在響應曲面方法中三類中心復合設計的比較研究分享資料

1、1響應曲面方法(RSM)基于中心復合設計（Central Composite Designs, CCDs）2CCDs得以最廣泛應用的原因CCDs的序貫本質,它自然地將因子點劃分為兩個子集,第一個子集估計線性和兩因子交互效應,第二個子集估計曲性效應.CCDs很有效,以最少的試驗循環(huán)提供了關于實驗變量和實驗誤差的諸多信息.CCDs很靈活,其設計類型可以應用于不同的操作域和設計域.3經(jīng)典的RSM模型經(jīng)典的RSM模型是建立在方差一致性假設基礎之上,首先是擬合一階模型,運用脊分析,找到優(yōu)化域,再擬合二階響應曲面模型:此模型包含1+ 2k+ k(k -1) /2個參數(shù),因此必須至少有1+ 2k+ k(k

2、-1) /2個不同的設計點,而且至少每個設計變量是三個水平的.2011kkiiijijiiiiijiyxx xx4主要的概念操作域(Operability Region):在安全性允許的條件下,加工設備和生產(chǎn)過程的加工操作范圍所定義的研究變量的上下界限的幾何區(qū)域。設計域(Region of Interest):由設計變量的各個水平集合的上下界限所定義的幾何區(qū)域,在此區(qū)域內,真實的函數(shù)關系能夠由一個多項式模型很好地近似,每個試驗各自的設計域或相同或不同,但都在操作域之內。5評價CCDs的一個重要指標-預測方差對于一個二階設計,在設計域上擁有一個（N表示樣本量,X是設計變量的矩陣）的合理穩(wěn)定的分布

3、是重要的。因為一開始設計者并不知道設計空間的準確范圍或者預測方向以及在設計空間中優(yōu)化值的位置,而一個合理穩(wěn)定的 分布就保證了未來響應預測值 的質量。 2mmNVary XNXX X X2NVary X y X6旋轉性一個可旋轉的設計就是與中心點距離相同的任意兩點的 相等,即預測方差的一致性.當實驗者在實驗之前不知道設計域內優(yōu)化點的位置時,旋轉性使得設計目標清晰.在CCDs中,通過恰當?shù)剡x擇可滿足旋轉性要求, 就得到旋轉性,F是2k析因設計點的數(shù)目(k是所研究變量的數(shù)目)。旋轉性本身雖然不能保證 在整個設計域上的穩(wěn)定性,但它對設計參數(shù)的選擇提供了指導原則,像對軸向距離和中心點數(shù)目 的選擇。2NV

4、ary X4= F y Xcn7以三因子為例經(jīng)典的CCDs包括:析因部分:一個立方體的2k頂點或者這些析因點的一部分(圖1中立方體各個頂點)。帶有參數(shù)的2k個軸向點(圖1中各個“星”點),這些點實際上擴展了設計區(qū)域,提供了對二階響應曲面模型純平方項 的估計.一系列中心點(圖1中位于各個圖形中心的點).ii8CCC、CCI和CCF簡介所有設計變量均以編碼單位來表示,從設計矩陣的中心點到因子的高低水平的距離是 1,軸向點或者“星”點到中心的距離是. 時軸向點一般在球體上, = 1. 0時軸向點在立方面上.軸向點在立方體的外面,比因子的高低水平 1更高或更低,這種設計稱之為外切中心復合設計(CCC)

5、.對于CCC設計,每個因子有五個水平:,0, 1.當受到條件的制約時,可減少因子集合的范圍,使得軸向點落在每個因子的設計域內部,即將的值設在因子設計域的最大和最小界限上,這樣得到的設計稱之為嵌套(內接)中心復合設計CCI. CCI具有CCC的所有特性,CCI也是每個因子有五個水平:0.7,0,1.當五個水平難以滿足或者受到條件的制約時,就將軸向點放在設計空間每個面的中心上,稱之為面心復合設計CCF.CCF僅需要每個因子三個水平: 1,0。= k9軸向距離和中心點數(shù)目的作用CCDs的優(yōu)點來自于其靈活性和作為序貫試驗設計的有用性,靈活性來自于對軸向距離和中心點數(shù)目 的選擇。其中的選擇涉及到設計的旋

6、轉性、模型不符合規(guī)格限的穩(wěn)健性、參數(shù)估計對外推的穩(wěn)健性等方面。旋轉特性與中心點的數(shù)目無關,僅依賴于的值。中心點數(shù)目的選擇控制了RSM的某些特性:中心點的加入不改變正交性的特點,但卻不再是一個方差優(yōu)化條件,也就是說,在每個試驗點上,回歸系數(shù)的方差不再最小;在某些情況下,中心點的數(shù)目使得設計具有“一致精度”(Uniform Precision),一致精度保證了在所定義的單位距離的區(qū)域內所預測的優(yōu)化值具有相同的方差。中心點數(shù)目是CCDs的關鍵成分,其正確選擇是達到一致精度的決定因素。因為中心點個數(shù)決定著 的大小,這兩者成反比關系,因而球形設計需要3 -5個中心點以避免 的嚴重失衡。cn2NVary

7、X2NVary X10設計的評價、比較和應用選擇在RSM設計進行評價比較時,應該根據(jù)以下三個方面的標準來衡量:首先是Box and Wilson(1951)在其文章中引入了復合設計的概念從而能夠有效地估計二階模型的平方項,利用預測方差在其設計域上的分布來評價一個設計,得出了旋轉性這一特性.預測方差應具有穩(wěn)定性這一特點,因為很多設計在其設計邊界上的方差是不穩(wěn)定的,從而得出了一致精度的概念.RSM設計對模型不符合規(guī)格限(Model Misspecification)的穩(wěn)健性概念,不僅由于模型不符合規(guī)格限所造成的偏移應該考慮,即使是中等程度的不符合,使用者也必須在設計選擇中認真考慮.11從設計域及其

8、復雜性上比較為了成功地運行任一安排的試驗,操作域必須包括設計域.這意味著過程必須能夠在設計域上具有可操作性,因此,正確的選擇CCDs的第一步就是將設計域與操作域相比較.如果實驗者能夠充分推測出優(yōu)化目標存在于所研究的變量區(qū)域內,一般采用球形域.在許多實際情況下,當過程不能夠在設計域的一個或者多個邊界點上操作時,設計域與操作域相同,這時設計域是個立方體.如果過程不能在區(qū)域的一個或者多個立方體的頂點上操作,那么CCF是不合適的,這就留給實驗者兩個選擇:減少變量的區(qū)域產(chǎn)生一個新的CF,或者產(chǎn)生一個CCI.由于將軸向點放在變量范圍的上下界,析因點就落在了設計空間的內部,CCI限制了由變量所定義的區(qū)域的真

9、實設計空間.12從設計域及其復雜性上比較考慮軸向距離與設計域和操作域的關系:設計域經(jīng)常表示出的值,一般取1. 0到 ,在取值上這三個設計是不同的,如果是球形域CCC,的上界就是k;在CCI中,的上界就是1;在立方域CCF,= 1. 0是恰當?shù)倪x擇。因此的選擇依賴于操作域和設計域.各設計中軸向點相對于因子點的位置:CCC、CCI使所有設計點(不包括中心點)與中心等距,這些設計點就形成了一個圓;CCF將軸向點放在立方體的表面中心,析因點在立方體的頂點,因而它是不可旋轉的。將設為k就將一個可旋轉CCD轉換為一個球形CCD,在球形CCD中,所有的設計點都在同一個幾何球體上,這些設計不是準確地可旋轉的,

10、但它們是近似旋轉的。k13從設計域及其復雜性上比較考慮設計的復雜性:在應用CCC時,延伸所定義的變量界限得到軸向點,這就需要操作過程中的每個變量具有五個水平(對于CCI同樣)。相反,對于CCF,僅需要每個變量的三個水平,使之成為一個更簡單的設計.實驗者應該充分重視由于設計水平的增加而增加的復雜性,即使一個重新裝配過程的成本不高且不費時間,但這會引起更多的實誤差變異來源。根據(jù)經(jīng)驗,在應用實驗設計時,最常見的失效原因是由于無法預期的較大的實驗誤差所引起的,因此選擇誤差來源少的設計是有道理的,因為在多數(shù)情況下,可旋轉性設計的優(yōu)勢不能夠補償所增加的復雜性和相關的風險.14從設計的穩(wěn)健性方面進行比較穩(wěn)健

11、性是指實驗設計對規(guī)格限不符合的穩(wěn)健性,從誤差的角度看就是同時考慮了模型的兩類誤差:隨機誤差即前面所述的 和系統(tǒng)誤差即偏倚.當偏倚存在于擬合之中時,擬合模型就不可能很好地代表真實模型,擬合不良檢驗應該是顯著的.僅用方差作為標準,實際上是假定模型是正確的.對于某一特定的擬合值 ,這兩類誤差實際上就是損失函數(shù)標準.實驗設計的選擇應該基于兩類誤差:方差誤差和偏倚誤差,這樣設計的實驗才能夠保證RSM設計不僅達到預測方差在設計域上分布的穩(wěn)健性,而且達到了對模型不適合情況下的穩(wěn)健性,這也顯著地提高了設計的外推能力. Var y y X15案例分析三個設計所擬合的模型都是顯著的(p 0. 05),即模型是充分

12、代表了真實函數(shù)的,沒有偏倚誤差。從調整的可決系數(shù) 看出,而且三個設計所達到的擬合程度基本一致.從均方誤差(RMSE)來看,CCI最小,CCC最大,這是由于預測誤差的大小是隨著設計點與設計域之外的距離呈幾何增長的緣故,而在這三種設計中,CCC的設計域最大;相對于CCC而言,CCI和CCF對預測響應的外推的穩(wěn)健性要好,由此說明軸向距離的選擇(設計域)極大地影響了設計外推的穩(wěn)健性.從模型系數(shù)的估計精度可看出,CCC的估計精度最高,尤其是平方效應的估計,CCI最差,CCI明顯地不如CCC有效,這表明設計空間對模型參數(shù)的估計精度有影響.而從優(yōu)化點的坐標值可推斷出,設計域同時極大地影響著優(yōu)化點的位置.2R

13、16案例分析從設計點的預測誤差來看,CCC、CCI的軸向點和析因點性能相似;CCF軸向點要顯著地好于析因設計點,這說明球形設計的一致精度比立方域要好。對于被CCI排除但仍然在CCF的操作域之內的各個頂點而言,意味著預測誤差增加了27%(36. 1575435 /28. 3826518 -1)。從中心點的預測方差來看,CCF具有最高的精度,誤差小,這說明CCF設計對中心點的數(shù)目是穩(wěn)健的.17CCC、CCI和CCF異同點的比較和總結各個設計的析因部分都是 個頂點或者這些析因點的一部分,用于估計一階項和交互作用項,對于5 6個因子,CCD設計的因子部分必須是一個具有最小分辨率為V級的分式析因設計;但

14、各個設計點的位置不同.軸向點用于估計二階響應曲面模型的純平方項.軸向距離依賴于操作域和定義域,它決定著設計的旋轉性,影響到設計外推的穩(wěn)健性和參數(shù)的估計精度, 同時優(yōu)化點的位置隨設計域的不同而不同.對于球形域CCC,2 6個因子時推薦使用 = 1. 42. 8,上界為 = k,對于立方域, = 1. 0.中心點用于提供一致精度和純誤差的估計.在不同形狀的設計域中,中心點所起的作用顯著不同,在球形設計中,為了達到 的合理分布中心點是必需的,但在CCF,僅2個中心點就可得到 的合理穩(wěn)定性.球形設計對中心點的數(shù)目是敏感的,而CCF對中心點的數(shù)目是穩(wěn)健的,增加中心點或者重復外部點是為了得到純的估計.2k

15、2NVary X2NVary X18在模型的擬合程度方面這三種設計同樣有效,但在模型的估計精度、方差的穩(wěn)定性和一致精度以及模型外推的穩(wěn)健性方面都不同.對于CCC和CCI,每個試驗變量有五個水平,CCF僅需要三個水平,這使得它成為CCD最簡單的類型,同時也是最不易于受到實驗誤差來源影響而失效的設計,但它是不可旋轉的,這是它的一個缺點.與CCF相比,CCC的預測誤差精度一性好而且改進了平方(曲性)效應的估計.然而,給定一個合理的試驗誤差,這些優(yōu)勢可能不能補償每個變量五個水平所增加的復雜性.從方差角度來看,如果設計域是球形的, CCD最有效的設計是用 = k以及3 5個中心點.近于可旋轉性時其旋轉性上的損失并不大,有時設計更可取。19選擇CCDs的指導原則基于可利用的資源和因子集合的限制來選擇經(jīng)典C