應力張量的認識二

1、應力張量的認識（二）本文主要是對材料成形相關(guān)專業(yè)學習過程中對一些問題的思考，也許并不深刻，但卻是自己從初學時的迷惑到后來逐漸認識的過程。相關(guān)還有：Levy-Mises理論的思考應力張量的基礎(chǔ)知識參見應力張量的認識（一）這一部分主要是對應力張量本質(zhì)的理解。相似矩陣通過基礎(chǔ)知識我們已經(jīng)認識到，應力張量代表點的應力狀態(tài)，它不依賴于坐標系的選取，并且對應著同一主應力狀態(tài)。用矩陣的觀點理解為：同一點的應力張量矩陣是相似矩陣，并且可以對角化。然而問題是為什么會這樣？我們可以這么理解，同一點不同截面下的應力張量描述的都是相同的應力狀態(tài)，因此他們有著內(nèi)在的聯(lián)系（例如滿足靜力平衡方程）。由切應力互等定律可知應力

2、張量矩陣是實對稱矩陣，由矩陣論可知實對稱矩陣必定可以對角化，即不同截面應力張量對相似于一個主應力張量；而同一點的主應力狀態(tài)是確定的。于是由相似矩陣的傳遞性可知，不同截面下的應力張量矩陣是相似的。線性變換從應力張量是相似矩陣再進一步一一相似矩陣的本質(zhì)是同一線性變換在不同基下表示的矩陣，我們就可以從更根本的角度看待應力張量了：應力張量代表一個線性變換！那么對于任意法向為n=（n1,n2,n3）截面，可以得到面上作用的應力分量Pt=%勺將上式改寫成矩陣表達式其中，巧2%、A=%】b”,H=打/二7y=pj=P11%b翌；根據(jù)線性變換與矩陣的一一對應的關(guān)系，可知應力張量代表一個線性變換（確切的說是線性

3、映射）應力張量將截面位置映射到截面應力數(shù)學表述為：IIU是截面方向余弦組成的線性空間，V是截面應力作成的線性空間。舉例說明下面說明這個線性映射是如何與力學描述相一致的。前面多次提到，用三個互相垂直的截面截取P點，并以其法向建立笛卡爾坐標系。這樣的截面有無數(shù)多對，這樣的坐標系也有無數(shù)多個。為了區(qū)分他們，可以先確定一個全局坐標系S:Oxyz,這樣就可以描述其他任意的坐標系S':O'x'y了z'也就是局部坐標系。如何確定呢？采用局部坐標系的坐標軸方向在全局坐標系下的方向余弦列向量來描述。例如，局部系x軸方向在全局坐標系下的方向余弦向量為這就是局部系在全局坐標系空間下的

4、基。在局部坐標系內(nèi)，任意截面同樣用方向余弦列向量來描述，例如=（外;巧二（CDS（方,工）,COS（用這就是任意截面在局部坐標系下的坐標。對于截面上的應力分布，也是一樣的情況。他的坐標系方向是一致的，坐標的描述也是類似的，只是屬于不同的空間而已。這樣力學描述和數(shù)學描述是相互統(tǒng)一的：力學描述用任意相互垂直的三個平面截取P點，以截面法向為正方向建立笛卡爾坐標系，得到三個截面上的應力分布的組合一一應力張量。以此為基礎(chǔ)，可以求得這個坐標系下任意其他截面上的應力分布。數(shù)學描述任意給定一組基后，可以用坐標描述截面位置（方向余弦列向量）及截面應力（應力分量列向量）。在這組基下，存在一個線性變換，將截面位置映射到截面應力。上面兩段話中，相同的顏色顯