導體表面電荷分布與導體表面曲率的關系

1、導體表面電荷分布與導體表面曲率的關系(1)靜電平衡條件下導體表面的電荷分布是一個復雜的靜電學問題。它不僅與導體表面的曲率有關。而且與導體本身的形狀、周圍導體和介質(zhì)的分布及帶電狀態(tài)有關。一般情況下對孤立導體它也不是與曲率有簡單正比關系。下面我們通過帶電旋轉(zhuǎn)橢球形導體的例子加以說明。橢球面的數(shù)學表達式是比較簡單的，當它的三個半軸相等時，它就變成球；細長的橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球就相當于細長棒；細長橢圓繞短鈾旋轉(zhuǎn)時形成的橢球就相當于平板，因此研究橢球帶電的電荷分布，有較普遍的意義。無論什么形狀的導體決定電荷平衡分布的唯一條件是導體內(nèi)部各點的場強必須為零。凡是能滿足這個條件的分布，便是實際存在的分布。

2、根據(jù)這個條件，以及靜電場的基本性質(zhì)求解橢球上的電荷分布，是一個典型的電磁學問題要用到較復雜的數(shù)學工具，本書不嚴格處理這一問題。這里用一個不夠嚴格的方法導出其結(jié)果。假沒我們考慮的是一個旋轉(zhuǎn)橢球如圖9.8所示，它有兩個焦點O和Q。表面電荷的分布使橢球內(nèi)任一點的合場強為零。一般說來，這是表面所有的電荷綜合抵消的結(jié)果。但是對于焦點O和Q,很巧，這種抵消是一對一的。過焦點O作一個小立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面dS和dS2,嚴格的理論證明，dS上的電荷在O產(chǎn)生的場強與O上的電荷在O產(chǎn)生的場強恰恰抵消，因此整個橢球面上的電荷在O產(chǎn)生的場強之和為零。循著這一途徑，便可找出表面電荷分布的規(guī)律。設dS處電荷

3、密度為(ti,距O的距離為ri,dS上的電量dqi=dS山，這部分電荷在O產(chǎn)生的場強dEi應為：而dS=dS/cos11oai是ri與dS2表面法線ni間的夾角。同時dS=4您，dQi是dSi對O所張的立體角。因此有：用同樣的方法，可以得到dS2在O產(chǎn)生的場強dE2為:a2是d”與dS2表面法線n2間的夾角。dS2對O所張的立體角仍然為dQio由于在焦點上對應電荷產(chǎn)生的場相互抵消，故有dEi=dE,從而得到:8S%COS%,也就是說：o-0c這就是橢球表面電荷分布的具體規(guī)律。運用微積分和基本的矢量分析，由焦點為原點的橢圓方程：r=-l+5cospcosa1+伊(1+5。25cos這里P是焦點參

4、數(shù)，6是橢圓偏心率?？梢郧蟪鰎,小處的cosa為:從而可以求出任何兩點(即小1和小2)的表面電荷密度之比圖9.9中，如在橢圓最尖銳的一端A,(M=0,cosaa=1。在最平的一點B,cos=-=-8cosas=h?=-f=fa，可見與忒-5。而在a與b之間的其它的點，cosa的值介于1與J匚尹之間，電荷的面密度是逐漸由1向4一相過渡的。當6趨向于1,橢球逐漸向細長桿過渡；當6很接近于1時，焦點密企常一O和Q趨向兩瑞，橢球上很大一部分面積的2,因而cosa-0,故電荷分布集中于桿的兩端很小的區(qū)域內(nèi)，桿身絕大部分基本上沒有電荷分布。搞清楚了橢球上電荷分布的具體規(guī)律以后，再來看面電荷密度與表面曲率的

5、關系。定性地看一下，可以說，表面曲率大的地方，a角小，cosa的值大；表面曲率小的地方，a角大，cosa的值小。因此曲率大的地方電荷密度大于曲率小的地方，這是正確的。但(T是不是一定與表面曲率K成正比呢？這就要用數(shù)學方法把橢圓各處的曲率求出來。按平面曲線曲率的定義:dacosodcrK-=dJrddl是橢圓上的一段弧長，經(jīng)過計算可知K并不簡單地與cosa成正比，因此，a也不是簡單地與K成正比，它們之間是一個很復雜的函數(shù)關系。曲率大的地方電荷密度大只能說是一個大致的、定性的規(guī)律，不能簡單地依據(jù)兩處的曲率來比較它們的電荷密度。(2)狐立導體表面能否出現(xiàn)電荷異號面一個孤立導體的表面會不會出現(xiàn)異號的面電荷分布呢？例如，如圖9.10所示導體中凹陷進去的地方的曲率為負值，會不會出現(xiàn)異號面荷分布。結(jié)論是不可能。對此可以借助電力線用反證法證明。設圖中導體帶有凈正電荷，假如在凹陷處出現(xiàn)負面電荷分布，則該處要會聚電力線。會聚于凹陷處的電力線只有兩個可能的來源：一種可能是來自無窮遠處，一種可能來自導體上的正電荷。假設無窮遠處為零電勢點，對來自無窮遠處的電力線，則沿此電力線求場強的線積分會得出導體的電勢是負值，這與沿導體表面帶正電處發(fā)出的電力線到無窮遠處的線積分應得導體的電勢是正值的結(jié)論產(chǎn)生矛盾(靜電