復(fù)數(shù)完全解讀

1、復(fù)數(shù)完全解讀地址：贛榆縣清華園雙語(yǔ)學(xué)校姓名：尚修剛郵編 222100電話： 一、考點(diǎn)闡述要 求內(nèi) 容復(fù)數(shù)的概念復(fù) 數(shù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的幾何意義二、要點(diǎn)回顧1. 復(fù)數(shù)的概念及其表示形式：（ 1）復(fù)數(shù)的分類實(shí)數(shù) (b 0)復(fù)數(shù) a+bi(a、 b R)純虛數(shù) (a0,b0)虛數(shù)(b0)0, b0)非純虛數(shù) (a（2）復(fù)數(shù)的幾何形式：復(fù)數(shù)集與平面上的點(diǎn)集之間能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故可用平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，一般地，可用點(diǎn)Z（a,b）表示復(fù)數(shù) a + bi，（ a,bR），或用向量OZ 表示復(fù)數(shù) abi .（3）復(fù)數(shù)相等： abicdiac且bd.這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)進(jìn)行虛實(shí)轉(zhuǎn)化的工具：（ 4）共軛復(fù)數(shù)

2、： zabi與 zabi（a,bR）互為共軛復(fù)數(shù)。在復(fù)平面上，互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱：另外 z|z|（5）復(fù)數(shù)的模：設(shè) zabi (a,bR) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 Z（a,b），則把向量 OZ 的模（即線段OZ的長(zhǎng)度）叫做復(fù)數(shù)z的模。|z|a2b2 (0)（ 6）共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：z1z2 z1 z2 ； z1z2 z1 z2 ； z1 z2z1z2；（ z1）z1z2z2zn( z) n ；z z |z|2|z|2（ 7）復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算性質(zhì)：|z1 | |z2 | |z1z2 | |z1 | |z2 |（當(dāng)與 z1 ， z2 對(duì)應(yīng)的向量OZ 1 ， OZ2 同向時(shí)，右邊的等號(hào)成

3、立：當(dāng)OZ1 ， OZ2 反向時(shí)，左邊的等號(hào)成立）|z1 |z2 |z1z2 | |z1| |z2 |（取等號(hào)的情形與以上相反）（ 8）關(guān)于復(fù)數(shù) i與13i.22i4n 1i，4 n 2i2，4 n 3i3i，4n 4i41i1 ii2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算：（ 1）四則運(yùn)算法則（可類比多項(xiàng)式的運(yùn)算）加法： (abi )(cdi )( ac)(bd )i a,b,c, d R減法： (abi)(cdi )( ac)(bd )i乘法： (abi )(cdi)(acbd)(bcad)i除法： ( a bi ) (c di )abi(abi )(cdi ) ( 轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算 )cdi(cdi )( cdi

4、)簡(jiǎn)記為“分母實(shí)數(shù)化” 。(a bi)( a bi ) a222i， ( i )2i .特例：b ； ( i )1212（ 2）開平方運(yùn)算 :a + bi的平方根 x + yi （a,b,x,yR）可由 ( x yi ) 2a bi利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為解實(shí)方程組。（ 3）復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義：復(fù)數(shù)的加法即向量的加法，滿足平行四邊形法則。復(fù)數(shù)減法即向量的減法，滿足三角形法則。z -z對(duì)應(yīng)的向量，是以z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為起點(diǎn)，指向z 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的向量，|z -z |表示復(fù)平面內(nèi)與z ， z21221121對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離，如：|z-i|表示 z 與 i 的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離；三、思想方法總結(jié)：1、化

5、歸思想與方程思想由復(fù)數(shù)的定義zabi (a, bR) 可知復(fù)數(shù) z 由實(shí)數(shù) a,b 所確定， 因此，研究復(fù)數(shù) z 的相關(guān)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)實(shí)數(shù) a,b 的研究，這就是所謂的“化虛為實(shí)” ，它是一個(gè)典型的化歸思想。特別地，我們要求復(fù)數(shù) z，就需要求出 a,b,這時(shí)常常用到解方程或解方程組，這就是方程思想。2、整體思想整體思想就是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理。在解決復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們可以復(fù)數(shù)z 看成一個(gè)整體，或者把關(guān)于復(fù)數(shù)z 的式子當(dāng)作一個(gè)整體，往往會(huì)使解題過(guò)程變得十分

6、簡(jiǎn)捷。三、數(shù)形結(jié)合思想任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi 都與復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)Z(a,b) 對(duì)應(yīng)，而任一點(diǎn)Z(a,b) 又可以與以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的向量OZ 對(duì)應(yīng)，這些對(duì)應(yīng)都是一一對(duì)應(yīng)。這為數(shù)與形的轉(zhuǎn)化又提供一個(gè)途徑。復(fù)數(shù)的加減法可以用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行，這使復(fù)數(shù)與向量密切結(jié)合起來(lái)。這些都為解決復(fù)數(shù)問(wèn)題或利用復(fù)數(shù)解決其他問(wèn)題提供了方便。四、題型歸納1、復(fù)數(shù)的基本概念例 1、（ 2011 年安徽理）設(shè) i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1ai 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=2i解：設(shè)ai =bi (bR) ，則 1+aibi (2i)b2bi ，所以 b1,a2i例 2、（江蘇）設(shè)復(fù)數(shù)i 滿足 i (z 1)32i

7、（ i 是虛數(shù)單位），則 z 的實(shí)部是 _解析：由 i ( z 1)3 2i 得到 z32i123i 1 1 3i所以實(shí)部為 1.i點(diǎn)評(píng)：此類復(fù)數(shù)問(wèn)題通常以乘法（或除法）為依托，考查復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等的意義、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，屬容易題。2、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等例 3、（ 2011 年江西文）若( xi )iy2i , x, yR ，則復(fù)數(shù) xyi =。解：xi iy 2i, xi i 2y 2iy1, x2xyi2i點(diǎn)評(píng)：用好兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決這類問(wèn)題的根本手段，在有的問(wèn)題的求解過(guò)程中，還需要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行必要的變形，才能正確運(yùn)用這個(gè)充要條件。3、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1i20

8、11例 4、（ 2011年湖北理） i 為虛數(shù)單位，則1i解：因?yàn)?1i1i 2i ，所以 1i2011i 2011i 45023i 3i ，1i1i 21i例 5、（ 2011 年上海）已知復(fù)數(shù) z1 滿足 ( z12)(1i )1 i（ i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù) z2 的虛部為2，且 zz 是實(shí)數(shù)，求 z 122解： ( z1 2)(1 i) 1 iz12 i設(shè) z2a2i , aR ，則 z1 z2(2i )(a2i )(2 a2)(4a)i z1z2R ，z24 2i點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則與多項(xiàng)式的運(yùn)算法則類似。復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，重在復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相除關(guān)鍵在于分母實(shí)數(shù)化，分母實(shí)

9、數(shù)化時(shí)分子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，吧分母變?yōu)閷?shí)數(shù)，將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算。四、復(fù)數(shù)的幾何意義例 6、（ 2001 年山東理）復(fù)數(shù) z2 - i(i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面 內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為2 i解析：因?yàn)?i(2i )23 4izi5,故復(fù)數(shù) z 對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限。25例 7、已知： z22i1, 求 z 的最值。解： z(2 2i )1的幾何意義：在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是以O(shè)( 2,2) 為圓心， r1的圓。z 的幾何意義是O 上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，則由，OO22222 2,z max 2 21, z min 2 2 1.點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)問(wèn)題幾何化是我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)、解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的一個(gè)重要過(guò)程，

10、這樣更好地把所學(xué)的知識(shí)和方法得以運(yùn)用。復(fù)數(shù)的內(nèi)容并不多，但通過(guò)對(duì)著一部分的梳理，讓我們明確學(xué)習(xí)過(guò)程中必須掌握的知識(shí)和方法，充分掌握復(fù)數(shù)的基本概念，熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，突出復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化、幾何化，從而培養(yǎng)我們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、準(zhǔn)確性、靈活性。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠(chéng)危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠(chéng)宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法

11、也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無(wú)大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰 “能”，是以眾議舉寵為督：愚以為營(yíng)中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長(zhǎng)史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽(yáng)，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來(lái)二十有一年矣。先帝知臣謹(jǐn)慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來(lái)，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已