向量空間向量的內(nèi)積及正交性

1、授課時(shí)間第周星期第節(jié)課次14授課方式（請(qǐng)打，）理論課口討論課口實(shí)驗(yàn)課口習(xí)題課口其他口課時(shí)安排2授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第十四講向量空間、向量的長(zhǎng)度、內(nèi)積及正交性教學(xué)目的、要求（分掌握、熟悉、了解三個(gè)層次）：了解向量空間的相關(guān)概念；掌握向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度與夾角的定義；了解內(nèi)積、長(zhǎng)度與夾角的一些性質(zhì)；掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義及Schmidt正交化方法；熟悉正交矩陣的定義及其止交矩陣的性質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)止父基；Schmidt正交化方法.難點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)止父基的求法.教學(xué)基本內(nèi)容備注一、向量空間1、定義1設(shè)V是Rn的一個(gè)非空子集，若滿(mǎn)足：rrrr（1）對(duì)任意，V,V.（V對(duì)加法封閉）（2）對(duì)任

2、意rV和任意kR,krV.（V對(duì)乘法封閉）則稱(chēng)V為一個(gè)向量空間.例1、Rn構(gòu)成n維向量空間.例2、V4（x1,x2,x3）|x1x2x30）是R3空間.2、向量空間的基與維數(shù)定義2設(shè)V是一向量空間，它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，稱(chēng)為它的一個(gè)基：rrr，-.，一,一-4.一.1,2Lr；其中向重個(gè)數(shù)r稱(chēng)為向重仝I可的維數(shù)，記dimVr,稱(chēng)V是r維向量空間.注零子空間的維數(shù)是0,R3的維數(shù)是3,e1,e2,L1是Rn的自然基.3、坐標(biāo)及坐標(biāo)變換定義3對(duì)于向量空間W的一組基IlI,任一向量x，Lxnrn的線(xiàn)性表示系數(shù)是唯一確定的，稱(chēng)（x1，x2，,xn）為在基1,r2Lrn下的坐c11c1m是從基二ILcm1

3、rrr1，2，L,m的變(,)aba2b2T-Tanbn=，一一一r標(biāo)；而(x1,x2,L,xn)是在R標(biāo)準(zhǔn)基下的坐標(biāo).例3、證明1(1,0,1)T,2(0,1,0)T,3(122)T是R|a|XaxayazVaa,cosa,b.|a|b|此處，將三維空間中的數(shù)量積推廣到n維向量空間中，稱(chēng)為內(nèi)積：1、向量的內(nèi)積：1)定義：設(shè)n維實(shí)向量-a,a2,an)T,一(bb,bn)T,定義與的內(nèi)積(，)為的一個(gè)基，求(1,3,0)T在此基下的坐標(biāo).、一八，一、rrr,rrr-一定義4設(shè)V是m維向量空間，1r2,L,rm與1,2,L,m是V的兩組基，且:rrrrrr123123C,，、中Ccmmrrr、r

4、r到基1,2，L,m的過(guò)渡矩陣，上式稱(chēng)基IIL換公式.、一，一、，rrr,rrr定理V是m維向量空間，從基1,2,L,m到基1,2,L,m的過(guò)渡矩陣為C,rV,關(guān)于舊基的坐標(biāo)為X1Xm,關(guān)于新基的坐標(biāo)為y1ym,則yLymtC1X1LX2,，稱(chēng)為從舊基到新基的坐標(biāo)變換公式.、r丁r丁rT例4、F3的一個(gè)基：1(0,1,1)T,2(1,0,1)T,3(1,1,0)T,求自然基rrrrrrrrrre,e,e到1,2,3的過(guò)渡矩陣，且求(2,1印在基1,2,3下的坐標(biāo).二、歐氏空間引入：在三維空間中，設(shè)aax,ay,az,bbx,by,bz,則：e»f»fab|a|b|cosa,

5、baxbxaybyazbz(數(shù)量積)注此處定義的內(nèi)積是標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積，還有其它不同的內(nèi)積定義.2)性質(zhì)：I(ai,a2,an)T,1(hb,bn)T,c,g)T1)(,)(,)2)(k二一)k)(k為常數(shù))3)(,)(,)(,)4)0；等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),0時(shí)成立.注以上均是數(shù)量積(內(nèi)積)特有的性質(zhì).2、歐氏空間：定義了內(nèi)積的實(shí)向量空間稱(chēng)為歐幾里得空間，簡(jiǎn)稱(chēng)為歐氏空間.3、向量的長(zhǎng)度：1)定義：實(shí)向量,的長(zhǎng)度(范數(shù))定義為|J(二).i) -0時(shí)，|0;-0時(shí)，|0.ii) |k|k|(kR)iii)三角不等式：一|2)單位向量：若|1,則稱(chēng).為單位向量.3)單位化：若|一|1,則=必是單位向量.|4、C

6、auchy-Schwarz不等式：設(shè)是歐氏空間，都有|(,)|'|5、夾角：1)定義：設(shè)實(shí)向量.00,稱(chēng)V一i(,),arccos"(0)|為與之間的夾角.，記作一，則I中m個(gè)非零向量，若它j)有:取:1,1,1,1,2,且,i,i,(i1,2,m).1,2,卜221,2,m是11b1,m是正交向量組，則組T是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.1,2,m線(xiàn)性無(wú)關(guān),3)-11)121Tkmm)(i,0)0(i1,2,m),m)11)i'i2(-m1m1,m12，k22(ki(i,i)0(i1,2,m),再由組1,2,組1,2,kmm0,則2）正交：若（二1）0,則稱(chēng).與一正交（垂直）i)0,

7、0時(shí)，ii）零向量與任意一向量都正交.iii）勾股定理：若三、標(biāo)準(zhǔn)正交基1、標(biāo)準(zhǔn)正交基：設(shè)是歐氏空間,們兩兩正交，則稱(chēng)之為正交向量組；若還有它們的長(zhǎng)度均為1,則稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組；由標(biāo)準(zhǔn)正交向量組作成的一組基稱(chēng)為2、定理1:若組T:證明：設(shè)K1(i,k11從而由（i,j）0（i到：ki0（i1,2,m）,故組T線(xiàn)性無(wú)關(guān).3、Schmidt正交化方法：設(shè)1,2)1,1)(2,3(2,2)m)2)1,2,m兩兩正交,若取:|i例1:將向量組-(i1,2,m),則I是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.1標(biāo)準(zhǔn)正交化.(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,1,0,0,1)T分析：先正交化，再單位化.例2:設(shè)1(1,1,1)T,1(1,1,0)T，求二，使3兩兩正交，并把3標(biāo)準(zhǔn)化（即單位化）四、正交矩陣1、定義：若實(shí)矩陣Ann滿(mǎn)足ATAE,則稱(chēng)A-為正交矩陣.1）A是正交矩陣A1AT.2）A是正交矩陣AAtE.2、定理2:A是正交矩陣A的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.TTTT證明：AA(1,2,n)T(-T.1nT2nT所以：(i,。ii1,(i1,2,n)-T(i,j)ij0,(ij,i,j1,2,n)從而A的列向量組1