冪零矩陣性質(zhì)及應(yīng)用

1、幕零矩陣性質(zhì)及應(yīng)用數(shù)本041嚴(yán)益水學(xué)號：410401109摘要:幕零矩陣是一類特殊的矩陣，在矩陣?yán)碚撝杏兄匾淖饔?。它具有一些很好的性質(zhì)。本文從矩陣的不同角度討論了幕零矩陣的相關(guān)性質(zhì)。幕零矩陣與若當(dāng)形矩陣結(jié)合可得一個很好性質(zhì)，在解相關(guān)矩陣問題有很好作用，由此我們舉例說明，從例子中發(fā)現(xiàn)了問題并對此問題進(jìn)行思考得出了一些結(jié)論，對幕零矩陣的研究很有意義。在一般矩陣中，求矩陣的逆比較麻煩，本文最后利用幕零矩陣特殊性討論了三類特殊矩陣逆的求法。關(guān)鍵詞：幕零矩陣若當(dāng)塊特征值幕零指數(shù)一、預(yù)備知識（下面的引理和概念來自高等代數(shù)解題方法與技巧李師正高等教育出版社、高等代數(shù)（第二版）北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室

2、代數(shù)小組高等教育出版社、高等代數(shù)選講陳國利中國礦業(yè)大學(xué)出版社及高等代數(shù)習(xí)題集（上冊）楊子胥山東科學(xué)技術(shù)出版社）（一）一些概念1、令A(yù)為n階方陣，若存在正整數(shù)k,使人1<=0,A稱為幕零矩陣。2、若A為幕零矩陣，滿足Ak=0的最小正整數(shù)稱為A的幕零指數(shù)。an13、設(shè)A，稱A=為A的轉(zhuǎn)置,為A的伴隨矩陣Ann；其中Aj（i,j=1,2,工）為人中元素前的代數(shù)余子式4、設(shè)A為一個n階方陣，A的主對角線上所有元素的和稱為A的跡，記為trA5、主對角線上元素為0的上三角稱為嚴(yán)格的上三角。6、形為九00、1人0J(九,t)=：500九0、001的矩陣稱為若當(dāng)塊，其中人為復(fù)數(shù)，由若干個若當(dāng)塊組成和準(zhǔn)對

3、角稱為若當(dāng)形矩陣。7、f(I)=|，1EA|稱為矩陣A的特征多項式。滿足f伍)=刖-川=0的大的值稱為矩陣A的特征值。8、次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的以A為根的多項式稱為A的最小多項式。(二)、一些引理.，一、一、.、一一.r*引理1:設(shè)A,B為n階萬陣，則(AB)=B'A',(AB)=BA引理2:f(K)=|九E-A,mA(7J分別為矩陣A的特征多項式和最小多項式，則有f(A)=0,mA(A)=0。引理3:每一個n階的復(fù)矩陣A都與一若當(dāng)形矩陣相似，這個若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排序外被矩陣A唯一決定的，它稱為A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。引理4:若當(dāng)形矩陣的主對角線上和元素為它的特征值。引理5:n

4、階復(fù)矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A和最小多項式無重根。引理6:相似矩陣具有相同的特征值。引理7:設(shè)幾,，為n階矩陣A的特征值，則有trA=%+%+%，A|=%九2九，且對任意的多項式f(X)有f(A)的特征值為f(A),f(%)，f®)。a、.一1,一，.一，.引理8:k階若當(dāng)塊Jk=.的最小多項式為(x-a)k且有<1a)(Jk-aEf=Q引理9:矩陣匠最小多項式就是矩陣A的最后一個不變因子。引理10:A,B為n階復(fù)數(shù)域上的矩陣，若AB=BA,則存在可逆矩陣T,使得TJBT=TJAT=引理11:任意n階A,B方陣，有tr(AB)=tr(BA)。二、哥零矩陣的性質(zhì)(下面

5、的性質(zhì)來自高等代數(shù)解題方法與技巧李師正高等教育出版社、高等代數(shù)(第二版)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等教育出版社、高等代數(shù)選講陳國利中國礦業(yè)大學(xué)出版社、高等代數(shù)習(xí)題集(上冊)楊子胥山東科學(xué)技術(shù)出版社、關(guān)于幕零矩陣性質(zhì)的探討谷國梁銅陵財經(jīng)?？茖W(xué)校學(xué)報、幕零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用韓道蘭羅雁黃宗文玉林師范學(xué)院學(xué)報并綜合歸納得出關(guān)于幕零矩陣的十一條性質(zhì))性質(zhì)1:A為幕零矩陣的充分必要條件是A的特征值全為00證明：二丫A為幕零矩陣-.3keZ+s.tAk=0令為A任意一個特征值，則3a=0,s.tA=九p由引理7知，K為Ak的特征值.-.3P#0stAkP=KP從而有九0k=0即有九0=0kk又有

6、A=0,知0=A=|a|=|a|=0:0*E-A=|A=(1|A=(k1)=00二%=0為A的特征值。由%的任意性知，A的特征值為0ou丫A的特征值全為0,A的特征多項式為f(?，.)=RE-A|=，J由引理2知，f(A)=An=0所以A為幕零矩陣。得證性質(zhì)2:A為幕零矩陣的充分必要條件為VkZ+trAk=0。證明：二丁A為幕零矩陣，由性質(zhì)1,知：A的特征值全為0即=%=0由引理7,知Ak的特征值為%；=K2k=九nk=0從而有trAk='1k'2knk=0u由已知，VkeZ+trAk=九1k+九2k+九nk=0(1.1)令心，,，為A的不為0的特征值且九互不相同重數(shù)為ni(i

7、=1,2,t)由(1.1)式及引理7,得方程組nAi十"%+nJ”=0222nAi十%人2+n/t=0(1.2).3.3._34niin22ntt=0n；n22tnttt=0由于方程組(1.2)的系數(shù)行列式為二12證明：A為尋零矩陣,由引理3,知T'AT=又(i=1,2,t)互不相同且不為0,二B#0從而知，方程(1.2)只有0解，即小=0(i=1,2,t)即A沒有非零的特征值二A的特征值全為0,由性質(zhì)1,得A為幕零矩陣得證性質(zhì)3:若A為幕零矩陣，則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J的若當(dāng)塊為幕零若當(dāng)塊，且J和主對角線上的元素為0由性質(zhì)1,知A的特征值全為0在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T,使得J2

8、*Js，一1.其中Ji=*.階數(shù)為n4i=1,2，s)<1九i由引理4,知(i=1,2,，s)為J和特征值又A與J相似，由引理6,知A與J有相同的特征值所以=0(i=1,2,s)即J的主對角線上的元素全為0由引理8,知(Ji-0E=4")=0i=(1,s,J1J2,，Js為幕零矩陣得證性質(zhì)4:若A為幕零矩陣，則A一定不可逆但有|A+E|=1,|E-A=1證明：A為幕零矩陣，,-,3keZ+stAk=0kk0=A=|a|=|a|=0A一定不可逆由性質(zhì)1,得A的特征值為=、.2="-=Kn=0由引理7,得A+E,E-A的特征值分別為11=2=n=01=1,1-2=n=一1

9、二0且有|AE=；：一二=1"=1nnEA=九1A2¥g兒n=1=1即|A+E|=1,|EA=1得證性質(zhì)5:若A+E為幕零矩陣，則A非退化證明：令九1,%,5n為A的特征值若A退化，則有IA=0由引理7,得閭=%九2gg人=0二至少存在九i=0為A的特征值0又由引理7,得"十1=1手明A+E的一特征值這與A+E為幕零矩陣矛盾得證A為非退化性質(zhì)6:若A為幕零矩陣，B為任意的n階矩陣且有AB=BA,則AB也為幕零矩陣證明：A為幕零矩陣;3keZ+s.tAk=0又AB=BA(ABf=ABk=0Bk=0二AB也為幕零矩陣得證性質(zhì)7:若A為幕零矩陣且Ak=0,則有(E-A)

10、/=E+A+A2+Ak/J1112k1k(mEA)E2A3A(-1)kA(m=0)mmmm證明：Ak=0.E=E-A=EA2k1=(E-A)(EAAA)即(E-A)=EAA2Ak任意m#0,有kkkkAkmE=mEA=mEA=mE()mA112=m(E)EA2Ammm112k-11k.1=(mEA)(1A2AY11kA)mmm(T尸4Ak)=Em(-1)k-A1)1111o即有(mEA)(E1A2A2mmm1112(mEA)=(E1A2Ammm=旦-口A±A2(-1)k-1j-7Ak-1mmmm性質(zhì)8:若A為幕零矩陣且A*0,則A不可對角化但對任意的n階方陣B,存在幕零矩陣N,使得B

11、+N可對角化證明：:A為幕零矩陣,3kZ+s.tAk=0且A的特征值全為零入E-A=Kn為A的特征多項式且f(A)=An=0令mA（九）為A的最小多項式，則有mA（%）|f（1）從而有mA()=k0(1三ko<n)由于A#0，,k0>1,又止匕時mA()=kok0_2即A的最小多項式有重根，由引理5,知A不可對角化丁B為n階方陣由引理3,知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T,使得一，1其中Ji=.二階數(shù)為n4i=1,2,，s)<1'i)令Di=階數(shù)為ni(i=1,2,，s)+.1則有Ji=JDi="*.階數(shù)為n#=1,2,，s)<10由引理8,知（jJ-0Ej

12、=（J）需=0即J；為幕零矩陣（i=1,2,，s）f.J11F現(xiàn)令J'=J2,D=Ds；FIJsJ'T4BT=J2J2+D2-JDJs+DsJ1,1.1即B=T(JD)T=TJTTDT(1)又D為對角陣，由（1）式知BTJT,=TDT可對角化令N=-TJT且取k=max(n1,n2,ns）則有J1kT/=()kT0T=0證明；令A(yù)為n階幕零矩陣由性質(zhì)3知，存在可逆矩陣T使得J1TJAT二J2其中Ji=階數(shù)為n"i=1,2，,s)且(JJ,=0±n(i=1,2,取k=max(n1,n2,且有J1Ak=(TJ2T4)k=TJ2kT'=T0T'=0

13、"(1.5)Nk=(-TJT)k=(-)kT(J)kT=(-)kT即有B+N可對角化且N為幕零矩陣得證性質(zhì)9:n階幕零矩陣的幕零指數(shù)小于等于n且幕零指數(shù)等于其若當(dāng)形矩陣中階數(shù)最高的若當(dāng)塊的階數(shù)JsJsk即Ak=0若令k。為A的幕零指數(shù)，則ko<k<A%=0若k0<k,則節(jié)。s.t>k0且Jik0二0由（1.5）式，得k0Ak0=(TJ2T-)k二TJ2kT，¥0Jsk0,這與Ak0=0矛盾k0=k<得證性質(zhì)10：與幕零矩陣相似的矩陣仍為幕零，且幕零指數(shù)相同并相似于嚴(yán)格上角形證明：令A(yù)為幕零矩陣，則A的特征值全為0若B與A相似由引理6,得A與B有

14、相同的特征值，B的特征值也全為0,由性質(zhì)1,知B也為幕零矩陣A為幕零矩陣由性質(zhì)3知，存在可逆矩陣T使得J1T,AT=JJsJ其中Ji二且（Ji戶=。1-ni10;階數(shù)為ni(i=1,2,，s)Mn(i=1,2,s,由性質(zhì)9,知kA=max（n1,n2；，ns）為A的幕零指數(shù)又A與B相似,A與J相似從而有B也與J相似J1二3可逆矩陣P使得P,BP二J二J2又由性質(zhì)9,知kB=max(n1,n2；,%)為B的幕零指數(shù)從而有kA又Ji10>（i-1,2,s為嚴(yán)格上三角Ji'J2J=2.也為嚴(yán)格上三角形<Js)即A,B都相似于嚴(yán)格上三角形J得證性質(zhì)11:若A為幕零矩陣，則A,A，A

15、,mA(mwZJ都為幕零矩陣，特別有(A)2=0證明：丁A為幕零矩陣3k=Z+s.tAk=0由引理1,知(A'f=Ak)'00(A/=Ak)=00(-AN(ikAk=-(1)=0二A',A*,A都為幕零矩陣(mA)k=(m)kAk=(m)k0=0mA(mzZJ也為哥零矩陣又A為幕零矩陣|A=0即r(A)Mn-1若r(A)<n-1,則有A的所有n-1階代數(shù)余子式都為0則有A*=0從而有(人*)2=人"=0若r(A)=n-1,則由性質(zhì)3知，"1T'AT=Jk01,其中Ji=1.存在可逆矩陣T,使得J2*Js/階數(shù)為ni(i=1,2,，s)且

16、r(Ji)=ni-1、10，又顯然A與J,所以有r(A)=r(J)=，r(J)=v(坨-1)="ni-s=n-s=n-1i1i=1i10、1_1',s=1即有TAT=J=.=B(1.3)<10J10(-1嚴(yán)又B*=.:,(B*f=0I0)由(1.3)式及引理1,知A*=(TBT/)*=(T/)*BT*(A*)2=(T)*B*TT=(T)*(B*)2T*=0得證三、關(guān)于哥零矩陣性質(zhì)的簡單應(yīng)用(一)、特殊哥零矩陣(來自高等代數(shù)解題方法與技巧李師正高等教育出版社)1、A為實對稱矩陣且A2=0,則有A=0證明：令人=但U卜而，則由A實對稱二A'=Ann且A2=AA八&#

17、39;aj2=0i=1j=1又a.為實數(shù)aj=0i,j=1,2,n即A=02、所有n階幕零指數(shù)等于其階數(shù)的幕零矩陣都是相似證明：令A(yù)為n階n次幕零矩陣即An=0Ak=0(k<n)二A的最小多項式mA(九)=n又A幕零矩陣二A的特征值全為0二A的特征多項式為f(九)=KE-A=Zn=Dn(九)由引理9,知dn（九）=mA（兒）=7一DJ）°又dn（）Dnq（）=1Dn（）從而有心（）=d2（）=5（）=1所以所有的n階n次幕零矩陣的不變因子都是1,1；，1,小所以所有n階幕零指數(shù)等于其階數(shù)的幕零矩陣都相似3、所有n階n1次幕零矩陣相似（n-1為幕零指數(shù)）證明：令A(yù)為n階n1次幕零

18、矩陣，則An'=0Ak#0（k<n-1），A的最小多項式mA（7J=九n/又A幕零矩陣，A的特征值全為0二A的特征多項式為f（九）=|兒EA=Dn（九）又dn（）=門：）='nDn（）=Dn（）又f（九）=|九E-A=/=d（九）dz（?）dn（K）從而有dn（）=dnJ）=d?（）=4（）=1所以所有n階n-1次幕零矩陣具有相同不變因子1,1,，1/一,/所以所有n階n-1次幕零矩陣都相似思考：所有n階n-k次幕零矩陣可分為幾類（相似歸為一類）？由于矩陣相似等價于它們不變因子相同，所以我們要找所有n階n-k之0次幕零矩陣可分為幾類即可找所有n階n-k次幕零矩陣不變因子可

19、分幾類。又由于n階幕零矩陣的不變因子都是九m（m>0）,因此只需找k分成n-1份且滿足每一份的數(shù)小于等于n-k并且這些的和等于k有多少種分法。猜想：這個問題就是求n個盒子n個球，盒子編號為1,2，n,且第一個盒子的球數(shù)為n-k之0個，并且滿足第i+1個盒子的球數(shù)小于等于第i個盒子的球數(shù)，總共有多少種放球的方法（每個盒子的球數(shù)為0,1,2,，n-k中任一數(shù)且不同盒子球數(shù)可相同）。我想是否可通過編一個程序來求出具體數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的分析得出n、k與放球方法之間的關(guān)系（由于知識有限未能完成這個工作，但作為數(shù)學(xué)問題這是必要的，希望在經(jīng)后的學(xué)習(xí)中能有進(jìn)一步的認(rèn)識）。對這個問題的思考得出以下結(jié)論：n

20、階幕零矩陣A（k為一些特殊的數(shù)據(jù)）（采用排列組合的思想只是做了一些簡單的歸納）A=0：只有一類A2=0:分為兩種情況：當(dāng)n為偶數(shù)時有U類2當(dāng)n為奇數(shù)時有一類A3=0：分為兩種情況：當(dāng)n為偶數(shù)時又分為三種情況k當(dāng)n=3k時，有工-1(-1力9n-3i22類2k當(dāng)n=3k+1時，有£i1i-1(")12n-3i22類2k當(dāng)n=3k+2時，有£一-1(-Diln-3i(U22+2類2當(dāng)n為奇數(shù)時又分為三種情況當(dāng)n=3k時，-1-(i11入kn-3i(2有'、2i12k當(dāng)n=3k+1時，有£T(T)i1n3i()22類2k當(dāng)n=3k+2時，有工i1n-3

21、iL("122An，=0:只有三類An，=0:只有兩類（這些結(jié)論是我自己歸結(jié)出來的，本想找相關(guān)資料驗證但沒找到，所以正確與否不可知，今后若能找到這一部分的內(nèi)容再做進(jìn)一步的補(bǔ)充）An'=0:只有一類An=0:只有一類（二）、有關(guān)哥零矩陣的應(yīng)用（例題來自高等代數(shù)解題方法與技巧李師正高等教育出版社及幕零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用韓道蘭羅雁黃宗文玉林師范學(xué)院學(xué)報）i11、設(shè)n階方陣，求證：(1)存在kwZ.使得r(Ak)=r(Ak*)=r(Ak*)=(2)存在kwZ+，而且iwkwn,r(Ak)=r(Ak*)=證明：(1)、由引理3,知在復(fù)數(shù)域上,三可逆矩陣T使得JiJtJt1(1.4)其中J

22、i階數(shù)為nii-1,2,s令Ji,J2,，Jt為=0的若當(dāng)塊i=1,2；,tJt/Jt*,Js為#0的若當(dāng)塊i=t+1,t+2,s01-1-/日由于Ji=+.由引理8,得<10)(Ji)'=0且(Ji)V#0i=1,2,tr(J)i=0r_k=man«,n2,nt)i=1,2,tJi=九/#0即Ji可逆i=t+1,t+2,si=t1,t2,s.VrwZ+(J)：#0有r(J：)=r(Ji)=m由(1.4)式，知A與J相似，且J1P(TqAT)P-T'APT-T'JtpTVp三Z+JsP從而，得Ap與Jp相似,綜上可得，r(Ak)=r(Jk)Cr(Jik)

23、=、r(Jk)=vr(Jikp)即得證且卜二max(n1,n2,nt)-pZr(Ak)=r(Ak1)=二r(Aks)(2)、由(1)知，3k=max(ni,n2,nj使得r(Ak)=r(Ak1)=r(Aks)=又已知1m5mni=1,2,t1<k<n得證特別當(dāng)r(A)=r(A2)時，可得r(A)=r(A21)=r(A3)=r(A4廠2、A,B為n階方陣，B為幕零矩陣且AB=BA,則有A+B=|A證明：由引理10,在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T,使得2又B為幕零矩陣所以B的特征值全為0,00T4(AB)T=T1AT、不T"(A+B)抬T|又T可逆T¥0）i由T,AT=

24、由引理7,得A=斯互L3n從而得證|AB|=網(wǎng)=r-2'n3、A為n階方陣，求證A=B+C,B可對角化，C為幕零矩陣且證明：由性質(zhì)3,知存在幕零矩陣N,使得A十N可對角化BC=CB即存在可逆T,使得T(A+N)T即有A=TDT（-N）由性質(zhì)11,知N幕零矩陣則-N也幕零矩陣又TDT與D相似，,TDT/可對角化令B=TDT/C=-N,則有A=B+CB=TDT，可對角化C=-N為幕零矩陣又丫D為對角陣BC=TDT4C=TTDC=DC=CD=CDTT'=CTDT=CB得證4、A,B,C為n階方陣,且AC=CABC=CBC=AB-BA,證明：存在證明：由于AC=CABC=CBC=ABB

25、A,Cm=Cm"（AB-BA）=C"AB-C"BA二A（Cm加）-（BC"）A=a（c"b）-（c"b）a由引理11,得tr(A(Cm'B)=tr(BCm,)A)tr(Cm);tr(A(Cm'B)(BCm)A)=tr(A(CmB)一tr(BCm)A):0由性質(zhì)2,得C為幕零矩陣由性質(zhì)9,知三kMn,stCk=0得證5、在復(fù)數(shù)域上，n階方陣A相似于對角陣等價于對于A的任一特征值九，有A-1E與（A-KE）2的秩相同。證明:=因為A對角化，則存在可逆矩陣T,使得TAT=從而有n/(1-)2(2-)212T(A-E)T=所以T（AKE）T與T（A九E）2T相同即A九E與（A九E）2的秩相同u由于在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T使得T4AT二J21,其中J=工1JsJ階數(shù)為ni(i=1,2,，s)若Ji（i=1,2,，s）不全為對角陣，則不妨令J1不可對角化，且有n>1,有0、1 JiEg=.<1力0（Ji-EJ2=1二+*.+<100>從而知JiEg的秩大于（J1-En1）2的秩，即有T（A九E）T的秩大于T,（A九E）2T的秩也即A-Z