總結(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷及答案.doc

1、模擬試題一填空題(每空3分,共45分)1、P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85,貝UP(A|B)=_P(AUB)=2、設(shè)事件A與B獨(dú)立,A與B都不發(fā)生的概率為1,A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A9不發(fā)生的概率相等,那么A發(fā)生的概率為：;3、一間宿舍內(nèi)住有6個(gè)同學(xué),求他們之中恰好有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率：;沒有任何人的生日在同一個(gè)月份的概率;Aex,x04、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：(x)1/4,0x2,那么常數(shù)A=,分布函0,x2數(shù)F(x)=,概率P0.5X1;5、設(shè)隨機(jī)變量XB(2,p)、YB(1,p),假設(shè)PX15/9,那么p=,假設(shè)X與Y獨(dú)立,那么Z=m

2、ax(X,Y)的分布律：;6、設(shè)XB(200,0.01),YP(4),且X與Y相互獨(dú)立,那么D(2X-3Y)=,COV(2X-3Y,X)=;7、設(shè)Xi,X2,L,X5是總體XN(0,1)的簡單隨機(jī)樣本,那么當(dāng)k時(shí),k(X1X2)X3X：X；t(3)；8、設(shè)總體XU(0,)1n0為未知參數(shù),Xi,X2,L,Xn為其樣本,X-Xi為樣本均值,ni1那么的矩估計(jì)量為：9、設(shè)樣本Xi,X2,L,X9來自正態(tài)總體N(a,1.44),計(jì)算得樣本觀察值x10,求參數(shù)a的置信度為95%勺置信區(qū)間：計(jì)算題(35分)1、(12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：1x,0x2(x)20,其它求：1)P|2X1|2；

3、2)YX2的密度函數(shù)丫)；3)E(2X1)；2、12分設(shè)隨機(jī)變量X,Y的密度函數(shù)為(x,y)1/4,|y|x,0x2,0,其他1求邊緣密度函數(shù)xx,Yy;2問X與Y是否獨(dú)立？是否相關(guān)？3計(jì)算Z=X+Y的密度函數(shù)Zz;3、11分設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為:(x)X1,X2,Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本.1） 求參數(shù)的極大似然估計(jì)量？；2） 驗(yàn)證估計(jì)量？是否是參數(shù)的無偏估計(jì)量應(yīng)用題20分1、10分設(shè)某人從外地趕來參加緊急會(huì)議,他乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)來的概率分別是3/10,1/5,1/10和2/5.如果他乘飛機(jī)來,不會(huì)遲到；而乘火車、輪船或汽車來,遲到的概率分別是1/4,1/3,1/2.現(xiàn)此人遲

4、到,試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？2.10分環(huán)境保護(hù)條例,在排放的工業(yè)廢水中,某有害物質(zhì)不得超過0.5%,假定有害物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布.現(xiàn)在取5份水樣,測定該有害物質(zhì)含量,得如下數(shù)據(jù)：0.530%.,0.542%,0.510%,0.495%,0.515%能否據(jù)此抽樣結(jié)果說明有害物質(zhì)含量超過了規(guī)定0.05?附表：模擬試題二、填空題45分,每空3分1 .設(shè)P(A)0.5,P(B|A)0,6,P(AB)0.1,貝(JP(B)P(AB)37一2 .設(shè)A,B,C二事件相互獨(dú)立,且P(A)P(B)P(C),假設(shè)P(ABC)二,那么64P(A).3 .設(shè)一批產(chǎn)品有12件,其中2件次品,10件正品,

5、現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取3件,假設(shè)用X表示取出的3件產(chǎn)品中的次品件數(shù),那么X的分布律為.4 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)ABarctan(x),xR那么(A,B),X的密度函數(shù)(x).15 .設(shè)隨機(jī)變量XU2,2、那么隨機(jī)變量Y1X1的密度函數(shù)V(v)26 .設(shè)X,Y的分布律分別為X-101Y01P1/41/21/4P1/21/2且PXY00,那么(X,Y)的聯(lián)合分布律為.和PXY17 .設(shè)(X,Y)N(0,25;0,36;0.4),那么cov(X,Y),D(3X1Y1).28 .設(shè)(X1,X2,X3,X4)是總體N(0,4)的樣本,那么當(dāng)a,b時(shí),統(tǒng)計(jì)量Xa(X12X2)2b(3X34

6、X4)2服從自由度為2的2分布.n_9 .設(shè)(X1,X2,K,Xn)是總體N(a,2)的樣本,那么當(dāng)常數(shù)k時(shí),?2k(XiX)2是參i1數(shù)2的無偏估計(jì)量.10 .設(shè)由來自總體XN(a,0.92)容量為9的樣本,得樣本均值X=5,那么參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間為.二、計(jì)算題(27分)1.(15分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為1,、-(xV),0x2,0v2(x,v)80,其它(1)求X與Y的邊緣密度函數(shù)x(x),Y(y);(2)判斷X與Y是否獨(dú)立？為什么？(3)求ZXY的密度函數(shù)Z(z)02.(12分)設(shè)總體X的密度函數(shù)為(x)e(x)0,其中0是未知參數(shù),(Xi,X2,K,

7、Xn)為總體X的樣本,求(1)參數(shù)的矩估計(jì)量1;(2)的極大似然估計(jì)量第三、應(yīng)用題與證實(shí)題(28分)1.(12分)甲,乙兩箱中有同種產(chǎn)品,其中甲箱中有3件正品和3件次品,乙箱中僅有3件正品,從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,(1)求從乙箱中任取一件產(chǎn)品為次品的概率；(2)從乙箱中取出的一件產(chǎn)品為次品,求從甲箱中取出放入乙箱的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率.2.(8分)設(shè)某一次測試考生的成績服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)抽取了36位考生的成績,算得平均成績x66.5分,標(biāo)準(zhǔn)差%15分,問在顯著性水平0.05下,是否可以認(rèn)為這次測試全體考生的平均成績?yōu)?0分,并給出檢驗(yàn)過程.3.(8分)設(shè)0P(A)1,證實(shí)：

8、A與B相互獨(dú)立P(B|A)P(B|A).附表：U0.951.65,U0.9751.96,t0.95(35)1.6896,t0.95(36)1.6883,t0.975(35)2.0301,t0.975(36)2.0281,模擬試題三一、填空題(每題3分,共42分)1.設(shè)P(A)0.3,P(AB)0.8,假設(shè)A與B互斥,那么P(B);A與B獨(dú)立,貝P(B);假設(shè)AB,貝UP(AB)2.在電路中電壓超過額定值的概率為P1,在電壓超過額定值的情況下,儀器燒壞的概率為P2,那么由于電壓超過額定值使儀器燒壞的概率為、一4x3.0x1一.設(shè)隨機(jī)變量X的密度為(x),#,那么使PXaPXa成立的常數(shù)0,其它a

9、;P0.5X1.54 .如果(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX11/61/91/1821/31/3那么,應(yīng)滿足的條件是01,01,E(X3Y1)5 .設(shè)XB(n,p),且EX2.4,DX1.44,貝Un,p6SxN(a,2),那么Y三服從的分布為7.測量鋁的比重16次,得x2.705,s0.029,設(shè)測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(a,2),參數(shù)a,2未知,那么鋁的比重a的置信度為95%勺置信區(qū)間為、(12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度為:(x)cex,x00,x0(1)求常數(shù)c;(2)求分布函數(shù)F(x);(3)求Y2X1的密度丫(丫)、(15分)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為(x,y)c,0x1

10、,0yx0,其它(1)求常數(shù)c;(2)求X與Y的邊緣密度x(x),Y(y);(3)問X與Y是否獨(dú)立？為什么？(4)求ZXY的密度z(z);四、(11分)設(shè)總體X的密度為(x)(5)求D(2X3Y)0(1)x,0x10,其它其中1是未知參數(shù),(Xi,K,Xn)是來自總體X的一個(gè)樣本,求(1)參數(shù)的矩估計(jì)量？；(2)參數(shù)的極大似然估計(jì)量為；五、(10分)某工廠的車床、鉆床、磨床和刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1,它們在一定時(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1,當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí),求這臺(tái)機(jī)床是車床的概率.六、(10分)測定某種溶液中的水份,設(shè)水份含量的總體服從正態(tài)分布N(a,2),得到的10個(gè)

11、測定值給出X0.452,%0,037,試問可否認(rèn)為水份含量的方差20.04?(0.05)附表：2 ,一、一一2,_、_22_0.05(10)3.94,0.025(10)3.247,0.05(9)3.325,0.05(9)2.7,3 .975(10)20,483,0,975(9)19.023,晨(10)18,307,鼠16,919,模擬試題四一、填空題(每題3分,共42分)1、 設(shè)A、B為隨機(jī)事件,P(B)0,8,P(BA)0,2,那么A與B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為;當(dāng)A與B獨(dú)立時(shí),那么P(B(AB)2、 據(jù)以往資料說明,一個(gè)三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P孩子得病=0.6,P母親得病

12、|孩子得病=0.5,P父親得病母親及孩子得病=0.4,那么一個(gè)三口之家患這種傳染病的概率為.3k3、 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：P(Xk)a(k0,1,2,.),那么k!a=P(X1).0,x34、假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)ABarcsin-,3x331,x3那么常數(shù)A,B,密度函數(shù)(x)x22x15、連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)-e8x,那么8'E(4X1),EX2.PX12.6、設(shè)XU1,3,YP(2),且X與Y獨(dú)立,那么D(XY3)=.7、設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,同服從參數(shù)為分布(0)的指數(shù)分布,令U,VU2XY,V2XY的相關(guān)系數(shù).那么COV(U,V

13、)(注：(1)0.8143,(0.5)0.6915)、計(jì)算題(34分)1、(18分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為(x,y)xy,0,0x1,0y1其他(1)求邊緣密度函數(shù)x(x),Y(y)；(2)判斷X與Y的獨(dú)立性；(3)計(jì)算cov(X,Y);(3)求Zmax(X,Y)的密度函數(shù)Z(z)2、16分設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且同分布于B1,p0p1.令Z1,假設(shè)XY為偶數(shù)0,假設(shè)XY為奇數(shù)1求Z的分布律；2求X,Z的聯(lián)合分布律;3問p取何值時(shí)X與Z獨(dú)立？為什么?三、應(yīng)用題24分1、12分假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.2.假設(shè)一周5個(gè)工作日內(nèi)無故障那么可獲10萬元；假設(shè)僅有1天

14、故障那么仍可獲利5萬元；假設(shè)僅有兩天發(fā)生故障可獲利0萬元；假設(shè)有3天或3天以上出現(xiàn)故障將虧損2萬元.求一周內(nèi)的期望利潤.2、12分將A、B、C三個(gè)字母之一輸入信道,輸出為原字母的概率為0.8,而輸出為其它一字母的概率都為0.1.今將字母AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道,輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為0.5,0.4,0.1.輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少？設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的.答案(模擬試題一)四、填空題(每空3分,共45分)1、0.8286、0.988;2、 2/3;3c'c；112C626!.3、 彳-6_612121xce,x0

15、21x一一一一一4、 1/2,F(x)=-,0x2,P0.5X1241,x210.5e25、p=1/3、Z=max(X,Y)的分布律：Z012P8/2716/273/276、D(2X-3Y)=_43.92一COV(2X-3Y,X)=3.967、當(dāng)kk(XiX2)X；X：X；t(3)；8、的矩估計(jì)量為：2X09、9.216,10.784計(jì)算題(35分)1、解1)P|2X1|2P、90.5X1.5162)3)2、解:2)Y(y)E(2X1)Dx(x)Y(y)顯然,又由于z(Z)12-y(0,x(y)J),140,2EX其它(x,y)dyx0,1dy,40x2其它x,20,其它(x,y)dx|y|0

16、,|y|其它4(20,|y|),其它|y|2(x,y)x(x)丫(y)EY=QEXY=0所以,(x,zx)dx所以X與Y不獨(dú)立COV(X,Y)=0,因此X與Y不相關(guān).21.zdx,240,其它120,其它3、解1)L(Xi,X2,L,xn,xilnL(Xi,X2,L,xn,)nlnnx令dlnLVdnnx-2解出：？X2QE?EXEX?是的無偏估計(jì)量.六、應(yīng)用題20分1解：設(shè)事件A1,A2,A3,A4分別表示交通工具“火車、輪船、汽車和飛機(jī)3/10,1/5,1/10和2/5,事件B表示“遲到,其概率分別等于概率PB|A,i1,2,3,4分別等于1/4,1/3,1/2,04那么PB)P(A)P(

17、B|A)i123120P(A1)P(B1A1)2,P(A2|B)P(B)23P(A)P(B|A2)_8P(B)23P(A3|B)P(A)P(B國P(B)2bP(AJB)P(A4)P(B|A4)0P(B)由概率判斷他乘火車的可能性最大02. 解：Ho:a0.5(%o),Hi:a0.5拒絕域?yàn)椋?#176;匚竺新t°95(4)s計(jì)算x0.5184,s0.018x0.5一t<52.2857t095(4),s所以,拒絕Ho,說明有害物質(zhì)含量超過了規(guī)定.附表：答案(模擬試題二)一、填空題(45分,每空3分)11.P(B)0.4,P(AB)0.42.P(A)143. X012P6/119/

18、221/22,1114. (A,B)(-,),(x)2；,xR2(1x)5.1Y(y)2,0,y0,2y0,26.PXY1)7.cov(X,Y)12,D(3X1Y1)19828.9.1,20110.(4.412,5.588)、計(jì)算題(27分)1.(1)x(x)4(x0,1),x0,20,2(2)不獨(dú)立(3)z(z)128z,1z(480,z),其它Y(y)1-(y1),40,y0,20,22.(1)計(jì)算EX(xxe)dx根據(jù)矩估計(jì)思想,EX(2)似然函數(shù)L(x1K,xn,)ne(Xi),xi10,其它nxn)e0,xi其它顯然,用取對數(shù)、求導(dǎo)、解方程的步驟無法得到的極大似然估計(jì).用分析的方法.

19、由于x(i),所以eex,即L(xi,K,xn,)L(x1,K,xn,x(i)所以,當(dāng)？XminXi,K,Xn時(shí),使得似然函數(shù)達(dá)最大.極大似然估計(jì)為？、1.解：1設(shè)A表示“第一次從甲箱中任取3件,其中恰有i件次品,i=0,1,2,3設(shè)B表示“第二次從乙箱任取一件為次品的事件;nP(B)i1C3P(A)P(B|A)-3-0C6c2c3C；c3c6C3c32"CTc2C33c6c；c31c64(2)P(A2|B)P(A2B)0.6P(B)2.解：H0:a70(%o),H1:a70拒絕域?yàn)椋?|二0|而t°975(35)%根據(jù)條件x66.5,%15,計(jì)算并比擬x70-V361.4

20、t0.975(35)2.0301所以,接受H.,可以認(rèn)為平均成績?yōu)?0分3.(8分)證實(shí)：由于P(B|A)P(B|A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)1P(A)P(B)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(A)A與B相互獨(dú)立答案模擬試題三-、填空題每題3分,共42分1.0.5:2/7:0.5.2._p1p2_；15/16;1,、LP(0.5X1.5424._01,01,1/3,2/91/9,17/3、解：(1)x(2)F(x)(t)dt0,x0dta35.n6,p0.4.6.N(,).247.(2.6895,2.7205)(3)Y的分布函數(shù)FY(y)P2X1yPX±2

21、y22(5)EX2xdx-,y1003e(x)dx1cedxc10dx,y11e,EX2132xdx00,y10,Y(y)1-e2y12,y10,y1三、解：(1)1(x,y)dxdy1xc00cdydx2,c2(2)X(x)(x,y)dyx2dy00,2x,0x1其它Y(y)(x,y)dx12dyy0,2(1y),0y1其它(3)X與Y不獨(dú)立;z2dyz/2乙0z1(4)Xy(z)1(x,zx)dxz/22dy2z,1z20,其它EY102y(1y)dyEY22y2(1y)dxiDX22(3)xDY1812(3)18EXYo2xydydxcov(X,Y)1211EXYEXEY43336D(2

22、X3Y)4DX9DY2cov(2X,3Y)718四、解：(1)EX10x(1)xdx令EX解得2X1nL()(xi,)(i1n1)n(xi),0xi1,i1,2,.,ni1lnL()nln(1)nlnxii1lnL()lnxi1解得lnXii1五、解：設(shè)A=某機(jī)床為車床,P(A)旦；151A2=某機(jī)床為鉆床,P(A2)-；52A3=某機(jī)床為磨床,P(4)一;151A4=某機(jī)床為刨床,P(A4)一；15317,P(B|A)-12B=需要修理,P(B|A)-,P(B|A0-,P(B|A3)221054那么P(B)P(A)P(B|A)i1P(A|B)P(AJP(B|A)_9_P(B)22六、解：H0:20.04,H1:20.04拒絕域?yàn)椋?n4)%2/2(n1)或絲吧12/2(n1)00計(jì)算得呼0(91)0.03720.040.2738,查表得2.