概率論第一章

1、任課教師：任課教師： 莫榮華莫榮華 聯(lián)系方式：聯(lián)系方式： QQ QQ號(hào)或微信號(hào)號(hào)或微信號(hào): 5159110: 5159110 2015 2015年年3 3月月-6-6月月 第一章第一章基本概念基本概念1.11.1Random experimentRandom experiment1.21.2Random EventsRandom Events 1.31.3ProbabilityProbability 緒言緒言1717世紀(jì)，法國(guó)的世紀(jì)，法國(guó)的 一賭徒一賭徒Chevalies DemereChevalies Demere在賭博在賭博中感覺(jué)到，如果上拋一對(duì)骰子中感覺(jué)到，如果上拋一對(duì)骰子2525次，則

2、把賭注押到次，則把賭注押到“ “ 至少至少出現(xiàn)一次雙六出現(xiàn)一次雙六”比把賭注押到比把賭注押到“完全不出現(xiàn)雙六完全不出現(xiàn)雙六”更有利，更有利，但他本人找不出原因，后來(lái)請(qǐng)當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家但他本人找不出原因，后來(lái)請(qǐng)當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家 pascal pascal 解解決了這一問(wèn)題決了這一問(wèn)題, ,從此，奠定了概率研究的開(kāi)始。從此，奠定了概率研究的開(kāi)始。分賭本問(wèn)題分賭本問(wèn)題: 1654年年,一個(gè)名叫梅累的騎士就一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干兩個(gè)賭徒約定賭若干局局, 且誰(shuí)先贏且誰(shuí)先贏 c 局便算贏家局便算贏家, 若一賭徒勝若一賭徒勝 a 局局 ( ac ),另一另一賭徒勝賭徒勝b局局(b3C=x|

3、x9D=x|x0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19課堂練習(xí)課堂練習(xí)AB A與與B對(duì)立對(duì)立A與與B互斥互斥AB記號(hào)記號(hào)概率論概率論集合論集合論 、樣本空間樣本空間, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件A A的對(duì)立事件的對(duì)立事件A A出現(xiàn)必然導(dǎo)致出現(xiàn)必然導(dǎo)致B B出現(xiàn)出現(xiàn)事件事件A A與事件與事件B B相等相等空間空間( (全集全集) )空集空集元素元素子集子集A A的補(bǔ)集的補(bǔ)集A A是是B B的子集的子集A A集合與集合與B B集合相等集合相等ABABABA 事件事件A A與事件與事件B B 的差的差A(yù) A與與B B兩集合的差集兩集合的差集AB

4、 事件事件A A與與B B互不相容互不相容A A、B B 兩集合沒(méi)有相同元素兩集合沒(méi)有相同元素事件事件A A與事件與事件B B的和的和A A集合與集合與B B集合的并集集合的并集AB 事件事件A A與與B B的積事件的積事件 A A集合與集合與B B集合的交集集合的交集 1.3 1.3 事件的概率事件的概率 (Probability(Probability） 隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中有可能發(fā)生也可能不發(fā)生隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中有可能發(fā)生也可能不發(fā)生, ,但多次但多次重復(fù)時(shí)重復(fù)時(shí), ,會(huì)發(fā)現(xiàn)有的事件發(fā)生多些會(huì)發(fā)現(xiàn)有的事件發(fā)生多些, ,有的少些有的少些, ,這數(shù)量上的區(qū)這數(shù)量上的區(qū)別反映了隨機(jī)事件的內(nèi)在

5、的一種規(guī)律別反映了隨機(jī)事件的內(nèi)在的一種規(guī)律. . : :設(shè)設(shè)E E為任一隨機(jī)試驗(yàn)，為任一隨機(jī)試驗(yàn)，A為其中任為其中任一事件，在相同條件下，把一事件，在相同條件下，把E E獨(dú)立的重復(fù)做獨(dú)立的重復(fù)做n次，次，vA表示表示事件事件A在這在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)( (稱(chēng)為頻數(shù)稱(chēng)為頻數(shù)) )。比值。比值vA/n 稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件A在這在這n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率(Frequency).(Frequency).一、一、 頻率的定義頻率的定義(Frequency)(Frequency) 頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)設(shè)事件設(shè)事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生nA次，頻率次，頻率fn(

6、A)=vA /n1. 非負(fù)性非負(fù)性 fn(A)02. 規(guī)范性規(guī)范性 fn()=13. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，則，則fn(AB)= fn(A) +fn(B)( )AnvAfn則AB性質(zhì)性質(zhì)3的證明：的證明：設(shè)在設(shè)在n次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生了發(fā)生了vA 次次 B發(fā)生了發(fā)生了vB次次 由于由于A ,B不能同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生, 故故AB發(fā)生了發(fā)生了vA+ vB 次次 所以所以 fn(AB)= (vA+ vB )/n =fn(A) +fn(B)3. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，則，則fn(AB)= fn(A) +fn(B)B

7、(B)nvfn則BBv 個(gè)樣本點(diǎn)落在 內(nèi)AAv 個(gè)樣本點(diǎn)落在 內(nèi) 頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)設(shè)事件設(shè)事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生nA次，頻率次，頻率fn(A)=vA /n1. 非負(fù)性非負(fù)性 fn(A)02. 規(guī)范性規(guī)范性 fn()=13. 有限可加性有限可加性 若事件若事件A和和B互不相容互不相容，則，則fn(AB)= fn(A) +fn(B)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn 由定義及以上性質(zhì)還可以得到由定義及以上性質(zhì)還可以得到: : fn( )=0 A B, fn(A) fn(B) fn(A)121,kA AA是是互互不不相相容容事事件件若若兩兩兩兩則則實(shí)例實(shí)例 將一

8、枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 觀察正觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.數(shù)據(jù)波動(dòng)較大試驗(yàn)試驗(yàn)序號(hào)序號(hào)5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動(dòng)最小波動(dòng)最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5實(shí)踐證明實(shí)踐證明:

9、:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n n增大時(shí)增大時(shí), ,隨機(jī)事件的頻隨機(jī)事件的頻率率f fn n(A)(A)逐漸趨向穩(wěn)定逐漸趨向穩(wěn)定2 2、 頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性試驗(yàn)者試驗(yàn)者拋擲次數(shù)拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次正面出現(xiàn)次數(shù)數(shù)m正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率m/n德德.摩爾根摩爾根204810610.518蒲豐蒲豐404020480.5069皮爾遜皮爾遜1200060190.5016皮爾遜皮爾遜24000120120.5005維尼維尼30000149940.4998()nfH的的增增大大n.21新生兒性別統(tǒng)計(jì)表新生兒性別統(tǒng)計(jì)表出生年份出生年份新生兒新生兒總數(shù)總數(shù)n新生兒分類(lèi)數(shù)新生兒分類(lèi)數(shù)頻率頻率(%)男孩數(shù)男孩數(shù)m

10、1女孩數(shù)女孩數(shù)m2男孩男孩女孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總計(jì)年總計(jì)31394161461524851.4848.52二、二、 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義(The statistic definition ofprobability)(The statistic definition ofprobabil

11、ity)定義定義 1.4 1.4 設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)，事件設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)P P附近擺動(dòng)，則稱(chēng)數(shù)為事件的概率附近擺動(dòng)，則稱(chēng)數(shù)為事件的概率(Probability)(Probability)為為P P，記為：，記為：pAP)(說(shuō)明說(shuō)明1.1.頻率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，但并不是說(shuō)概頻率的穩(wěn)定性是概率的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，但并不是說(shuō)概率決定于經(jīng)驗(yàn)率決定于經(jīng)驗(yàn). . 一個(gè)事件發(fā)生的概率完全決定于事件本身一個(gè)事件發(fā)生的概率完全決定于事件本身的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu), ,是先于試驗(yàn)而客觀存在的是先于試驗(yàn)而客觀存在的. .2 2 概率的統(tǒng)計(jì)定

12、義只是描述性的。概率的統(tǒng)計(jì)定義只是描述性的。3 3 通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率作為事通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值。件概率的近似值。 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)( (概率統(tǒng)計(jì)定義的性質(zhì)概率統(tǒng)計(jì)定義的性質(zhì)) )3AB()()()P ABP AP B質(zhì)質(zhì) ：若若 、 互互不不相相容容，則則有有性性1212()()()()kkPPPPA AAAAA 21,kA AA是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件 則則若若1();P()0;p A性質(zhì)性質(zhì)1 1 非負(fù)性：對(duì)任一事件非負(fù)性：對(duì)任一事件A ,A ,有有性質(zhì)性質(zhì)2 2 規(guī)范性：對(duì)必然事件規(guī)范性：對(duì)必然事件 , ,有有121

13、()()kkkPP AAAA .完全可加性完全可加性 概率性質(zhì)的與推廣概率性質(zhì)的與推廣1.()0;P 對(duì)任一事件，對(duì)任一事件， 與與A不相容，且不相容，且AA 所以所以P(A)P(A)P( )即即P( )012,kA AA，. . . . 成成立立特別地，由于可給碰到可列個(gè)事件的運(yùn)算，故要求（公理性特別地，由于可給碰到可列個(gè)事件的運(yùn)算，故要求（公理性定義）對(duì)一系列互不相容事件定義）對(duì)一系列互不相容事件).()()(),()(, APBPABPBPAPBABA則則且且為為兩兩個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)2證明證明BA,BA 因因?yàn)闉?.(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得,

14、 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是BA).(AB BABAAB如如果果不不成成立立，注注意意：即即一一般般地地，BABABB2AB事事實(shí)實(shí)上上， ，且且，由由 得得證證(A)( )-()P BP BP BA ).()(, APA PAA13 則則的對(duì)立事件的對(duì)立事件是是設(shè)設(shè),)(,1 PAAAA因因?yàn)闉?.(1)(APAP 證明證明)()(AAPP 1所以所以)()(APAP 注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，作為事件的概率，都應(yīng)

15、具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義（略）我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義（略）基本計(jì)數(shù)原理基本計(jì)數(shù)原理 這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)計(jì)算古典概率所用到的這里我們先簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)計(jì)算古典概率所用到的1. 1. 加法原理加法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m m 種方式，種方式，第一種方式有第一種方式有n n1 1種方法，種方法，第二種方式有第二種方式有n n2 2種方法種方法, ,； 第第m m 種方式有種方式有n nm m種方法種方法, ,無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事，n n1 1 n n2 2 n nm m:則完

16、成這件事總共有則完成這件事總共有n n1 1+ +n n2 2+n nm m 種方法種方法 . .例如，某人要從甲地到乙地去例如，某人要從甲地到乙地去, ,甲地甲地乙地乙地可以乘火車(chē)可以乘火車(chē), ,也可以乘輪船也可以乘輪船. .火車(chē)有兩班火車(chē)有兩班輪船有三班輪船有三班乘坐不同班次的火車(chē)和輪船，共有幾種方法乘坐不同班次的火車(chē)和輪船，共有幾種方法? ?3 3 + 2+ 2 種方法種方法基本計(jì)數(shù)原理基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有則完成這件事共有種不同的方法種不同的方法 . .mnnn212. 2. 乘法原理乘法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m m個(gè)步驟，個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有第一個(gè)步驟有n1種方法，種

17、方法，第二個(gè)步驟有第二個(gè)步驟有n2種方法種方法, ,； 第第m m個(gè)步驟有個(gè)步驟有nm種方法種方法, ,必須通過(guò)每一步驟必須通過(guò)每一步驟, ,才算完成這件事，才算完成這件事，12mnnn種 種種例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問(wèn)他例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問(wèn)他可以有多少種打扮？可以有多少種打扮？可以有可以有3 32 2 種打扮種打扮 加法原理和乘法原理是兩個(gè)很重要計(jì)數(shù)原理，它們不但加法原理和乘法原理是兩個(gè)很重要計(jì)數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問(wèn)題，同時(shí)也是推導(dǎo)下面常用排列可以直接解決不少具體問(wèn)題，同時(shí)也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ)組合公式的基礎(chǔ) . .三、排列、組合

18、的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式三、排列、組合的幾個(gè)簡(jiǎn)單公式排列和組合的區(qū)別：排列和組合的區(qū)別：順序不同屬于順序不同屬于不同的排列！不同的排列！3 3把不同的鑰匙的排列把不同的鑰匙的排列6 6種種而組合不管順序而組合不管順序,只要包含的元素一樣就是同一種組合只要包含的元素一樣就是同一種組合從從3 3個(gè)元素取出個(gè)元素取出2 2個(gè)個(gè)的排列總數(shù)有的排列總數(shù)有6 6種種從從3 3個(gè)元素取出個(gè)元素取出2 2個(gè)個(gè)組合總數(shù)有組合總數(shù)有3 3種種236A 323C只有三種不只有三種不同的組合！同的組合！1 1、排列、排列: : 從從n個(gè)不同元素取個(gè)不同元素取 k個(gè)的不同排列總數(shù)為：個(gè)的不同排列總數(shù)為：(1)knk = n時(shí)稱(chēng)全

19、排列時(shí)稱(chēng)全排列122 1()()!nnnpAn nnn 121!()()()()!knnAn nnnknk123k.n(n-1) (n-2) (n-k+1)2.重復(fù)排列：重復(fù)排列：從從n個(gè)不同元素有放回地取個(gè)不同元素有放回地取 k個(gè)個(gè)（允許重復(fù)）（允許重復(fù)）的不同排列總數(shù)為：的不同排列總數(shù)為：kn nnn（種種）例如：從裝有例如：從裝有4 4張卡片的盒中有放回地摸取張卡片的盒中有放回地摸取3 3張張3241n=4,k =3123第第1 1張張4123第第2 2張張4123第第3 3張張4共有共有4 4. .4 4. .4=44=43 3種可能取法種可能取法123k.n n nn!()! !kk

20、nnAnCknkk3 3、組合、組合: : 從從n個(gè)不同元素取個(gè)不同元素取 k個(gè)（個(gè)（1 k n) )的不同組合的不同組合總數(shù)為：總數(shù)為：knC常記作常記作kn，稱(chēng)為組合系數(shù)。，稱(chēng)為組合系數(shù)。!kknnACk又常稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗嵌?xiàng)式展開(kāi)公式中的系數(shù)：又常稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗嵌?xiàng)式展開(kāi)公式中的系數(shù)：knknknbaknba0)(組合和排列的關(guān)系組合和排列的關(guān)系1 2 3 4 5（1，3）1 2 3 4 51 2 3 4 5（2，4）（1，5）共有共有C52種不同組合種不同組合1 2 3 4 55 5個(gè)位置中取到個(gè)位置中取到1 1，4 4號(hào)放置白球號(hào)放置白球?qū)?yīng)組合（對(duì)應(yīng)組合（1 1

21、，4 4）共有不同排列數(shù)共有不同排列數(shù)Cnn+m 或或C Cmn+m 4. 4. m個(gè)不可辨元素與個(gè)不可辨元素與n的不可辨元素排成一列的不可辨元素排成一列例例2個(gè)白球和個(gè)白球和3個(gè)黃球的不同排列個(gè)黃球的不同排列兩類(lèi)元素的排列問(wèn)題兩類(lèi)元素的排列問(wèn)題現(xiàn)設(shè)有現(xiàn)設(shè)有r r個(gè)白球（不可辯），個(gè)白球（不可辯），n-r 個(gè)黃球個(gè)黃球（不可辯）（不可辯）排成一列，排成一列，計(jì)算其不同排列總數(shù)計(jì)算其不同排列總數(shù). .先將先將r個(gè)白球編號(hào)，分別為個(gè)白球編號(hào)，分別為1,2，,r號(hào)號(hào)n-r個(gè)黃球編號(hào)，分別為個(gè)黃球編號(hào)，分別為r1 ,r+2，,n號(hào)號(hào)這這n個(gè)不同球的排列共有（全排列數(shù)）個(gè)不同球的排列共有（全排列數(shù)）n!

22、種種下面用另一方法構(gòu)成上面的排列，先進(jìn)行兩類(lèi)球的排列下面用另一方法構(gòu)成上面的排列，先進(jìn)行兩類(lèi)球的排列（即認(rèn)為白球、黃球不可辯），設(shè)共有不同的排列數(shù)為（即認(rèn)為白球、黃球不可辯），設(shè)共有不同的排列數(shù)為x,由乘法原理，共有不同的排列數(shù)由乘法原理，共有不同的排列數(shù) x r! (n-r)!然后對(duì)白球進(jìn)行排列，共有然后對(duì)白球進(jìn)行排列，共有r！方式，！方式，對(duì)黃球進(jìn)行排列共有（對(duì)黃球進(jìn)行排列共有（n-r）!種方式，種方式，n! = x r! (n-r)!兩種方法兩種方法的排列種的排列種數(shù)相同數(shù)相同 !()!nnxrnrr5 5、n個(gè)不同元素分為個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目分別為組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1

23、,r2,rk的的分法總數(shù)為分法總數(shù)為: :12kr rr n r1個(gè)個(gè)元素元素r2個(gè)個(gè)元素元素rk個(gè)個(gè)元素元素n個(gè)元素個(gè)元素1rnC!21krrrn21rn rCkkrrCkkrrrrnrnCCC211特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k組元素個(gè)數(shù)相同時(shí)，不同的分組有組元素個(gè)數(shù)相同時(shí)，不同的分組有121kkrrrnn rrCCCk！-多項(xiàng)式（多項(xiàng)式（x1+x2+xk)n的系數(shù)的系數(shù)令令 x=-1得得01210nnnnnn)(nnnnnn2210可得到許多有用的組合公式：可得到許多有用的組合公式：以以 x=1代入代入01 ()nnn rknxxr 2.由展開(kāi)式由展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1

24、. 由公式直接得到由公式直接得到nnrnr 111()() ()a babxxx3.由由000ababnijnijababxxxnij有有比較兩邊比較兩邊 xn 次冪的系數(shù)，可得次冪的系數(shù)，可得 0110.a babababnnnn 運(yùn)用二項(xiàng)式展開(kāi)運(yùn)用二項(xiàng)式展開(kāi)特別地，有特別地，有20110.nnnnnnnnnnn 在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱(chēng)性和均衡性，我們就可以認(rèn)為在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱(chēng)性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的，并在此基礎(chǔ)上事件的概率可以直基本事件是等可能的，并在此基礎(chǔ)上事件的概率可以直接算出接算出. .古典概型古典概型(Classical Probability)1.3.2 1.3

25、.2 概率的直接計(jì)算概率的直接計(jì)算如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E E具有以下特征具有以下特征 1 1、試驗(yàn)的樣本空間中僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn)，、試驗(yàn)的樣本空間中僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn)，12,.n 2 2、每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同、每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同則稱(chēng)則稱(chēng)具有上述特性的概型為具有上述特性的概型為古典概型。古典概型。12()().()nPPP 討論相應(yīng)的概率問(wèn)題稱(chēng)為古典要型問(wèn)題討論相應(yīng)的概率問(wèn)題稱(chēng)為古典要型問(wèn)題 等可能概型中事件概率的計(jì)算：等可能概型中事件概率的計(jì)算：1()iPn1 1. .基基本本事事件件的的概概率率1212()(.) ()().() =()nniPPPPPnp 12,.

26、設(shè)設(shè)mnnnA 2 2 若若A A包含基本事件數(shù)為包含基本事件數(shù)為m,12,.設(shè)設(shè)n 12()().()nPPP 1212( )(.)()().() mmnnnnnnP APPPPmn A A所所包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)= = 中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?8( )P A 2 2、“等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的能的. .1 1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件. .

27、 例例 將一枚硬幣上拋三次，設(shè)事件將一枚硬幣上拋三次，設(shè)事件A =“A =“恰有一次出現(xiàn)正恰有一次出現(xiàn)正面面”，B=“B=“至少有一次出現(xiàn)正面至少有一次出現(xiàn)正面” ” 則則(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)注：例注：例E E3 3中，將一枚硬幣上拋三次，觀察正面向上的次數(shù)，中，將一枚硬幣上拋三次，觀察正面向上的次數(shù)， 3 0, 1, 2 , 3 , 記記A Ai i “ “正面出現(xiàn)正面出現(xiàn)i 次次” 則則P(A0)1/8 ，P(A1)3/8

28、，P(A2)3/8， P(A3)1/8 所以以所以以Ai作為基本事件，則非等可能概型。作為基本事件，則非等可能概型。78( )P B例例9 9一部四卷文集，按任意次序排列在一級(jí)書(shū)架上，問(wèn)各一部四卷文集，按任意次序排列在一級(jí)書(shū)架上，問(wèn)各冊(cè)自右至左或自左至右恰成冊(cè)自右至左或自左至右恰成1,21,2，3,43,4順序的概率是多少？順序的概率是多少？解：樣本點(diǎn)為四卷書(shū)書(shū)號(hào)的任一可能的排列，解：樣本點(diǎn)為四卷書(shū)書(shū)號(hào)的任一可能的排列，總數(shù)總數(shù)n=4321A A的有利場(chǎng)合數(shù)（的有利場(chǎng)合數(shù)（A A包含的樣本點(diǎn)數(shù)）為包含的樣本點(diǎn)數(shù)）為2 21234，432121412( )!P A n1010= =3 3 4 4

29、有有種種取取法法; ;1 1例例10有有10個(gè)外觀相同的電阻，其電阻分別是個(gè)外觀相同的電阻，其電阻分別是1歐、歐、2歐、歐、10歐歐.現(xiàn)從中任意取出現(xiàn)從中任意取出3個(gè)，希望一個(gè)電阻值小于個(gè)，希望一個(gè)電阻值小于5歐，一個(gè)電阻歐，一個(gè)電阻值等于值等于5歐一歐一,個(gè)電阻值大于個(gè)電阻值大于5歐，問(wèn)一次抽取就能達(dá)到要求的歐，問(wèn)一次抽取就能達(dá)到要求的概率概率.解：樣本點(diǎn)為從解：樣本點(diǎn)為從1010個(gè)不同電阻中任取三個(gè)的組合個(gè)不同電阻中任取三個(gè)的組合樣本空間總數(shù)為樣本空間總數(shù)為計(jì)算有利場(chǎng)合數(shù)：計(jì)算有利場(chǎng)合數(shù)：有利場(chǎng)合數(shù)為有利場(chǎng)合數(shù)為構(gòu)成一個(gè)有利場(chǎng)合可分三個(gè)步驟：構(gòu)成一個(gè)有利場(chǎng)合可分三個(gè)步驟：第一步，從小于第一

30、步，從小于5歐的電阻值中任取出一個(gè)，歐的電阻值中任取出一個(gè)，第二步，從等于第二步，從等于5歐的電阻值中任取出一個(gè)歐的電阻值中任取出一個(gè);第三步，從大于第三步，從大于5歐的電阻值中任取出一個(gè)歐的電阻值中任取出一個(gè); 5 5有有種種取取法法; ;1 1有有1 1種種取取法法; ; 4154151111111( )6P A 41541511111110103 3 11().()rn nnrn( )!()()!rrrnnP Ann nr16r2345123n-1n例例1111將將r r個(gè)球置于個(gè)球置于n n個(gè)箱中（每個(gè)球以個(gè)箱中（每個(gè)球以1/n1/n的概率被置入某一的概率被置入某一特定箱中）特定箱中）

31、, ,若若nr,nr,試求任一箱內(nèi)的球數(shù)均不超過(guò)試求任一箱內(nèi)的球數(shù)均不超過(guò)1 1的概率。的概率。解：先計(jì)算樣本空間總數(shù)解：先計(jì)算樣本空間總數(shù)第一個(gè)球置于一箱中，第一個(gè)球置于一箱中，共有共有n n種放法種放法; ;相繼將每一個(gè)球置于一箱中都有相繼將每一個(gè)球置于一箱中都有n n種放法；種放法；11111111nnn n=這樣放完這樣放完r r個(gè)球構(gòu)成一個(gè)可能的結(jié)果（樣本點(diǎn)），個(gè)球構(gòu)成一個(gè)可能的結(jié)果（樣本點(diǎn)），nr再計(jì)算有利場(chǎng)合數(shù)：再計(jì)算有利場(chǎng)合數(shù)：第一個(gè)球置于一箱中，共有第一個(gè)球置于一箱中，共有n n種放法種放法; ;第二個(gè)球由于不能放到第一個(gè)球所在箱，所以只有第二個(gè)球由于不能放到第一個(gè)球所在箱，

32、所以只有n-1n-1種放法種放法第第r r個(gè)球不能放到前個(gè)球不能放到前r-1r-1個(gè)球所在箱，所以只有個(gè)球所在箱，所以只有n-r+1n-r+1種放法種放法有利場(chǎng)合數(shù)有利場(chǎng)合數(shù)!()!nnr由乘法原理，由乘法原理，r r個(gè)球的個(gè)球的 不同的放法有不同的放法有 許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型：許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型： 有有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365. 1/365. 求這求這n ( (n 365) 365)個(gè)人沒(méi)有兩個(gè)人的生日相同（個(gè)人沒(méi)有兩個(gè)人的生日相同（n n人生日互人生日互不相同）的概率不相同）的概率.

33、.人人任一天任一天365365365365 365()!()!nnnPn根據(jù)上公式得可計(jì)算當(dāng)可計(jì)算當(dāng)n=40=40時(shí)，時(shí)，P0.1090.109( )!( )()!rrrnnP Ann nr我敢打睹，我我敢打睹，我們班至少有兩們班至少有兩人生日在同一人生日在同一天！天！許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型：許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類(lèi)型： 有有n個(gè)旅客，乘火車(chē)途經(jīng)個(gè)旅客，乘火車(chē)途經(jīng)N N個(gè)車(chē)站，設(shè)每個(gè)人在每站下車(chē)個(gè)車(chē)站，設(shè)每個(gè)人在每站下車(chē)的概率為的概率為1/ N(N n) ，求指定的，求指定的n個(gè)站各有一人下車(chē)的概率個(gè)站各有一人下車(chē)的概率. .旅客旅客車(chē)站車(chē)站()!( )()

34、!nnnNNP ANNNn 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7 7次車(chē)禍，假設(shè)每天發(fā)生車(chē)禍的概率相同次車(chē)禍，假設(shè)每天發(fā)生車(chē)禍的概率相同. . 求每天恰好發(fā)生一次車(chē)禍的概率求每天恰好發(fā)生一次車(chē)禍的概率. .車(chē)禍車(chē)禍天天7777777( )!( )P A 123k.a+b 例例12 12 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 個(gè)黃球，個(gè)黃球，b 個(gè)白球現(xiàn)將球從袋個(gè)白球現(xiàn)將球從袋中一一隨機(jī)摸出來(lái)，試求第中一一隨機(jī)摸出來(lái)，試求第 k 次摸出的球是黃球的概率次摸出的球是黃球的概率113a234b2解法一解法一: : 認(rèn)為球是不相同的（可辯的），認(rèn)為球是不相同的（可辯的），黃球編號(hào)為黃球編號(hào)為1 1 a, ,

35、白球編號(hào)為白球編號(hào)為1 1 b設(shè)樣本點(diǎn)為：依次取出的設(shè)樣本點(diǎn)為：依次取出的a+b個(gè)球的排列個(gè)球的排列樣本空間總數(shù)為樣本空間總數(shù)為 (a+b)!事件事件A構(gòu)成構(gòu)成A A的有利場(chǎng)合分兩步：的有利場(chǎng)合分兩步：從從a a個(gè)黃球中任取出一個(gè)放到第個(gè)黃球中任取出一個(gè)放到第k k個(gè)位置，個(gè)位置， 有有a種方式種方式113a234b2第第k個(gè)位置個(gè)位置其余其余a ab-1b-1個(gè)位置是個(gè)位置是( (a+b-1)-1)個(gè)球的任意排列，個(gè)球的任意排列，有有( (a+b-1)!)!種方式種方式13a234b2有利場(chǎng)合數(shù)為有利場(chǎng)合數(shù)為 a( (a+b-1)!)!1()!()!a abaPabab123k.a+b 例例

36、12 12 袋中有大小相同的袋中有大小相同的 a 個(gè)黃球，個(gè)黃球，b 個(gè)白球現(xiàn)將球從袋個(gè)白球現(xiàn)將球從袋中一一隨機(jī)摸出來(lái)，試求第中一一隨機(jī)摸出來(lái)，試求第 k 次摸出的球是黃球的概率次摸出的球是黃球的概率aba113a234b2解法二：解法二：認(rèn)為黃球及白球分別是沒(méi)有區(qū)別的（不可辯的）認(rèn)為黃球及白球分別是沒(méi)有區(qū)別的（不可辯的）總數(shù)：總數(shù)：事件事件A構(gòu)成構(gòu)成A的有利場(chǎng)合分兩步：的有利場(chǎng)合分兩步：從從a個(gè)黃球中任取出一個(gè)放到第個(gè)黃球中任取出一個(gè)放到第k個(gè)位置，個(gè)位置，有有1種方式種方式113a234b2第第k個(gè)位置個(gè)位置其余其余ab-1個(gè)位置是（個(gè)位置是（a-1）個(gè)黃球和）個(gè)黃球和b個(gè)白球的兩類(lèi)排列，

37、個(gè)白球的兩類(lèi)排列，把依次取出的把依次取出的a+b個(gè)球成一列個(gè)球成一列樣本點(diǎn)為：兩類(lèi)元素樣本點(diǎn)為：兩類(lèi)元素( (a 個(gè)黃球和個(gè)黃球和b 個(gè)白球個(gè)白球) ) 的排列的排列11abaaPababa有有 種方式種方式11aba例例1313 設(shè)設(shè)100100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5 5件次品件次品, ,現(xiàn)從中任意抽出現(xiàn)從中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .解法一：設(shè)樣本點(diǎn)為從解法一：設(shè)樣本點(diǎn)為從100件產(chǎn)品抽出件產(chǎn)品抽出3件的組合件的組合( )MNMknkP ANn正品正品 95M件件次品次品100100件產(chǎn)品件產(chǎn)品A1003總數(shù)：總數(shù)：構(gòu)成構(gòu)成A的有利

38、場(chǎng)合分兩步：的有利場(chǎng)合分兩步：從從5件次品中抽出件次品中抽出2件，件，從從95件正品中抽出件正品中抽出3件件25 種種方方式式95 1種種方方式式59521()1003P A N N件產(chǎn)品件產(chǎn)品次品次品 5件件次品次品 M件件正品正品 N-M例例13 13 設(shè)設(shè)100100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5 5件次品件次品, ,現(xiàn)從中任意抽出現(xiàn)從中任意抽出3 3件，求件，求恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率. .這是一種無(wú)放回抽樣情形，這是一種無(wú)放回抽樣情形，有放回抽樣時(shí)有放回抽樣時(shí)P(A)=P(A)=？解法二：設(shè)樣本點(diǎn)為從解法二：設(shè)樣本點(diǎn)為從100件產(chǎn)品抽出件產(chǎn)品抽出3件的排列件的排

39、列次品次品 5件件正品正品 95件件M件件次品次品100100件產(chǎn)品件產(chǎn)品A3 31 10 00 0! !1 10 00 0= = =1 10 00 09 99 9 9 98 89 97 7! !總數(shù)：總數(shù)：構(gòu)成構(gòu)成A的有利場(chǎng)合分兩步：的有利場(chǎng)合分兩步：先確定正品次品的位置先確定正品次品的位置(即兩類(lèi)元素即兩類(lèi)元素(一個(gè)一個(gè)正品和兩個(gè)次品正品和兩個(gè)次品)的排列問(wèn)題的排列問(wèn)題)，正品從正品從95件中取出一件有件中取出一件有32 種種方方式式95種種方方式式395 5 42( )100 99 98P A 123第一件次品從第一件次品從5件中取出一件件中取出一件5種種方方式式第二件次品從第二件次品從

40、4件中取出一件件中取出一件4種種方方式式能用組合能用組合作為樣本作為樣本點(diǎn)嗎？點(diǎn)嗎？ 395552( )100 100 100P A 把把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫(xiě)在七張同七個(gè)字母分別寫(xiě)在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，求張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，求排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞的概率：排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞的概率：拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCESCIENCE 的情況數(shù)的情況數(shù)( (有利場(chǎng)合數(shù)）為有利場(chǎng)合數(shù)）為故該結(jié)果出現(xiàn)的概

41、率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為： 這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在12601260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1 1次次 . .224解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7 7！更多的例子更多的例子41=0 0007971260.!p 這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù)們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù). . 具體地說(shuō)，可以具體地說(shuō)，可以99.921%9

42、9.921%的把握懷疑這是魔術(shù)的把握懷疑這是魔術(shù). .（錯(cuò)誤（錯(cuò)誤的概率是的概率是0.000790.00079） 小概率事件通?？梢詷?gòu)成一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)，通小概率事件通?？梢詷?gòu)成一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)，通常假定某常假定某“假設(shè)假設(shè)H”H”為真，在該前提下建立一小概率事為真，在該前提下建立一小概率事件，如果在一次試驗(yàn)中該小概率事件發(fā)生，則判斷該件，如果在一次試驗(yàn)中該小概率事件發(fā)生，則判斷該“假設(shè)假設(shè)H”H”不真。這是概率統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理。不真。這是概率統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理。實(shí)際推斷原理：小概率事件在一實(shí)際推斷原理：小概率事件在一次試驗(yàn)不會(huì)出現(xiàn)，因而可將次試驗(yàn)不會(huì)出現(xiàn)，因而可將A A看成

43、看成一（實(shí)際上）不可能事件。一（實(shí)際上）不可能事件。上推斷過(guò)程是：上推斷過(guò)程是：假設(shè)假設(shè)H H：設(shè)取到每：設(shè)取到每一張牌的可能性相一張牌的可能性相等等假設(shè)假設(shè)H H不真，即認(rèn)不真，即認(rèn)為到每一張牌的可為到每一張牌的可能性不相等能性不相等小概率事件發(fā)生小概率事件發(fā)生解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只的分法總數(shù)只的分法總數(shù)為為而出現(xiàn)事件而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為的分法數(shù)為n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例 n雙相異的鞋共雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成只，隨機(jī)地分成n堆，每堆堆，每堆2只只 . 問(wèn)問(wèn):“各堆都自成一

44、雙鞋各堆都自成一雙鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？ “等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的可能的.1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件.需要注意的是：需要注意的是： 在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱(chēng)性和均衡性，我們就可以認(rèn)在許多場(chǎng)合，由對(duì)稱(chēng)性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率. .2 2、在用排列組合公式計(jì)算

45、古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏數(shù)，也不要遺漏. .例如：從例如：從5 5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4 4只，這只，這4 4只鞋子中只鞋子中“至少有至少有兩只配成一雙兩只配成一雙”（事件（事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？ 下面的算法錯(cuò)在哪里？下面的算法錯(cuò)在哪里？4102815)(AP錯(cuò)在同樣的錯(cuò)在同樣的“4 4只配成兩雙只配成兩雙”算了兩次算了兩次. .97321456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只410252815)(AP請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？還有其它解法嗎

46、？成一雙成一雙只鞋子中至少有兩只配只鞋子中至少有兩只配設(shè)設(shè)解解4A一雙一雙只鞋子中恰有兩只配成只鞋子中恰有兩只配成41A雙雙只鞋子恰好配成只鞋子恰好配成242A2121AAA,AA且于是)()()()(2121APAPAAPAP則則41025410224152CCCCC2113只只鞋鞋子子都都不不能能配配成成雙雙設(shè)設(shè)另另解解4A4104252)(CCAP218)(1)(APAP則則21132181例如：從例如：從5 5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4 4只，這只，這4 4只鞋子中只鞋子中“至少有至少有兩只配成一雙兩只配成一雙”（事件（事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？ 97321

47、456810 幾何概型幾何概型( (Geometric probability) ) 把古典概型推廣到無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)又具有把古典概型推廣到無(wú)限個(gè)樣本點(diǎn)又具有“等可能等可能”場(chǎng)合場(chǎng)合, ,人們引入了幾何概型人們引入了幾何概型. . 由此形成了確定概率的另一方法由此形成了確定概率的另一方法幾何方法幾何方法. .如果一個(gè)試驗(yàn)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：如果一個(gè)試驗(yàn)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：樣本空間樣本空間是一個(gè)大小可以計(jì)量的幾何區(qū)域（如線段、是一個(gè)大小可以計(jì)量的幾何區(qū)域（如線段、 平面、立體）。平面、立體）。向區(qū)域內(nèi)任意投一點(diǎn)，落在區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)處都是向區(qū)域內(nèi)任意投一點(diǎn)，落在區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)處都是“等可等可能的能的”。那么，

48、事件那么，事件A的概率由下式計(jì)算：的概率由下式計(jì)算： ()AP A 的的的的 測(cè)度測(cè)度測(cè)度測(cè)度研究相應(yīng)的概率問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題研究相應(yīng)的概率問(wèn)題為幾何概型問(wèn)題1 1、向區(qū)域、向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，這里“任意投擲一點(diǎn)任意投擲一點(diǎn)”的的含義是指該點(diǎn)落入含義是指該點(diǎn)落入內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部?jī)?nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān). .2 2、假如樣本空間、假如樣本空間可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向并且向上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事

49、件上隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含義如前述，則事件A A的概率仍的概率仍可用公式確定，只不過(guò)把事件的測(cè)度理解為長(zhǎng)度或體積即可用公式確定，只不過(guò)把事件的測(cè)度理解為長(zhǎng)度或體積即可可. . 那么那么024024,.xy當(dāng)兩船相會(huì)時(shí)，所求的事件發(fā)生當(dāng)兩船相會(huì)時(shí)，所求的事件發(fā)生06yx， 甲、乙兩船甲、乙兩船 將在同一天的將在同一天的0 0點(diǎn)到點(diǎn)到2424點(diǎn)之間隨機(jī)地到達(dá)碼點(diǎn)之間隨機(jī)地到達(dá)碼 頭，設(shè)該碼頭只有一個(gè)泊位頭，設(shè)該碼頭只有一個(gè)泊位. .若甲先到，需?？咳艏紫鹊?，需停靠6 6小時(shí)后小時(shí)后才離開(kāi)碼頭，若乙先到，則要?？坎烹x開(kāi)碼頭，若乙先到，則要?？? 8小時(shí)后格離開(kāi)碼頭。問(wèn)這兩小時(shí)后格離開(kāi)碼頭。問(wèn)這兩船中有船需

50、等候泊位空出的概率？船中有船需等候泊位空出的概率？例例14 14 會(huì)面問(wèn)題會(huì)面問(wèn)題解解: :2222124(1816 )2( )24P A設(shè)甲船、乙船到達(dá)碼頭的時(shí)間分別是設(shè)甲船、乙船到達(dá)碼頭的時(shí)間分別是x 和和 y. 兩船到碼頭時(shí)刻，相當(dāng)于向方形區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)兩船到碼頭時(shí)刻，相當(dāng)于向方形區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)2424xy0即乙比甲晚到即乙比甲晚到6小時(shí)小時(shí)或甲比乙晚到或甲比乙晚到8小時(shí)小時(shí)08xy，即即A發(fā)生發(fā)生( , )0600)(0)的一些平行直線的一些平行直線, ,現(xiàn)向此現(xiàn)向此平面任意投擲一根長(zhǎng)為平面任意投擲一根長(zhǎng)為l( (l a ) )的針的針, ,試求針與任一平行直試求針與任一平行直線相交的概率線相

51、交的概率P. .解：解：,xM以以 表表示示針針投投到到平平面面上上時(shí)時(shí) 針針的的中中點(diǎn)點(diǎn)到到最最近近的的一一條條平平行行直直線線的的距距離離ax M. 表表示示針針與與該該平平行行直直線線的的夾夾角角( , ). x 那那么么針針落落在在平平面面上上的的位位置置可可由由完完全全確確定定( , )x ( , )|0,02axx 投投針針試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空間間由投擲的任意性可知由投擲的任意性可知, ,這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題. .xa/20ax M0 02sin ,lx0d22sinla 22.llaa則則A A發(fā)生的充分必要發(fā)生的充分必要 條件是條件是( )GgP A 的

52、的面面積積的的面面積積G a/2蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義2( )lP Aa,( ),NnnP AN根根據(jù)據(jù)頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性當(dāng)當(dāng)投投針針試試驗(yàn)驗(yàn)次次數(shù)數(shù) 很很大大時(shí)時(shí) 算算出出針針與與平平行行直直線線相相交交的的次次數(shù)數(shù)則則頻頻率率值值即即可可作作為為的的近近似似值值代代入入上上式式 那那么么, ,2nlNa2.lNan . 利利用用上上式式可可計(jì)計(jì)算算圓圓周周率率的的近近似似值值蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義2( )lP Aa,( ), NnnNP A根根據(jù)據(jù)頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性當(dāng)當(dāng)投投針針試試驗(yàn)驗(yàn)次次數(shù)數(shù)很很大大時(shí)時(shí)算算出出針針與與平平行

53、行直直線線相相交交的的次次數(shù)數(shù)則則頻頻率率值值即即可可作作為為的的近近似似值值代代入入上上式式 那那么么2,nlNa2.lNan . 利利用用上上式式可可計(jì)計(jì)算算圓圓周周率率的的近近似似值值歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果( (直線距離直線距離a=1)=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81

54、850Wolf相交次數(shù)相交次數(shù)投擲次數(shù)投擲次數(shù)針長(zhǎng)針長(zhǎng)時(shí)間時(shí)間試驗(yàn)者試驗(yàn)者的近似值的近似值 1933年年 , 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁怕收摰奶K聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蛱岢隽烁怕收摰墓砘Y(jié)構(gòu)公理化結(jié)構(gòu) ,給出了概率的嚴(yán)格定義給出了概率的嚴(yán)格定義 ,使概率論有了迅速使概率論有了迅速的發(fā)展的發(fā)展.二、概率的公理化定義與性質(zhì)二、概率的公理化定義與性質(zhì)附;)A(P,A:(1)10 有有對(duì)于每一個(gè)事件對(duì)于每一個(gè)事件性性有界有界 ;)(,:(2)1 P 有有對(duì)對(duì)于于必必然然事事件件規(guī)規(guī)范范性性則則有有即即對(duì)對(duì)于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設(shè)設(shè),j, i ,AA, ji,A,A:(3)ji2

55、121 , 可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定義概率的定義1.71.7:)(P.A),A(P,AE.,E滿(mǎn)足下列條件滿(mǎn)足下列條件如果集合函數(shù)如果集合函數(shù)的概率的概率稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件記為記為賦予一個(gè)實(shí)數(shù)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)每一事件每一事件的的對(duì)于對(duì)于是它得樣本空間是它得樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè) . 0)()1( P證明證明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且則則 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性質(zhì)性質(zhì)概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()