平面向量專題

1、年級：輔導科目：數(shù)學課時數(shù):課題平面向量教學目的教學內(nèi)容知識網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)量及其rjj出實際背景共線向顯相等向世加減法兩向量共線的條件|一|向的匕一m應的教量積|中力日立用西向求正直的條件同俄根本定理華,林表小二、命題分析從近幾年的高考可以看出,命題呈現(xiàn)以下特點：難度較低.1 .對于平面向量的根本概念及運算,將繼續(xù)以選擇題或填空題的形式單獨考查,2 .重點考查向量的運算,向量的坐標運算和數(shù)量積為必考內(nèi)容.3 .依然有可能出現(xiàn)以向量為工具,在二次曲線、不等式、三角恒等變換、解三角形等知識交匯點處命題的題目,而且綜合性可能會增強,難度在中檔以上.三、復習建議1 .數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運算的核心.向

2、量是一個幾何量,是有“形的量,因此在研究向量的有關(guān)問題時,一定要結(jié)合圖形進行分析判斷求解,這是研究平面向量最重要的方法與技巧.2 .向量有幾何法和坐標法兩種表示形式,因此它的運算也有兩種方式,故向量問題的解決有兩種途徑一一幾何法和代數(shù)法,在解決具體問題時要善于從不同的角度考慮問題.引入平面向量的坐標可以使向量運算完全代數(shù)化,成為數(shù)與形結(jié)合的載體；同時,增強數(shù)形轉(zhuǎn)化的水平和培養(yǎng)運用運動變化的思想進行等價轉(zhuǎn)化問題的水平,初步領(lǐng)會數(shù)學建模的思想和方法.3 .數(shù)量積及其應用是本單元的重點和難點,只有對其定義及運算律理解透徹,才能準確靈活地運用.高考中主要考查判斷兩個向量是否垂直或是尋求兩個向量垂直的條

3、件,利用向量的數(shù)量積等條件求向量或向量的坐標.四、知識講解第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算(一)高考目標考綱解讀1 .了解向量的實際背景.2 .理解平面向量的概念,理解兩個向量相等的含義.3 .理解向量的幾何表示.4 .掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義.5 .掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義.6 .了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義考向預測1 .重點考查平面向量的有關(guān)概念、線性運算及其幾何表示.2 .多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn),常與解析幾何相結(jié)合,在知識的交匯點處命題.3 .向量是“形與“數(shù)的具體表達,注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.(二)課前自主預習知識梳理1 .向

4、量的有關(guān)概念(1)向量：既有又有的量叫做向量,向量的大小叫做向量的L或模).(2)零向量：的向量叫做零向量,其方向是的.單位向量：長度等于的向量.(4)平行向量：方向_或_的一向量.平行向量又叫,任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定：0與任一向量一(5)相等向量：長度且方向的向量.(6)相反向量：長度且方向的向量.2 .向量的線性哼算向量運算定義法那么(或幾何意義)運算律減法求a與b的相反向量一b的和的運算叫做a與b的差二a法那么數(shù)乘求實數(shù)人與向量a的積的運算(1)|入a|=(2)當入0時,入a的方向與a的方向；當入0時,入a的方向與a的方向；當入=0時,入a=.入1a=入+1a=入a+

5、b=3.共線向量定理向量a(aw0)與b共線的條件是存在唯一一個實數(shù)入,使得b=入a.加法求兩個向量和的運算1交換律：a+b=.2結(jié)合律：a+b+c=(三)根底自測1. (2021四川理)設(shè)點M是線段BC的中點,點A在直線BC外,宓=16,|次升雨=|麗一雨,那么|俞=()A.8B.4C.2D.1答案C解析l超AC=|AB-AC,.ABC是以A為直角頂點的三角形,又M是BC的中點,那么|AM=；|BC=1*4=2.2.(教材改編題)以下命題正確的選項是()A.零向量是唯一沒有方向的向量B.平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個C.a與b是共線向量,b與c是平行向量,那么a與c是方向相同的向量D.相等的向

6、量必是共線向量答案D解析向量是既有大小又有方向的量,所以零向量必有方向,又規(guī)定零向量與任一向量平行,所以零向量是aa一唯一的一個萬向不確定的向量,故A錯誤；對平面內(nèi)的任一向量a而言,由于商=1,所以同即是一個單位向量,由a的任意性,可知B錯誤；共線向量即平行向量,包括方向相同或方向相反的非零向量及零向量,故C錯誤；由于相等向量即長度相等且方向相同的向量,所以D正確.3 .2021湖南文如圖,DE、F分別是ABC勺邊ABBCCA的中點,那么A. ANBE+CF=0B. BD-C斗DF=0C.ANCE-CF=0D.BD-BEFC=0答案A解析考查平面向量的線性運算.AD+B曰CF=AD+DF+FA

7、=0.4 .設(shè)P是ABO在平面內(nèi)的一點,B>BA=2即那么a.papb=0b.Pb+Pc>0c.P>PA=0d.PAvpb+Pc>0答案C解析方法一：由向量加法的平行四邊形法那么易知,BArB的和向量過AC邊上的中點,長度是AC邊上的中線長的二倍,結(jié)合條件可知P為AC邊中點,故PA+咯0.方法二：BOBA=2BP,.PB+BC>電BA=0,即PC>PA=0.5 .如圖,在？ABC由,E是CD的中點,且Ab=a,AD=b,那么B等于,1答案b2a解析設(shè)F是AB的中點,連接FD那么Bfe=Fb=Xb-靠=Xb-XB=b2a.6 .將4(3a+2b)-2(b-2a

8、)化簡成最簡式為答案16a+6b解析4(3a+2b)2(b-2a)=12a+8b2b+4a=16a+6b.7 .如圖,Am=3ABan=1aC求證：MnBC、一II1->1-11>11>8 證實MNkAXA陣-AO-AE3-(AOAB=-BC3333(四)典型例題1 .命題方向：向量的有關(guān)概念例1給出以下六個命題：假設(shè)兩個向量相等,那么它們的起點相同,終點相同；假設(shè)|a|=|b|,那么a=b；假設(shè)AB=DC那么ABC西平行四邊形；在？ABCDK一定有AB=SC假設(shè)m=n,n=p,那么m=p；假設(shè)a/b,b/c,那么a/c.其中不正確的個數(shù)是()A.2B.3C.4D.5分析正確

9、理解向量的有關(guān)概念是解決此題的關(guān)鍵,注意到特殊情況,否認某個命題只要舉出一個反例即可.解析兩個向量相等,只需大小相等,方向相同,起點不一定相同,向量只要不改變它的大小和方向可自由移動.,不正確.|a|=|b|,但方向不一定相同.AB=DC寸,A、B、DC有可能共線,錯.正確.正確.中當b=0時,a與c不一定平行,錯.不正確.正確.,應選C.答案C點評準確理解向量的有關(guān)概念是解決這類題目的關(guān)鍵,一定要注意向量不僅有大小,而且有方向,這是與數(shù)量的最大不同之處,且莫無視解決與向量概念有關(guān)的問題時,一定要考慮全面,要考慮一些特殊情況,如零向量、共線向量所在直線是平行向量還是重合等,有時還需結(jié)合圖形來分

10、析.跟蹤練習1:判斷以下命題是否正確,不正確的說明理由：(1)向量a與向量b平行,那么向量a與向量b方向相同或相反；(2)向量AB與向量CD1共線向量,那么AB、C、D四點必在一直線上；(3)假設(shè)干個向量首尾相接,形成封閉的圖形(即向量鏈),那么這些向量的和等于0;(4)起點不同,但方向相同且模相等的幾個向量是相等的向量.解析(1)不正確,由于向量a與向量b假設(shè)有一個是零向量,那么其方向不確定.(2)不正確.假設(shè)向量AB歸向量Cte共線向量,那么向量ABw向量C已同一直線上或者所在直線平行,因此abc、D四點不一定共線.(3)正確.(4)正確.點評此題主要考查學生對于零向量有關(guān)性質(zhì)的掌握及相等

11、向量的充要條件.學習0應掌握的幾點：(1)0的相等向量是0;0的相反向量是0;0與任一向量的數(shù)量積為0;(2)0與任一向量平行(共線)；(3)0與任一向量a垂直；(4)0能與任一向量a進行加法、減法、數(shù)乘等運算.2 .命題方向：向量的線性運算1例2在4OA升,延長BA到C,使AC=BA在OB上取點D,>DB=-OBDCh10砍于E,設(shè)OA=a,OB=b,3用a,b表示向量O(及向量DC分析此題關(guān)鍵是尋找OCDcCTa,b的聯(lián)系,因此可由向量線性運算來解決問題.解析.A是BC的中點,-OA=2(ObOc,即Oc=2OA-OB=2a-b,2>-.25DC=OC-OD=OC-OB=2ab

12、b=2a333跟蹤練習2:如圖,HE、F分別為ABC勺三邊BCACAB的中點,求證：.曲CF=0.分析在三角形中其他向量最好向三條邊上的向量靠攏,即用的BCAC來分別表示待求的向量.證實由于Ab=Ac>cdAd=Ab+BD所以2Ab=Ac>Ab+C>Bb即2Ab=AC>Afe同理2於孤配2Cf=CaCb所以2(ANB&CF)=AOAB+BA+BOC/VCB=0.故ANBE+CF=0.3.命題方向：向量共線問題例3非零向量el和e2不共線.(1)如果AB=ei+e2,Bb=2ei+8e2,Cb=3(ei-e2),求證：A、BD三點共線；(2)欲使kei+&

13、和ei+ke2共線,試確定實數(shù)k的值.分析對于(1),要證實A、BD三點共線,只需證存在入,使BD=XAePM;對于(2),假設(shè)kei+e2和ei+ke2共線,那么一定存在入,使kei+e2=入(ei+ke2).解析(i)證實：AB=ei+e2,BD=BGfCD=2ei+8e2+3(eie2)=5(e+&),.Bb=5Ab.-.Ab前洪線.又.有公共點B,A、B、D三點共線.(2)kei+eZ與ei+ke2共線,存在入,使kei+e2=入(ei+ke2).,(k入)ei=(入ki)e2.ei與e2不共線,k入=0入ki=0解得k=±i.點評解答這類題目的關(guān)鍵是應用向量共線的條

14、件,要注意兩向量共線和三點共線的聯(lián)系.在本例中,(i)題中向量共線并不能等同于兩向量一定在同一直線上,還需確定有一個公共點.跟蹤練習3:設(shè)兩非零向量a和b不共線,如果曲=a+b,Cd=3(ab),BC=2a+8b,求證：A、B、D三點共線.分析用向量法證實abd三點共線,可以利用共線向量定理,得到BD=入麗或XD=入XB等),BD/XB說明直線B/口AB平行或共線；由于有公共點B,所以只能共線；從而由向量共線推出三點共線.證實.B>2a+8b,BD=BOC氏2a+8b+3a3b=5(a+b),.Bd>5Ab由向量共線定理得BD/AB又直線AB和BD有公共點B,因此AB、D三點共線.

15、(五)思想方法點撥：1 .正確理解向量的概念(1)向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量,既有大小,又有方向,任意兩個向量不能比擬大小,只可以判斷它們是否相等,但它們的模可以比擬大小.(2)大小與方向是向量的兩個要素,分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征,借助于向量,可以實現(xiàn)某些代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化.(3)向量可以自由平移,任一組平行向量都可以移到同一直線上.2 .對共線(平行)向量的理解共線向量與平行向量是同一個概念,其要求是幾個非零向量的方向相同或相反,當然向量所在的直線可以平行,也可以重合,其中“共線的含義不同于平面幾何中“共線的含義.正確理解共線向量的定義,也就領(lǐng)會了共線向量與相等向量的關(guān)系,即共

16、線向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共線向量.3,平行向量根本定理allb?a=入b(bw0)是判定兩個向量共線的重要依據(jù),其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化,表達了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.在解題時常據(jù)此建立方程或方程組.注意：如果a/b,且bw0,那么一定存在唯一一個實數(shù)入,使a=入%這里要注意b0這一限制條件,如b=0,aw0時,雖然有a/b,但不存在實數(shù)入使a=Xb；當a=b=0時,對任意實數(shù)入,均有a=入b.4,兩個向量的和與差兩個向量的和與差仍是一個向量,可用平行四邊形或三角形法那么進行運算,但要注意向量的起點與終點.(1)向量加法法那么有著豐富的幾何背景,簡記為“首尾相連,始終如

17、一；(2)向量減法是向量加法的逆運算,簡記為“共起點,連終點,指向被減；(3)向量加法的三角形法那么適用于任意兩個非零向量相加,并且可以推廣到兩個以上的非零向量連加,稱之為多邊形法那么.(六)課后強化作業(yè)一、選擇題1 .(2021泰安模擬)在四邊形ABCDKAB=a+2b,BC=4ab,Cd=5a3b,其中a、b不共線,那么四邊形ABCD；()A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形答案C解析Xb=Xb+§C>Cb=8a2b=2(4ab)=2配.Ab/b(c且AD=2|的,ABC時梯形.應選C.一一1一一2 .在ABC中,D是AB邊上一點,假設(shè)Ab=2DBCb=R小入CB那么入等

18、于()3A.2B.1C.gD.-23333答案A解析芥2bB.Cb-CA=2(Cb-CD,12>.CD=qCA'FqCB33->1->2又CD=;CAF入CB-X=-.333. (2021海南、寧夏理)QN,P在ABC所在平面內(nèi),且|OA=|Ob=I而,寸兒NB+NC=0,且PA-PB=而-PC=P>PA那么點O,N,P依次是ABC()A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點,此點為三角形的垂心)答案C解析此題主要考查向量知識和學生分析問題的水平.QN,P在ABC/f在平面內(nèi),且|OA=|Ob=|Oc,0是4

19、ABC7卜接圓的圓心,由NANbNC=0,得N是ABC勺重心；由PA-Pb=Pb-PC=PC-PA導PB-(PA-PC=PB-CA=0,.PBLCA同理可證PC!ABPALBCP為ABC勺垂心.4. (2021全國卷n)AABC,點D在AB上,C葉分/ACB假設(shè)CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,那么CD=()A."a+2bB.2a+；bC.3a+4bD.fa+3b33335555答案BiXb2-解析由角平分線定理得二七=彳,即Ab=2DB|DB即位>CD=2bC>cb,.-.3CD=2盤CX.CD>|a+3b.5. 2021北京理向量a,b不共線,c=ka

20、+bkCR,d=a-b.如果c/d,那么A.k=1且c與d同向B.k=1且c與d反向C.k=1且c與d同向D.k=1且c與d反向答案D解析考查向量相等及向量平行的條件.c"d,c=入d,1-ka+b=Xa-b,k=入,k=1,入=-1.應選D.1 =-入6 .以下命題中真命題是a/b?存在唯一的實數(shù)入,使得a=Xba/b?存在不全為0的實數(shù)入1和入2使入1a+入2b=0a與b不共線？假設(shè)入口+入2b=0,那么入1=入2=0a與b不共線？不存在實數(shù)入1、入2,使得入1a+入2b=0A.或B.或C.或D.或答案B7 .P是ABC所在平面內(nèi)的一點,假設(shè)CB=入P甘由其中入CR,那么點P一定

21、在A.ABC勺內(nèi)部B.AC邊所在直線上C.AB邊所在直線上D.BC邊所在直線上答案B解析此題考查平面向量的共線問題,由Cb=入血函導Cb-PB=入口CP=入鬲那么吊加共線向量,又加PA<一個公共點P,C、p、a三點共線,即點p在直線AC上.應選B.8 .2021營口一模設(shè)E、F分別是ABC勺三邊BCCAAB上的點,且Dfe=A2gbCE=2EAXF=2由貝1超曲曲的/VeA.反向平行B.同向平行二C.互相垂直D,既不平行也不垂直；答案A>>>>>>>>>>1>>2>1>>2>>1>

22、解析ANBE+CF=A母BD+BOC曰BF-BC=AB+"BOBO"AO"AB-BC="AB-AC+-BC|=2直頡三1配應選A.二、填空題9 .化簡：AB-AD-DO;(2)(AB-CD(AC-BD=答案CB0解析運用三角形法那么求和向量時,應“始終相接,始指向終；求差向量時,應“同始連終,指向被減(1) AB-AADODEB-DOCB(2)解法1：(AB-CD(AC-BD)=AB-CD-AOBD-(AB+BD)-(AOCD=AD-AD-0.解法2：(Ab-西(AC-BD=Ab-CaAUM(Ab-Ac)+(Dc-S>e)=Cbbc=0.解法3:設(shè)

23、O為平面內(nèi)任意一點,那么有(AB-CD(AC-BD=AB-CD-AOBD=(Ob-OA(OdOc-(OcOA+(OdOb=Ob-Oa-OdhOc-OoOafOaOb=0.10 .在ABO在的平面內(nèi)有一點P,滿足亞甘PB+PC=AB,那么PBCWABC勺面積之比是.2答案4八3M解析由血PB+PC=昭彳#PAVPB+孤PC=0,即Pb=2AP,所以點P是CA邊上的/；,三等分點,B,一一SapbcPC2如下圖.故-=77=".<SAABCAC311 .假設(shè)曲=3a,CD-5a,且|AD=|的,那么四邊形ABCD勺形斗犬是.答案等腰梯形解析.格3a,CD-5a,AEj=3CD5Ab

24、/CD且|ABw|CD,四邊形ABC時梯形.又.|AD=|的,ABCM等腰梯形.三、解做題12 .向量a=261-362,b=2e1+3&,c=2e9&,其中e,e2為兩個非零不共線向量.問：是否存在這樣的實數(shù)入,也使向量d=入a+b與c共線？分析運用向量共線的條件,確定是否存在實數(shù)k,使是d=kc.解析d=入a+(ib=入(2ei-3.)+(2ei+3e2)=2入+2wei+3w3入e2.要使c/d,那么應存在實數(shù)k,使d=kc,即2入+2xei+33入e2=k2ei9&=2kei9ke2,ei,e2不共線,2入+2尸2七故存在這樣的實數(shù)入,w,滿足入=2w,就能使d

25、與c共線.13 .如下圖,點E、F分別為四邊形ABCD勺對角線ACBD的中點,設(shè)鼠a,D.b,試用a,b表示百二DC解析如下圖,取AB中點P,連接ERFP在ABC43,EP是與BC平行的中位線,PE=2BC=2a.在ABD43,FP是與AD平行的中位線,PF=gAD=_1b.f>>>iii,、在EFP中,EF=EP+PF=P曰PF=2a-±b=qa+b.i4,設(shè)兩個非零向量ei,e2不共線,Ab=2ei+ke2,Cb=ei+3e2,Cb=2eie2.假設(shè)A,B,D三點共線,試求k的值.解析Bb=Cb-CB=2eie2ei+3e2=ei4e2.假設(shè)A,B,D三點共線,

26、那么AB/Bb,從而存在唯一實數(shù)入,使Ab=入BD即2ei+ke2=入ei4e2,整理得2-入ei=k+4入e2,.ei,e2不共線,2-入=0,k+4入=0,解得入=2,k=-8.即k的值為一8時,A,B,D三點共線15.如圖,E是平行四邊形ABCDfeAD上一點,且AE=；虺F為BE與AC的交點.設(shè)AB=a,鼠b,假設(shè)BF=kBfe,AF=hAC求k、h的值.解析AC=Afe+Bb=a+b,Af=hAC=ha+hb,俞=弧酢=a+ha+hb=h1a+hb,又BF=kBfe=k孤AE=ka+：b=-ka+；b,k.,h1a+hb=y,第二節(jié)平面向量的根本定理及其坐標運算一高考目標考綱解讀1

27、.了解平面向量的根本定理及其意義.2 .掌握平面向量的坐標表示.3 .會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4 .理解用坐標表示的平面向量共線的條件.考向預測1 .平面向量的坐標運算及用坐標表示平面向量共線的條件,是高考考查的重點,也是歷年高考的熱點.2 .以選擇題、填空題的形式進行考查,以中低檔題為主.3 .向量的坐標運算及共線條件,常與三角、解析幾何等知識結(jié)合,在知識的交匯點處命題,以解做題形式出現(xiàn),屬中檔題.二課前自主預習知識梳理1 .平面向量根本定理及坐標表不1平面向量根本定理定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)入1,入2,

28、使a1e12e2.其中,不共線的向量el,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組二(2)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐標表不在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有一對實數(shù)x,y,使a=xi+yj,把有序數(shù)對叫做向量a的坐標,記作a=其中叫a在x軸上的坐標,叫a在y軸上的坐標.設(shè)O雇xi+yj,那么就是終點A的坐標,即假設(shè)O雇(x,y),那么A點坐標為,反之亦成立.(O是坐標原點)2 .平面向量的坐標運算(1)加法、減法、數(shù)乘運算.(2)向量坐標的求法A(xi,yi),Rx2

29、,y2),那么AB=(x2-xi,y2-yi),即一個向量的坐標等于其的相應坐標減去的相應坐標.(3)平面向量共線的坐標表示設(shè)a=(x1,yi),b=(x2,y2),其中b*0,那么a與b共線？a=入b?.3 .平面向量的坐標運算(1)點A(x1,y1),B(x2,y2),那么Ab,|Ae|=y/""x2x1""2+y2-y12.(2)a=(x1,y.,b=(x2,1七,那么a+b=,a-b=入a=,a/b的充要條件是.(3)非零向量a的單位向量為±R-a.Ia|(三)根底自測1. (2021湖北理)AABC點M滿足而4加計而做0.假設(shè)存在實數(shù)

30、m使得樞正mAM;立,那么*()A.2B.3C.4D.5答案B解析由MA"M母Mg=0可知,M為ABC勺重心,故AM=-x-(AbAC)=-(超AC,323所以超AC=3AM即m=3.2 .(教材改編題)以下各組向量中,可以作為基底的是()Ae1=(0,0),e2=(2,-3)B.e1=(2,-3),e2=(5,7)3 3C.e=(1,2),e2=(2,4)D.e1=2,2,e2=1,答案B解析根據(jù)基底的定義知,非零且不共線的兩個向量才能可以作為平面內(nèi)的一組基底.A中顯然e1/e2；C中e2=-2e1,所以e1/e2；D中e1=2e2,所以e1/e2.3. (2021廣東汕頭模擬)假

31、設(shè)向量a=(1,1),b=(1,1),c=(4,2),那么c=()A.3a+bB.3abC.a+3bD.a+3b答案B解析設(shè)c=Xa+(ib,那么(4,2)=(入一！i,入+w),入一！1=4,入=3,即解得X+i=2,(1=-1,c=3ab.一.1.4. (2021福建泉州模擬)向量O限(3,2),ONh(5,1),那么2M降于()一.1.1A.(8,1)B.(8,1)C.4,-D.4,2答案D.6.(2021海南模擬)設(shè)向量a=2sina5.1 3.1N.之.1_.1解析2MN：I.*OM=1(5,1)(3,-2)=4,%.5.點A(1,2),假設(shè)點AB的中點坐標為(3,1),且利向量a=

32、(1,入)共線,那么入=-3答案2解析由AB的中點坐標為(3,1)可知B(5,4),-Xb=(4,6),又Ab/a,4入1x6=0,入=|.,b=拿cosa,且a與b共線,那么銳角答案30°1 3.一解析,-a與b共線,2cosasina=0,sin(30°a)=0,銳角a=30°7.向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-2b,且u/v,求x.解析u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)(x,1)=(2x,3).u/v,由向量平行的充要條件得(2x+1)3-4(2x)=0,解得x=2(四)典型例題1.命題方向：平面向量

33、的根本定理例1如下圖,在OA沖,O010AOd=1qBa%BC交于點M設(shè)OAfa,OB=b,以a、b為基底表示OM分析先用平面向量根本定理設(shè)出OlM=m升nb,再利用共線向量的條件列出方程組,確定mn的值.解析設(shè)OlM=m升nb(mnR),貝uXM=OmOa=(m-1)a+nb,Ma1,1,AD=OD-OA=a=a+2b.由于A,MD三點共線,所以工二?=?,即2n=1.-1121 .而CM=OM-OG=(m)a+nb,'4''CB=Ob-Oc=b-4a=-4a+b,1m一,4n一由于C,MB三點共線,所以一1=彳,即4mn=1.42n=1由4mn=11m73n=7一1

34、3,所以O(shè)M7a+b.點評(1)此題利用了兩次共線的條件,并且注意方程思想的利用；(2)解決類似問題應重視平面幾何的知識；(3)用基底表示向量是用向量解決問題的根底,應根據(jù)條件靈活應用,并熟練掌握.一一11跟蹤練習1：如圖,PQ±ABO勺重心GOAa,OB=b,OAmaOQ=nb,試求時、的值.解析.G是ABO勺重心,2 11.OG=30czz3OAOB=3(a+b),Gp=Op-Ogma-；(a+b)=m-1a-力士八士八,1,、GQ=OQ-OG=nb京a+b)3又GP/GQmn3319r,=Ta+n-"111一t(nm-n)=mn即一+=3.3mn2.命題方向：平面向量

35、的坐標運算一.-11-例2點A：-1,2),B(2,8)以及AC=5ABDA=一尹人求點C、D的坐標和C面坐標.33分析根據(jù)題意可設(shè)出點CD的坐標,然后利用的兩個關(guān)系式列方程組,求出坐標.解析設(shè)點CD的坐標分別為(X1,y),(X2,y2),由題意得AC=(xd1,y2),Ab=(3,6),DA=(-1-X2,2-y2),BA=(-3,-6).e、r-1->>1>由于AOABD冷一BA33X1+1=1,-1-X2=1,所以有和解得y1-2=22-y2=2,X1=0,X2=-2,和y1=4y2=0,所以點CD的坐標分別是(0,4),(-2,0),跟蹤練習2:A：-2,4),R3

36、,1),C(3,4),且C朱3.CN=2CB求MN及新的坐標.解析.A(-2,4),B(3,1),C(-3,4),CA=(1,8),CB=(6,3),.CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).設(shè)M(x,y),那么CM=(x+3,y+4)=(3,24),x+3=3,x=0,y+4=24.y=20.M0,20).同理可求N(9,2),因此Mn=(9,18).M0,20),N(9,2),MN=(9,18).3.命題方向：平面向量共線的坐標表示例3平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(1,2),c=(4,1).(1)假設(shè)(a+kc)/(2b-a),求實數(shù)k；(2)設(shè)d=(x,y),滿

37、足(dc)/(a+b),且|dc|=1,求d.分析(1)由兩向量平行的條件得出關(guān)于k的方程,從而求出實數(shù)k的值.(2)由兩向量平行及|dc|=1得出關(guān)于x,y的兩個方程,解方程組即可得出x,y的值,從而求出d.解析(1).(a+kc)/(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),_,162x(3+4k)(5)x(2+k)=0,k=-.(2) ,.d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(dc)/(a+b)且|d-c|=1,4(x4)2(y1)=0,(x-4)2+(y1)2=1,x=4+號,解得y=1+125a*",.d=4+書,1+255或4殺1

38、-a5點評1.解決向量平行有關(guān)的問題,一般考慮運用向量平行的充要條件.2.向量共線的坐標表示提供了通過代數(shù)運算來解決向量共線的方法,也為點共線、線平行問題的處理提供了容易操作的方法.提醒：利用共線向量證實三點共線,有坐標時,只需使三點構(gòu)成的兩個向量的坐標對應成比例或利用共線向量定理.跟蹤練習3：(2021廣東理)假設(shè)平面向量a,b滿足|a+b|=1,a+b平行于x軸,b=(2,1),那么a=答案(3,1)或(一1,1)解析考查平面向量的線性運算、共線、模及數(shù)量積的坐標表示等.設(shè)a=(x,y),那么a+b=(x+2,y-1),.|a+b|=1,(x+2)2+(y1)2=1又a+b平行于x軸,a+

39、b與e1=(1,0)或e2=(1,0)共線,y1=0,y=1.代入中得x=3或一1,a=(3,1)或(一1,1).(五)思想方法點撥1 .平面向量根本定理(1)平面向量根本定理的作用平面向量根本定理是建立向量坐標的根底,它保證了以原點為始點的向量與坐標是一一對應的,在應用時,構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量.(2)用向量證實幾何問題的一般思路先選擇一組基底,并運用平面向量根本定理將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運算來證實.特別提醒：(1)零向量不能作為基底.(2)兩個非零向量共線時不能作為平面的一組基底.2 .對向量a=(x,y)的理解a=xe1+ye2(e1,e2分別是x軸、y軸正方

40、向上的單位向量)；(2)假設(shè)向量a的始點是原點,那么(x,y)就是其終點的坐標.3.平面向量共線的坐標表示(1)需注意的幾點xiyi右a=(xi,yi),b=(X2,y2),那么a/b的充要條件不能表不成一=一,由于X2,y2有可能等于0,所以應表不X2y2為xiy2X2yi=0.同時,假設(shè)a=(xi,yi),b=(xi,y2),那么a/b的充要條件也不能錯記為：xiX2yiy2=0,xiyix2y2=0等.假設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,y2),那么a/b(bw.)的充要條件是a=入b,這與xiy2-x2yi=0在本質(zhì)上是沒有差異的,只是形式上不同.(2)三點共線的判斷方法判斷三點是否共

41、線,先求每兩點對應的向量,然后再按兩向量共線進行判定,即A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,y3),那么AB=(X2xi,y2-yi),AC=(X3-Xi,y3yi),假設(shè)(X2xi)(y3yi)(X3xi)(y2yi)=0,那么A、RC三點共線.(六)課后強化作業(yè)一、選擇題1. (2021重慶文)向量a=(i,i),b=(2,x),假設(shè)a+b與4b2a平行,那么實數(shù)x的值是()A.-2B.0C.iD.2答案D解析考查向量的坐標運算及兩向量互相平行的充要條件.a+b=(3,i+x),4b2a=(6,4x2),由題意可得3X(4x-2)-6(i+x)=0,x=2.2. 如下圖,平面內(nèi)的

42、兩條相交直線OP和OP將該平面分割成四個局部I、n、出、IV(不包括邊界).假設(shè)如aOF?+bOP,且點P落在第m局部,那么實數(shù)a、b滿足()A.a>0,b>0B,a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0答案B解析由于點P落在第m局部,且Op=aOf?+bOP,那么根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法那么知a>0,b<0.3. ABC勺三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c.設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,ca).假設(shè)p/q,那么角C的大小為()D.答案B解析.p/Zq,(a+c)(c-a)=b(b-a),即a

43、b=a2+b2c2,cosC=a2+b2-c22ab7t又CC(0,兀),C=f,應選B.34. c,d是不共線向量,那么以下選項中不共線的一組是()A.a=2(c+d),b=2(c+d)B.a=cd,b=2c+2dC.a=4c-1d,b=c-LD.a=c+d,b=2c-2d510答案D解析.A選項中a=-b,a與b共線；B選項中b=2a,a與b共線；C選項中a=4b,a與b共線.15.A7,1),B(1,4),直線y=,ax與線段AB交于C,且AC=2CB那么實數(shù)a等于()4 5A.2B.1C.D-5 3答案A解析設(shè)qx,y),那么AC=(x-7,y-1),Cb=(1-x,4-y),.AC=

44、2CBx7=21-x,x=3,解得y1=24-y,y=3,C(3,3).1 ,一1一又C在直線y=ax上,3=ax3,a=2.6. 在平面直角坐標系中,O為坐標原點,設(shè)向量OAa,OB=b,其中a=(3,1),b=(1,3).假設(shè)Oc=入a+b,且0w入ww1,C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的選項是()ABCD答案A解析令入=0,科=1時,Og=Ob當入=W=0時,Oo=0,C(0,0).所以由圖可知,只有A正確.7. (2021濟南模擬)在四邊形ABCDKXB=(1,2),BC=(4,-1),CD=(5,3),那么四邊形ABCO()A.長方形B.梯形C.平行四邊形D.以上都不對答案B解

45、析AD=Ab+BC>CD=(1,2)+(4,1)+(5,3)=(8,2)=2(4,1)=2配.AD/BC又AB=(1,2),CD=(5,3),.2X(5)1X(3)=7W0,.A的CK共線,故四邊形ABC時梯形.8. 2021汕頭模擬兩個向量a=t,、僅,b=x+1,其中t,u都是正實數(shù),且a=2b,那么1的取值范圍是()A.1,6B,6,1C.4,+°°)D.(00,1答案C解析此題考查平面向量的坐標運算及均值不等式的應用.由a=2b得：t=2x+2,Nx=u,故；=2xj"2=2以十笈>2X21,><于=4,當且僅當x=1時取得等號.二、填空題9. (2021陜西理)向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(1,2),假設(shè)(a+b)/c,那么f答案1解析a+b=(2,-1)+(-1,m)=(1,m-1),c=(-1,2),1m-1(a+b)/c,121.m=1.10.假設(shè)三點A(-2,2),R0,n),C(n,0)(m廿0)共線,那么>'的值為-1答案2解析解法1:設(shè)BC