 一致收斂性n一、一、函數(shù)列及其一致收斂性函數(shù)列及其一致收斂性n二、二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性n三、三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法法.設(shè)設(shè))1(,21nfff是一列定義在同一數(shù)集是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù)，稱為定義在上的函數(shù)，稱為定義在 E 上的函數(shù)列，簡(jiǎn)記為上的函數(shù)列，簡(jiǎn)記為 fn 或或 fn , n = 1, 2, . . . 設(shè)設(shè) x0 E , 將將 x0 代入上述函數(shù)列，可得數(shù)列代入上述函數(shù)列，可得數(shù)列.),(,),

2、(),(00201xfxfxfn一、函數(shù)列及其一致收斂性一、函數(shù)列及其一致收斂性若此數(shù)列收斂，則稱若此數(shù)列收斂，則稱 x0 為函數(shù)列為函數(shù)列 (1) 的收斂點(diǎn)，若此的收斂點(diǎn)，若此數(shù)列發(fā)散，則稱函數(shù)列數(shù)列發(fā)散，則稱函數(shù)列 (1) 在在 x0 發(fā)散發(fā)散.使函數(shù)列使函數(shù)列 (1) 收斂的全體收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)收斂的全體收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)列列 (1) 的收斂域的收斂域若函數(shù)列若函數(shù)列 (1) 在數(shù)集在數(shù)集 DE 上每一點(diǎn)都收斂，則稱函數(shù)上每一點(diǎn)都收斂，則稱函數(shù)列列 (1) 在數(shù)集在數(shù)集 D 上收斂上收斂記極限函數(shù)為記極限函數(shù)為 f , 則有則有Dxxfxfnn , )()(lim此極限

3、的此極限的 N 的定義是：對(duì)任何的定義是：對(duì)任何 xD , 任給的任給的 0 ,存在存在 N 0 , 使得當(dāng)使得當(dāng) n N 時(shí)，總有時(shí)，總有 | fn(x) f (x) | 0 , 存在存在 N 0 , 使得當(dāng)使得當(dāng) n N 時(shí)，時(shí)，對(duì)任何對(duì)任何 xD , 都有都有 | fn(x) f (x) | 0 , 取取 N = 1/ , 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)，時(shí)，對(duì)任何對(duì)任何 x( , +) , 都有都有|0sin| nnxn1 N1 , 所以函數(shù)列所以函數(shù)列sinnnx在在 ( , +) 上一致收斂于上一致收斂于 0 . 函數(shù)列函數(shù)列 fn 在在 D 上不一致收斂于上不一致收斂于 f 的定義：的定義：若

4、存在若存在0 0 , 對(duì)任何對(duì)任何 N 0 , 都存在都存在 n0 N ，且存在且存在 x0D , 使得使得 | fn0(x0) f (x0) | 0則稱則稱 fn 在在 D 上不一致收斂于上不一致收斂于 f .例例 證明函數(shù)列證明函數(shù)列 xn 在在 ( 0, 1 ) 上不一致收斂于上不一致收斂于 0 證證取取,210 對(duì)任何正整數(shù)對(duì)任何正整數(shù) N ，當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)，時(shí)，取取nnnx10)1( , )1, 0( 則有則有|0)( |0 nx1 nn.21 所以所以 xn 在在 ( 0, 1 ) 上不一致收斂于上不一致收斂于 0 . 定理定理 13.1 (函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則函數(shù)列一致收斂

5、的柯西準(zhǔn)則)函數(shù)列函數(shù)列 fn 在在 D 上一致收斂于上一致收斂于 f 的充要條件是：的充要條件是：對(duì)任給的對(duì)任給的 0 , 存在存在 N 0 , 使得當(dāng)使得當(dāng) n, m N 時(shí)，時(shí)，對(duì)任何對(duì)任何 xD , 都有都有 | fn(x) fm (x) | 0 , 存在存在 N 0 , 使得當(dāng)使得當(dāng) m n N 時(shí)，時(shí)，對(duì)任何對(duì)任何 xD , 都有都有 | Sm(x) Sn (x) | 或或.| )()()(|21 xuxuxumnn.| )(|1 mnkkxu. 推論推論 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x) 在在 D 上一致收斂的必要上一致收斂的必要條件是：函數(shù)列條件是：函數(shù)列 un(x) 在在 D

6、上一致收斂于零上一致收斂于零 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x) 在在 D 上的和函數(shù)為上的和函數(shù)為 S(x), 稱稱 Rn(x) = S(x) Sn (x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x) 的余項(xiàng)的余項(xiàng) 定理定理 13.4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x) 在在 D 上一致收斂于上一致收斂于 S(x) 的充要條件是的充要條件是.0| )()(|suplim xSxSnDxn.例例 4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),102 nnnxxxx的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?(-1, 1)，其和函數(shù)為，其和函數(shù)為.11)(xxS 級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)在 -a , a ( a 0, 使得對(duì)使得對(duì)任何任何 xI ， |vn(x)|M , n = 1, 2, . . . 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)vn(x) 在數(shù)集在數(shù)集 I 上一致收斂上一致收斂.定理定理 13.7 （狄利克雷判別法）（狄利克雷判別法） 設(shè)設(shè) un(x) 的部分和函數(shù)列的部分和函數(shù)列, 2, 1)()(1 nxuxUnkkn在在 I 上一致有界；上一致有界； 對(duì)每一個(gè)對(duì)每一個(gè) xI ， Un(x) 是單調(diào)的；是單調(diào)的