復數(shù)完全解讀

1、復數(shù)完全解讀地址：贛榆縣清華園雙語學校姓名：尚修剛郵編 222100電話： 一、考點闡述要 求內(nèi) 容復數(shù)的概念復 數(shù)復數(shù)的四則運算復數(shù)的幾何意義二、要點回顧1. 復數(shù)的概念及其表示形式：（ 1）復數(shù)的分類實數(shù) (b 0)復數(shù) a+bi(a、 b R)純虛數(shù) (a0,b0)虛數(shù)(b0)0, b0)非純虛數(shù) (a（2）復數(shù)的幾何形式：復數(shù)集與平面上的點集之間能建立一一對應(yīng)關(guān)系，故可用平面上的點來表示復數(shù)，一般地，可用點Z（a,b）表示復數(shù) a + bi，（ a,bR），或用向量OZ 表示復數(shù) abi .（3）復數(shù)相等： abicdiac且bd.這是解決復數(shù)問題時進行虛實轉(zhuǎn)化的工具：（ 4）共軛復數(shù)

2、： zabi與 zabi（a,bR）互為共軛復數(shù)。在復平面上，互為共軛復數(shù)的兩個點關(guān)于實軸對稱：另外 z|z|（5）復數(shù)的模：設(shè) zabi (a,bR) 在復平面上對應(yīng)的點為 Z（a,b），則把向量 OZ 的模（即線段OZ的長度）叫做復數(shù)z的模。|z|a2b2 (0)（ 6）共軛復數(shù)的運算性質(zhì)：z1z2 z1 z2 ； z1z2 z1 z2 ； z1 z2z1z2；（ z1）z1z2z2zn( z) n ；z z |z|2|z|2（ 7）復數(shù)的模的運算性質(zhì)：|z1 | |z2 | |z1z2 | |z1 | |z2 |（當與 z1 ， z2 對應(yīng)的向量OZ 1 ， OZ2 同向時，右邊的等號成

3、立：當OZ1 ， OZ2 反向時，左邊的等號成立）|z1 |z2 |z1z2 | |z1| |z2 |（取等號的情形與以上相反）（ 8）關(guān)于復數(shù) i與13i.22i4n 1i，4 n 2i2，4 n 3i3i，4n 4i41i1 ii2.復數(shù)的運算：（ 1）四則運算法則（可類比多項式的運算）加法： (abi )(cdi )( ac)(bd )i a,b,c, d R減法： (abi)(cdi )( ac)(bd )i乘法： (abi )(cdi)(acbd)(bcad)i除法： ( a bi ) (c di )abi(abi )(cdi ) ( 轉(zhuǎn)化為乘法運算 )cdi(cdi )( cdi

4、)簡記為“分母實數(shù)化” 。(a bi)( a bi ) a222i， ( i )2i .特例：b ； ( i )1212（ 2）開平方運算 :a + bi的平方根 x + yi （a,b,x,yR）可由 ( x yi ) 2a bi利用復數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為解實方程組。（ 3）復數(shù)加法、減法的幾何意義：復數(shù)的加法即向量的加法，滿足平行四邊形法則。復數(shù)減法即向量的減法，滿足三角形法則。z -z對應(yīng)的向量，是以z的對應(yīng)點為起點，指向z 的對應(yīng)點的向量，|z -z |表示復平面內(nèi)與z ， z21221121對應(yīng)的兩點的距離，如：|z-i|表示 z 與 i 的對應(yīng)的點的距離；三、思想方法總結(jié)：1、化

5、歸思想與方程思想由復數(shù)的定義zabi (a, bR) 可知復數(shù) z 由實數(shù) a,b 所確定， 因此，研究復數(shù) z 的相關(guān)問題就可以轉(zhuǎn)化為對實數(shù) a,b 的研究，這就是所謂的“化虛為實” ，它是一個典型的化歸思想。特別地，我們要求復數(shù) z，就需要求出 a,b,這時常常用到解方程或解方程組，這就是方程思想。2、整體思想整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，進行有目的、有意識的整體處理。在解決復數(shù)問題時，我們可以復數(shù)z 看成一個整體，或者把關(guān)于復數(shù)z 的式子當作一個整體，往往會使解題過程變得十分

6、簡捷。三、數(shù)形結(jié)合思想任何一個復數(shù)z=a+bi 都與復平面內(nèi)一點Z(a,b) 對應(yīng)，而任一點Z(a,b) 又可以與以原點為起點，點為終點的向量OZ 對應(yīng)，這些對應(yīng)都是一一對應(yīng)。這為數(shù)與形的轉(zhuǎn)化又提供一個途徑。復數(shù)的加減法可以用平行四邊形法則或三角形法則進行，這使復數(shù)與向量密切結(jié)合起來。這些都為解決復數(shù)問題或利用復數(shù)解決其他問題提供了方便。四、題型歸納1、復數(shù)的基本概念例 1、（ 2011 年安徽理）設(shè) i 是虛數(shù)單位，復數(shù)1ai 為純虛數(shù)，則實數(shù)a=2i解：設(shè)ai =bi (bR) ，則 1+aibi (2i)b2bi ，所以 b1,a2i例 2、（江蘇）設(shè)復數(shù)i 滿足 i (z 1)32i

7、（ i 是虛數(shù)單位），則 z 的實部是 _解析：由 i ( z 1)3 2i 得到 z32i123i 1 1 3i所以實部為 1.i點評：此類復數(shù)問題通常以乘法（或除法）為依托，考查復數(shù)的實部、虛部、復數(shù)相等的意義、復數(shù)的基本運算，屬容易題。2、兩個復數(shù)相等例 3、（ 2011 年江西文）若( xi )iy2i , x, yR ，則復數(shù) xyi =。解：xi iy 2i, xi i 2y 2iy1, x2xyi2i點評：用好兩個復數(shù)相等的充要條件，將復數(shù)問題實數(shù)化是解決這類問題的根本手段，在有的問題的求解過程中，還需要對表達式進行必要的變形，才能正確運用這個充要條件。3、復數(shù)的四則運算1i20

8、11例 4、（ 2011年湖北理） i 為虛數(shù)單位，則1i解：因為 1i1i 2i ，所以 1i2011i 2011i 45023i 3i ，1i1i 21i例 5、（ 2011 年上海）已知復數(shù) z1 滿足 ( z12)(1i )1 i（ i為虛數(shù)單位），復數(shù) z2 的虛部為2，且 zz 是實數(shù)，求 z 122解： ( z1 2)(1 i) 1 iz12 i設(shè) z2a2i , aR ，則 z1 z2(2i )(a2i )(2 a2)(4a)i z1z2R ，z24 2i點評：復數(shù)的代數(shù)運算法則與多項式的運算法則類似。復數(shù)的乘法、除法運算，重在復數(shù)的除法運算，復數(shù)相除關(guān)鍵在于分母實數(shù)化，分母實

9、數(shù)化時分子、分母同時乘以分母的共軛復數(shù)，吧分母變?yōu)閷崝?shù)，將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟ\算。四、復數(shù)的幾何意義例 6、（ 2001 年山東理）復數(shù) z2 - i(i 為虛數(shù)單位）在復平面 內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為2 i解析：因為2i(2i )23 4izi5,故復數(shù) z 對應(yīng)點在第四象限。25例 7、已知： z22i1, 求 z 的最值。解： z(2 2i )1的幾何意義：在復平面上對應(yīng)的點集是以O(shè)( 2,2) 為圓心， r1的圓。z 的幾何意義是O 上點與原點的距離，則由，OO22222 2,z max 2 21, z min 2 2 1.點評：復數(shù)問題幾何化是我們進一步認識復數(shù)、解決復數(shù)問題的一個重要過程，

10、這樣更好地把所學的知識和方法得以運用。復數(shù)的內(nèi)容并不多，但通過對著一部分的梳理，讓我們明確學習過程中必須掌握的知識和方法，充分掌握復數(shù)的基本概念，熟練進行復數(shù)的四則運算，突出復數(shù)問題的實數(shù)化、幾何化，從而培養(yǎng)我們思維的嚴謹性、準確性、靈活性。出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法

11、也。侍中、侍郎郭攸之、費祎、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰 “能”，是以眾議舉寵為督：愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來二十有一年矣。先帝知臣謹慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已